小升初冲刺名校数学拓展——第10节：鸡兔同笼问题与倒推法

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模块一：鸡兔同笼问题
（一）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少(假设法)：
假设全是鸡：口诀：假“鸡”得“兔”（第一次算得的数）
（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或者假设全是兔：口诀：假“兔”得“鸡”（第一次算得的数）
（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（二）已知总头数和鸡 、兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式
※仍属 假“鸡”得“兔”类型
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
※仍属假“兔”得“鸡”类型
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。（
（三）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。
※仍属 假“鸡”得“兔”类型
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
※仍属假“兔”得“鸡”类型
或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（四）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡、兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡、兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡、兔脚数之差）〕÷2=兔数。
（五）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数；
或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
【例1】有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
【例2】鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问：鸡、兔各有多少只？
【例3】甲、乙两人进行数学比赛，规定答对一题，甲得5分，乙得6分，；答错一题， 甲扣2分，乙扣3分。两人各算了10道题，共对了15道题，且 甲比乙多得19分。问 甲、乙各做对几道题？
【例4】有50个学生，他们穿的裤子是白色的或黑色的，上衣是蓝色的或红色的，若有14人穿的是蓝色上衣、白色裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上衣、黑裤子的学生有多少人？

1.一个办公室里有5盏灯，其中有40W和60W两种灯泡，总的瓦数为260W，则40W和60W的灯泡个数分别为（ ）。
A.1，4 B.2，3 C.3，2 D.4，1
2.学校组织了一次知识竞赛，共有25道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明得了85分，那么他答对（ ）道题
A.22 B.20 C.19 D.18
3.笼中共有30只鸡和兔，有100只脚，鸡有（ ）只。
A.20 B.15 C.10 D.25
4.80分和50分的邮票共36枚，共值20元7角，那么80分和50分的邮票分别有（ ）。
A.28枚，8枚 B.29枚，7枚 C.9枚，27枚 D.27枚，9枚
5.王明有5元和10元的邮票共36张，总面额280元，则王明有（ ）张5元邮票。
A.6 B.16 C.26
6.白菜2元一斤，菜心3元一斤，小亮有10元钱，则他可以买（ ）
A．1斤白菜3斤菜心B．2斤白菜2斤菜心
C．2斤白菜3斤菜心D．4斤白菜1斤菜心
7.停车场有四轮车和两轮摩托车共13辆，轮子共有36个，摩托车共有 辆。
8.小明给班里买甲、乙两种电影票共50张，甲票每张10元，乙票每张8元，共用440元，则甲票买了 张，乙票买了 张。
9.学校买了40张桌子和60把椅子，用去2520元，每张桌子比每把椅子贵12元，每张桌子 元，每把椅子 元。
10.(5分)44名学生去划船，一共乘坐10只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人，刚好全部坐下。大船和小船各有多少只?


11.红星一小举行了一次数学竞赛，共15 道题，每做对1 道题得8 分，每做错1 道题倒扣4 分。小奇答了所有的题，共得72 分，他做对了几道题？（用方程解）


12.小刚买回8分邮票和4分邮票共100张，共付出6.8元，问小刚买回这两种邮票各多少张?各付出多少元?
模块二：倒推法
在分析应用题过程中有顺推法和倒推法。一般地说，从应用题的条件出发，一步一步向后推，直到解决问题，这种思考途径就是顺推法；反过来，从应用题的问题出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到解决问题，这种思考途径就是倒推法。倒推法是一种很重要的数学思考方法，也是分析应用题时常用的方法。
【例1】 一瓶油吃去千克千克，又吃去余下的，瓶中还有0.2千克,这瓶油原来是多少千克？
【例2】赵昱老师有一批书，给第一个同学1本，又给余下的一半；接着给第二个同学1本，又给余下的一半；再给第三个同学1本，又给余下的一半；最后又给第四个同学1本，再加15本，手中还剩8本。问赵老师原来有书多少本？
【例3】一只猴子在山上摘桃子吃。第一天吃了一棵树上桃子数的，以后两天分别吃了当天这棵树上剩下桃子数的、。这样，这棵树上还留下48个桃子。这棵树原有多少个桃子？
【例4】白兔、黑兔各采蘑菇若干千克，白兔拿出给黑兔，黑兔再拿出现有蘑菇的给白兔，这时它们都有蘑菇18千克。它们原来各采蘑菇多少千克？
【例5】一个书架分上中下三层，一共放书384本，如果从上层取出与中层同样多的本数放入中层，再从中层取出与下层同样多的本数放入下层，最后又从下层取出与现在上层同样多的本数放入上层，这时三层书架中书的本数相等，这个书架原来上层中层下层各放书多少本？
1.将一根长x米的绳子一半再一半的减去，剪了两次后剩下的正好是0.2米，这根绳子原来是（ ）米。
A.0.8 B.1.2 C.2.4 D.4.8
2.池塘里的睡莲的面积每天长大一倍，若经过12天就可以长满整个池塘，则这些睡莲长满半个池塘需要（ ）天。
A.6 B.7 C.9 D.11
3.《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。“意思是说：一尺(尺，中国古代长度单位)长的木棒，第一天取走它的一半，即尺，第二天取走它的一半的半，第三天再取走它的一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完。那么第4天后木棒的长度还剩下（ ）尺
A. B. C.
4.猪八戒化斋讨来一些馒头.第一次吃了一半，觉得不够，第二次又吃了剩下的一半，还是觉得不够，第三次又吃了一半，最后还是有点馋又偷偷吃了3 个馒头，觉得饱了.把剩下的给师傅们吃，孙悟空一看发现篮子里只剩下5 个馒头了.猪八戒一共讨回来 个馒头。
5.有两堆苹果，如果从第一堆拿9 个放到第二堆，两堆苹果的个数相等；如果从第二堆拿12 个放到第一堆，则第一堆苹果的个数是第二堆苹果个数的2 倍。原来第一堆有苹果 个，第二堆苹果有 个。
6.两个桶里共盛水42斤，若把第一桶里的水倒7斤到第2个桶里，两个桶里的水就一样多，则第一桶原有 斤水。
7.老妇提篮卖蛋，第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个。这时，全部鸡蛋都卖完了，老妇篮中原有鸡蛋 个。
8.一种水生植物覆盖某湖的面积每天扩大一倍，18天覆盖了整个湖面，那么经过16天覆盖整个湖面的 。
9.甲、乙、丙、丁四位同学去植树，甲植了树苗总数的一半又多1棵，乙植了剩下的一半又多一棵，丙植了剩下的一半又多一棵，最后的5棵树都由丁植完。则丙植树 棵，甲植树 棵。
10.一根竹笋，从发芽到长大，如果每天长高一倍，经过10天长到40分米，那么长到2.5分米时，经过 天。
11. 牧羊人赶一群羊过10 条河，每过一条河时都有三分之一的羊掉人河中，每次他都捞上3 只，最后清查还剩9 只。这群羊在过河前共有（ ）只。
12.一桶油，每次倒掉桶中现有油量的一半，倒了三次后连桶重8 千克，已知桶重3 千克，原来桶里有油多少千克？
13.小明有一些糖果， 拿出糖果的一半又2颗分给小东， 拿出剩余的一半又3颗给小张， 还剩下4颗， 问小明原来一共有多少颗糖果？
14.某人拿了一筐桔子到集市上出售，第一个人尝了1个后，买了余下的，第二人尝了2个后，再买余下的，第三个人买了余下的多2个。这时，筐中还剩下18个桔子，原来筐中有桔子多少个？
15.方方和小明各有邮票若干张，方方拿出给小明后，小明再拿出现有邮票的给方方，这时他们都有90张邮票。他们原来各有多少张邮票？
第10节：鸡兔同笼问题与倒推法参考答案
模块一：鸡兔同笼问题
（一）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少(假设法)：
假设全是鸡：口诀：假“鸡”得“兔”（第一次算得的数）
（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或者假设全是兔：口诀：假“兔”得“鸡”（第一次算得的数）
（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（二）已知总头数和鸡 、兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式
※仍属 假“鸡”得“兔”类型
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
※仍属假“兔”得“鸡”类型
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。（
（三）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。
※仍属 假“鸡”得“兔”类型
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
※仍属假“兔”得“鸡”类型
或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
（四）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡、兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡、兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡、兔脚数之差）〕÷2=兔数。
（五）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数；
或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
【例1】有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是：
244÷2＝122（只）
在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数：
122－88＝34（只）
答：有兔子34只，鸡54只.
【例2】鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问：鸡、兔各有多少只？
解： 兔 135÷（2+1）=45（只）
鸡 135－45－28=62（只）
答：鸡有62只，兔有45只。
【例3】甲、乙两人进行数学比赛，规定答对一题，甲得5分，乙得6分，；答错一题， 甲扣2分，乙扣3分。两人各算了10道题，共对了15道题，且 甲比乙多得19分。问 甲、乙各做对几道题？
解： 乙答对的题数 5+16÷16=6（道）
甲答对的题数 15－6=9（道）
答：甲做对9道题，乙做对6道题。
【例4】有50个学生，他们穿的裤子是白色的或黑色的，上衣是蓝色的或红色的，若有14人穿的是蓝色上衣、白色裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上衣、黑裤子的学生有多少人？
解：穿白裤子的人数 50－31=19（人）
已知有14人穿色上衣、白裤子，所以，穿红色上衣、白色裤子的人：19－14=5（人）
已知18个人穿红色上衣，所以，穿红色上衣、黑色裤子的人：18－5=13（人）
答：穿红色上衣、黑色裤子的人有13人。
例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”
解一 （4×1000-3525）÷（4+15）
=475÷19=25（个）
（答略）
1.一个办公室里有5盏灯，其中有40W和60W两种灯泡，总的瓦数为260W，则40W和60W的灯泡个数分别为 B 。
A.1，4 B.2，3 C.3，2 D.4，1
2.学校组织了一次知识竞赛，共有25道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明得了85分，那么他答对 B 道题
A.22 B.20 C.19 D.18
3.笼中共有30只鸡和兔，有100只脚，鸡有（ C ）只
A.20 B.15 C.10 D.25
4.80分和50分的邮票共36枚，共值20元7角，那么80分和50分的邮票分别有（ C ）。
A.28枚，8枚 B.29枚，7枚 C.9枚，27枚 D.27枚，9枚
5.王明有5元和10元的邮票共36张，总面额280元，则王明有（ B ）张5元邮票。
A.6 B.16 C.26
6.白菜2元一斤，菜心3元一斤，小亮有10元钱，则他可以买（ B ）
A．1斤白菜3斤菜心B．2斤白菜2斤菜心
C．2斤白菜3斤菜心D．4斤白菜1斤菜心
7.停车场有四轮车和两轮摩托车共13辆，轮子共有36个，摩托车共有（ 8 ）辆。
8.小明给班里买甲、乙两种电影票共50张，甲票每张10元，乙票每张8元，共用440元，则甲票买了 20 张，乙票买了 30 张。
9.学校买了40张桌子和60把椅子，用去2520元，每张桌子比每把椅子贵12元，每张桌子（ 32.4 ）元，每把椅子（ 20.4 ）元.
10.(5分)44名学生去划船，一共乘坐10只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人，刚好全部坐下。大船和小船各有多少只?
【解析】假设全坐大船,则小船有:(10×6-44)÷(6-4)=8(只)
大船有10-8=2(只)
11.红星一小举行了一次数学竞赛，共15 道题，每做对1 道题得8 分，每做错1 道题倒扣4 分。小奇答了所有的题，共得72 分，他做对了几道题？（用方程解）
【解析】设做对了道题。


答：做对了11道题。
12.小刚买回8分邮票和4分邮票共100张，共付出6.8元，问小刚买回这两种邮票各多少张?各付出多少元?
【解析】6.8元=680分
假设全是8分邮票,则4分邮票有：(100×8-680)÷(8-4)=30(张)
8分邮票:100-30=70(张)
4分邮票共花:30×4÷100=1.2(元)
8分邮票共花:6.8-1.2=5.6(元)
答：4分邮票有30张，8分邮票有70张；4分邮票付1.2元，8分邮票付5.6元。
模块二：倒推法
在分析应用题过程中有顺推法和倒推法。一般地说，从应用题的条件出发，一步一步向后推，直到解决问题，这种思考途径就是顺推法；反过来，从应用题的问题出发，一步一步倒着推理，逐步靠拢已知条件，直到解决问题，这种思考途径就是倒推法。倒推法是一种很重要的数学思考方法，也是分析应用题时常用的方法。
【例1】 一瓶油吃去千克千克，又吃去余下的，瓶中还有0.2千克,这瓶油原来是多少千克？
【解析】由上图我们很容易得到下面结果：
（1）最后还剩下余下千克数的几分之几：
（2）余下的是多少千克：（千克）
（3）这瓶油原来是多少千克：+0.8＝1（千克）
答：这瓶油原来是1千克。
【例2】赵昱老师有一批书，给第一个同学1本，又给余下的一半；接着给第二个同学1本，又给余下的一半；再给第三个同学1本，又给余下的一半；最后又给第四个同学1本，再加15本，手中还剩8本。问赵老师原来有书多少本？
解：（1）先求没有给第四个同学时，手中有书：8+15+1=24（本）
（2）再求没有给第三个同学时，手中有书：2449（本）
（3）然后求没有给第二个同学时，手中有书：4999（本）
（4）最后求没有给第一个同学时，手中有书：99199（本）
答：赵老师原有书199本。
【例3】一只猴子在山上摘桃子吃。第一天吃了一棵树上桃子数的，以后两天分别吃了当天这棵树上剩下桃子数的、。这样，这棵树上还留下48个桃子。这棵树原有多少个桃子？
解：48÷（1-）÷（1-）÷（1-）
＝48
＝100（个）
答：这棵树上原有桃子100个。
【例4】白兔、黑兔各采蘑菇若干千克，白兔拿出给黑兔，黑兔再拿出现有蘑菇的给白兔，这时它们都有蘑菇18千克。它们原来各采蘑菇多少千克？
解：（1）黑兔现有蘑菇：18÷（1-）=24（千克）
（2）白兔原有蘑菇：［18-（24-18）÷（1-）＝15（千克）
（3）黑兔原有蘑菇：24-15＝21（千克）
答：白兔原有蘑菇15千克，黑兔原有蘑菇21千克。
【例5】一个书架分上中下三层，一共放书384本，如果从上层取出与中层同样多的本数放入中层，再从中层取出与下层同样多的本数放入下层，最后又从下层取出与现在上层同样多的本数放入上层，这时三层书架中书的本数相等，这个书架原来上层中层下层各放书多少本？
解：现在上中下三层都有：384÷3=128本，
下层未给上层时，上层有：128÷2=64本，下层有：128+64=192本，中层有：128本；
中层未给下层时，下层有：192÷2=96本，中层有：128+96=224本，上层有：64本；
上层未给中层时，中层有：224÷2=112本，上层有：64+112=176本，下层有：96本；
答：原来上层有64本，中层有128本，下层有96本。
1.将一根长x米的绳子一半再一半的减去，剪了两次后剩下的正好是0.2米，这根绳子原来是 A 米。
A.0.8 B.1.2 C.2.4 D.4.8
2.池塘里的睡莲的面积每天长大一倍，若经过12天就可以长满整个池塘，则这些睡莲长满半个池塘需要（ D ）天。
A.6 B.7 C.9 D.11
3.《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。“意思是说：一尺(尺，中国古代长度单位)长的木棒，第一天取走它的一半，即尺，第二天取走它的一半的半，第三天再取走它的一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完。那么第4天后木棒的长度还剩下（ C ）尺
A. B. C.
4.猪八戒化斋讨来一些馒头.第一次吃了一半，觉得不够，第二次又吃了剩下的一半，还是觉得不够，第三次又吃了一半，最后还是有点馋又偷偷吃了3 个馒头，觉得饱了.把剩下的给师傅们吃，孙悟空一看发现篮子里只剩下5 个馒头了.猪八戒一共讨回来（ 64 ）个馒头。
5.有两堆苹果，如果从第一堆拿9 个放到第二堆，两堆苹果的个数相等；如果从第二堆拿12 个放到第一堆，则第一堆苹果的个数是第二堆苹果个数的2 倍。原来第一堆有苹果（ 72 ）个，第二堆苹果有（ 54 ）个。
6.两个桶里共盛水42斤，若把第一桶里的水倒7斤到第2个桶里，两个桶里的水就一样多，则第一桶原有（ 28 ）斤水。
7.老妇提篮卖蛋，第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个。这时，全部鸡蛋都卖完了，老妇篮中原有鸡蛋 15 个。
8.一种水生植物覆盖某湖的面积每天扩大一倍，18天覆盖了整个湖面，那么经过16天覆盖整个湖面的 。
9.甲、乙、丙、丁四位同学去植树，甲植了树苗总数的一半又多1棵，乙植了剩下的一半又多一棵，丙植了剩下的一半又多一棵，最后的5棵树都由丁植完。则丙植树 7 棵，甲植树 28 棵。
10.一根竹笋，从发芽到长大，如果每天长高一倍，经过10天长到40分米，那么长到2.5分米时，经过 6 天。
11. 牧羊人赶一群羊过10 条河，每过一条河时都有三分之一的羊掉人河中，每次他都捞上3 只，最后清查还剩9 只。这群羊在过河前共有（ 9 ）只。
12.【2019年·白广附(3)】一桶油，每次倒掉桶中现有油量的一半，倒了三次后连桶重8 千克，已知桶重3 千克，原来桶里有油多少千克？
【解析】(8−3)×2×2×2=40(千克)，
答：原来桶里有油40千克
13.小明有一些糖果， 拿出糖果的一半又2颗分给小东， 拿出剩余的一半又3颗给小张， 还剩下4颗， 问小明原来一共有多少颗糖果？
【解析】采用倒推法
4+3=7颗 7×2=14颗 14+2=16颗 16×2=32颗
答:小明原来一共有32颗糖果。
14.某人拿了一筐桔子到集市上出售，第一个人尝了1个后，买了余下的，第二人尝了2个后，再买余下的，第三个人买了余下的多2个。这时，筐中还剩下18个桔子，原来筐中有桔子多少个？
【解析】(182)÷（1)=20÷=24(个)
24÷（1）+2=362=38（个）
38÷（1）+1=58(个)
答：原来筐中有橘子58个
15.方方和小明各有邮票若干张，方方拿出给小明后，小明再拿出现有邮票的给方方，这时他们都有90张邮票。他们原来各有多少张邮票？
解：①=120(张)
②原来方方有：(2×90-10)÷=75(张)
③原来小明有2×90-75=105(张)
答:原来方方有75张,小明有105张.