小升初冲刺名校数学拓展——第12节：工程问题

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模块一： 基本公式应用
1. 工程问题基本公式：
工作量＝工作效率×工作时间；
工作时间＝工作量÷工作效率；
工作效率＝工作量÷工作时间
2理解“单位1"的概念并灵活应用．
3. 有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔梳理工作过程、灵活运用基本数量关系．
4工作量其实是一种分率， 利用量率对应可以求出全部工作的具体数量．
【例1】如图表示甲、乙、丙三个工人单独完成一项工程各自所需的天数，若选择两位效率较高的合作（ ）天可以完成那个全部工程的。
【例2】单独把水池的水注满，甲水管要用2小时，乙水管要用3小时。如果两水管同时注水（ ）小时可以注满水池的。
A. B. C. D.
【例3】一项工程，甲队独做10天完成，已知甲队2天的工作等于乙队3天的工作量，两队合作（ ）天完成.
1.判断题
（1）做同一工作，甲单独做要小时，乙单独做要小时，则甲比乙做得慢。 （ ）
（2）一项工程，20人去做，15天完成；如果30人去做，10天就可以完成。 （ ）
（3）做一批零件，甲单独做要4小时完成，乙要5小时完成，乙与甲的工作效率的最简
整数比是5:4。 （ ）
2.一项工程，甲、乙合作6天完成，甲独做10天完成，乙独做（ ）天完成。
3.生产一个零件，甲用5分钟，乙用8分钟，他们同时开工，合作生产零件78个，其中甲做了（ ）个。
A.40 B.44 C.48
4.一项工程，甲单独做要a小时，乙单独做要b小时，则甲、乙合作需要时间为（ ）
A. B. C.
5.一项工程，甲单独完成需要10天，乙单独3天完成，甲、乙两人的工作效率的比为 ，如果两人合作， 天可以完成该工程的一半。
模块二：基本效率计算
最常见的工程问题， 基本思路是根据工作过程计算效率， 通过对效率的分析计算时间。
(1)基本工程问题：关键在于效率的计算；
(2)中途离开或加入型：算清楚每个人工作的时间或合作时间即可；
(3)来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间， 再根据总时间算每个人具体的工作安排
【例1】生产一批帽子， 甲、乙二人合作需15天完成． 现由甲先单独工作5天， 再
由乙单独工作3天后还剩这批帽子的没完成． 若甲每天比乙少加工4个帽子， 则这批帽子共有多少个？
【例2】—项工程，甲单独做24小时完成， 乙单独做36小时完成，现在要求20小时完成，并且两人合作的时间尽可能少，那么甲乙合作多少小时？
【例3】甲乙丙共同修建一套房子，2天完成了全部工作的三分之一，然后甲休息了6天，乙休息了2天，丙没有休息。已知甲的工作效率是乙的2倍，乙的工作效率是丙的2倍，那么装修这套房子从开始到完成共用了多少天？
【例4】A仓库货物是B仓库的2倍， 甲搬运A仓库需要32小时， 乙、丙搬运B仓库分别需要24小时和12小时甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物， 丙开始帮助甲搬运， 中途又转向帮助乙搬运， 最后两仓库货物同时搬完． 丙帮助甲搬了多少小时？
1.一份工作，甲、乙合做，12 天完成；甲独做一天，乙独做3 天，完成。那么如果乙独做，（ ）天完成。
2.8个人用35天完成了某项工程的，此时，又增加了6个人，那么要完成剩余的工程，还需要（ ）天。
A.40 B.35 C. 60
3.粉刷一个房间甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，丙单独做12天完成。甲先单独做2天后有事离开，接下来乙、丙共同完成，则乙、丙合作所需要的天数为 。
A.1 B.2 C.3 D.4
4.有一项工作，甲单独做16天完成，乙单独做12天完成。现在甲先做了几天，乙接着又做几天，共用14天完成，甲一开始做了 天？
5.修一条公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这条公路长多少米。

6.生产一批零件，单独完成甲需要10 小时，乙需要15 小时，丙需要20 小时。现由三人合作，中途甲因事停工几小时，结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时?
7.(6分)修一条路，甲、乙两队合作8天完成，如果甲队单独修12天可以修完，实际上先由乙队修了若干天后，再由甲队继续修，全部完成时共用了15天。求甲、乙两队各修了多少天?
8.甲、乙两个工程队，甲队3天的工作量相当于乙队4天的工作量。现有一项工程，甲队24天完成全工程的80%，余下的由两队合做，还需要多少天完成？
9.加工一批零件，师徒两人合作20天可以完成。现由徒弟先做15天，师傅再做10天还剩下这批零件的没有完成。已知师傅每天比徒弟多加工5个零件，这批零件共有多少个?
10.搬运一个仓库的货物， 甲需要10 小时， 乙需要12 小时， 丙需要15 小时． 现有两个相同的仓库A和B, 甲在A仓库， 乙在B仓库同时开始搬运货物， 丙先帮助甲搬运， 中途又转向帮助乙搬运， 最后两个仓库货物同时搬完． 那么丙帮助甲几小时， 帮助乙几小时？
11.某市有一项工程公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标。三家公司的竞标条件如下：
若该市想选择两家公司合作完成，当想尽快完工时，选择哪两家合作?若想降低成本，则如何选，请具体说明原因。
模块三：具有周期性的工程问题
(1) 轮流工作型：先处理合作的整的单位时间工作量， 再独做处理零头， 即剩余的工作量；
(2)间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量， 再分段处理。
【例1】小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务． 若由这3 人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时。
(1)如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？
(2)如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打l小时，那么需要多少小时完成？
【例2】甲工程队每工作6天必须休息l天，乙工程队每工作5天必须休息2天．一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息），乙工程队单独做需82天（含休息）． 如果两队合作，从2014年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？
1.蓄水池有一根进水管和一根排水管，单开进水管5 小时灌满一池水，单开排水管3 小时排完一池水，现池内有半池水，如果按照进水、排水；进水、排水……的顺序，各开1 小时，（ ）小时后水池的水刚好排完。
2.（12分）现有A、B、C三位老师共同批改一个年级的试卷，已知A老师单独批改需10小时，B老师单独批改需8小时，C老师单独批改需6小时。
（1）如果三位老师同时批改需要多少时间？
（2）如果按照A、B、C、A、B、C……的顺序每人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？
（3）如果调整（2）问中的改卷顺序，是否可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成？
3.单独完成某项工作，甲需要9小时，乙需要12小时。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次工作1小时。那么，完成这项工作需要多少小时？

4.姜太公”三天打鱼两天晒网” （打三天鱼休息两天）， 周文王” 四天打鱼一天晒网”， 姜太公打满一缸鱼要38天， 周文王打满同样的一缸鱼要37天， 两人从2014年9月2号开始打鱼， 在几月几号可以合打满一缸鱼？
模块四：列方程解工程问题
【例1】整理一批图书，如果由一个人单独做需要60小时，现由一部分人先整理一个小时，随后增加15人和她们一起整理两个小时，恰好完成整理工作。假设，每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人有多少个？
【例2】甲、乙两项工程分别由一、二队来完成． 在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要18天；在雨天， 一队的工作效率要下降40%, 二队的工作效率要上升20%. 结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？
1.一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，共需几天完成?设完成这项工程共需x天，由题意可列方程 。
A. B. C. D.
2.甲、乙两队共同修一条长400米的公路，甲队从东往西修4天，乙队从西往东修5天，正好修完，甲队比乙队每大多修10米。甲、乙两队每天共修多少米?
3.一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需12天完成。这项工程先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用14天。这项工程由甲先做了几天?
4.小兵和小华主办学校第11期黑板报，两人合作6天可以完成，小兵做了2天后小华接着做了一天，这时共完成了黑板报的。如果小华一个人办这期黑板报，需要多少天？

第12节：工程问题参考答案
模块一： 基本公式应用
1. 工程问题基本公式：
工作量＝工作效率×工作时间；
工作时间＝工作量÷工作效率；
工作效率＝工作量÷工作时间
2理解“单位1"的概念并灵活应用．
3. 有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔梳理工作过程、灵活运用基本数量关系．
4工作量其实是一种分率， 利用量率对应可以求出全部工作的具体数量．
【例1】如图表示甲、乙、丙三个工人单独完成一项工程各自所需的天数，若选择两位效率较高的合作（ 6 ）天可以完成那个全部工程的。
【例2】单独把水池的水注满，甲水管要用2小时，乙水管要用3小时。如果两水管同时注水（ A ）小时可以注满水池的。
A. B. C. D.
【例3】一项工程，甲队独做10天完成，已知甲队2天的工作等于乙队3天的工作量，两队合作（ 6 ）天完成.
1.判断题
（1）做同一工作，甲单独做要小时，乙单独做要小时，则甲比乙做得慢。 （ √ ）
（2）一项工程，20人去做，15天完成；如果30人去做，10天就可以完成。（ √ ）
（3）做一批零件，甲单独做要4小时完成，乙要5小时完成，乙与甲的工作效率的最简
整数比是5:4。 （ × ）
2.一项工程，甲、乙合作6天完成，甲独做10天完成，乙独做（ 15 ）天完成。
3.生产一个零件，甲用5分钟，乙用8分钟，他们同时开工，合作生产零件78个，其中甲做了（ C ）个。
A.40 B.44 C.48
4.一项工程，甲单独做要a小时，乙单独做要b小时，则甲、乙合作需要时间为（ C ）
A. B. C.
5.一项工程，甲单独完成需要10天，乙单独3天完成，甲、乙两人的工作效率的比为 3:2 ，如果两人合作， 3 天可以完成该工程的一半。
模块二：基本效率计算
最常见的工程问题， 基本思路是根据工作过程计算效率， 通过对效率的分析计算时间。
(1)基本工程问题：关键在于效率的计算；
(2)中途离开或加入型：算清楚每个人工作的时间或合作时间即可；
(3)来回帮忙型：先利用每个人都在干活算出总时间， 再根据总时间算每个人具体的工作安排
【例1】生产一批帽子， 甲、乙二人合作需15天完成． 现由甲先单独工作5天， 再
由乙单独工作3天后还剩这批帽子的没完成． 若甲每天比乙少加工4个帽子， 则这批帽子共有多少个？
【解析】由巳知条件可知甲乙工作效率和为，而甲工作5天加上乙工作3天相当于甲乙合作三天后甲又独自工作了2天，所以甲的工作效率为， 进而可知乙的工作效率为 ， 所以这批帽子共有个。
【例2】—项工程，甲单独做24小时完成， 乙单独做36小时完成，现在要求20小时完成，并且两人合作的时间尽可能少，那么甲乙合作多少小时？
【解析】两人合作的时间尽可能少，则甲工作20小时，可得：
甲乙合作时间为：(1-)÷=÷=6(小时)
答：甲乙合作了6小时
【例3】甲乙丙共同修建一套房子，2天完成了全部工作的三分之一，然后甲休息了6天，乙休息了2天，丙没有休息。已知甲的工作效率是乙的2倍，乙的工作效率是丙的2倍，那么装修这套房子从开始到完成共用了多少天？
【解析】将丙的工作效率看作1份，那么乙的工作效率是2份，甲的工作效率是4份，
甲、乙、丙三人一天的工作效率为：1+2+4=7(份)，
则总作工量为：7×2÷13=42(份)；
甲乙丙如果全程合作的话需要：42÷7=6(天)完成。
甲休息了6天，乙休息了2天，在这8天中，甲乙少干了：4×6+2×2=28(份)，
这28份甲、乙、丙三人合作得干28÷7=4(天).
所装修这套房子以从开始到完成需要6+4=10(天)完成。
答：装修这套房子从开始到完成共用了10天。
【例4】A仓库货物是B仓库的2倍， 甲搬运A仓库需要32小时， 乙、丙搬运B仓库分别需要24小时和12小时甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物， 丙开始帮助甲搬运， 中途又转向帮助乙搬运， 最后两仓库货物同时搬完． 丙帮助甲搬了多少小时？
【解析】在整个过程中甲、乙、丙均没有停止，一直在工作，所以可以从整体上考虑这类型的题目； 小时，对于A仓库：甲搬了小时，丙帮甲搬了小时。
1.一份工作，甲、乙合做，12 天完成；甲独做一天，乙独做3 天，完成。那么如果乙独做，（ 30 ）天完成。
2.8个人用35天完成了某项工程的，此时，又增加了6个人，那么要完成剩余的工程，还需要（ A ）天。
A.40 B.35 C. 60
3.粉刷一个房间甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，丙单独做12天完成。甲先单独做2天后有事离开，接下来乙、丙共同完成，则乙、丙合作所需要的天数为 B 。
A.1 B.2 C.3 D.4
4.有一项工作，甲单独做16天完成，乙单独做12天完成。现在甲先做了几天，乙接着又做几天，共用14天完成，甲一开始做了 8 天？
5.修一条公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这条公路长多少米。
【解析】甲、乙合修这条公路用的天数为： （天）
乙比甲多修的分率为：
乙比甲多修的路程为:750×2=1500(米)
这条公路的长为:1500÷=6000(米)
答：这条公路长6000米。
6.生产一批零件，单独完成甲需要10 小时，乙需要15 小时，丙需要20 小时。现由三人合作，中途甲因事停工几小时，结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时?
【解析】=3(小时)，
6−3=3(小时).
答：甲停工了3小时。
7.(6分)修一条路，甲、乙两队合作8天完成，如果甲队单独修12天可以修完，实际上先由乙队修了若干天后，再由甲队继续修，全部完成时共用了15天。求甲、乙两队各修了多少天?
【解析】乙队工效:
=6(天
15-6=9(天)
答:甲队修了9天，乙队修了6天
8.甲、乙两个工程队，甲队3天的工作量相当于乙队4天的工作量。现有一项工程，甲队24天完成全工程的80%，余下的由两队合做，还需要多少天完成？
【解析】甲队工作效率:1×80%÷24= 乙队工作效率:
余下两队合作需要:(天)。
答:余下的由两队合作需要天完成。
9.加工一批零件，师徒两人合作20天可以完成。现由徒弟先做15天，师傅再做10天还剩下这批零件的没有完成。已知师傅每天比徒弟多加工5个零件，这批零件共有多少个?
【解析】(徒弟工效)
(师傅工效)
(个)(零件总数)
答:这批零件共有700个。
10.搬运一个仓库的货物， 甲需要10 小时， 乙需要12 小时， 丙需要15 小时． 现有两个相同的仓库A和B, 甲在A仓库， 乙在B仓库同时开始搬运货物， 丙先帮助甲搬运， 中途又转向帮助乙搬运， 最后两个仓库货物同时搬完． 那么丙帮助甲几小时， 帮助乙几小时？
【解析】因为自始至终三人都在同时工作，且共完成的工作总量为"2"，所从所需的总时间为小时，所以丙帮甲小时，丙帮乙小时．
11.某市有一项工程公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标。三家公司的竞标条件如下：
若该市想选择两家公司合作完成，当想尽快完工时，选择哪两家合作?若想降低成本，则如何选，请具体说明原因。
【解析】要尽快完工应选择速度较快的两家公司,由于总量不变,则用时越短,说明速度越快,所以选甲、乙合作,合作时间为1÷(+)=6(天),要使总费用最少,应选择最便宜的两家公司合作。
甲公司总价:10×5.6=56(万元
乙公司总价:15×3.8=57(万元
丙公司总价:30×1.7=51(万元)
57>56>51,则应选甲、丙合作,合作天数为:=7.5(天）
总费用:7.5×(5.6+1.7)=54.75(万元
模块三：具有周期性的工程问题
(1) 轮流工作型：先处理合作的整的单位时间工作量， 再独做处理零头， 即剩余的工作量；
(2)间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量， 再分段处理。
【例3】小鹿、小羊、小猪三名打字员承担一项打字任务． 若由这3 人中的某人单独完成全部打字任务，则小鹿需24小时，小羊需20小时，小猪需16小时。
(1)如果鹿、羊、猪三人同时打字，那么需要多少小时完成？
(2)如果按鹿、羊、猪的次序轮流每人各打l小时，那么需要多少小时完成？
【解析】(1)三人同时工作时所需的时间为小时；
(2)三人依次各做l小时，也就是周期是3小时的周期性合作，且每个周期可完成．而，，小时，即轮流工作6个周期后。鹿又工作1个小时，羊又上作了小时，所以共需要小时。
【例3】甲工程队每工作6天必须休息l天，乙工程队每工作5天必须休息2天．一项工程，甲工程队单独做需104天（含休息），乙工程队单独做需82天（含休息）． 如果两队合作，从2014年8月28日开工，则该工程在哪一天可以竣工？
【解析】把工程总量看作单位"1"'因为。所以甲工作一天可完成．因为，所以乙工作一天可完成＝．甲乙两人合作周期性工作，每7天完成的工作量为， 则经过6个周期后还剩余的工作量为，而甲乙合作一天可完成， 所以， 因此所需的时间为6×7+4 =46大，由于8月有31日， 所以8月份工作了4天，而46=4+30+12 ， 因此要到10月12日方可完工。
1.蓄水池有一根进水管和一根排水管，单开进水管5 小时灌满一池水，单开排水管3 小时排完一池水，现池内有半池水，如果按照进水、排水；进水、排水……的顺序，各开1 小时，（ ）小时后水池的水刚好排完。
2.（12分）现有A、B、C三位老师共同批改一个年级的试卷，已知A老师单独批改需10小时，B老师单独批改需8小时，C老师单独批改需6小时。
（1）如果三位老师同时批改需要多少时间？
（2）如果按照A、B、C、A、B、C……的顺序每人改阅1小时，则改阅完全部试卷需要多少时间？
（3）如果调整（2）问中的改卷顺序，是否可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成？
【解析】(1)(小时)；答：如果三位老师同时改阅需要小时。
(2)按照A，B，C，A，B， C…的顺序，两轮后剩余工作量为：
剩余工作量由A独做1小时后剩下：；
最后剩下的工作量由B独做需要的时间：；
因此，总共需要的时间：（小时）。
答：改阅完全部试卷需要7小时56分钟。
(3)按C，B，A的顺序，2轮之后剩余工作量：
剩余工作量由C独做1小时后剩下：；
最后剩余的工作量由B独做需要的时间：（小时）；
所以总共用的时间为：（小时） （小时）（小时）
故可以将改阅全部试卷的时间提前半小时完成。
3.单独完成某项工作，甲需要9小时，乙需要12小时。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次工作1小时。那么，完成这项工作需要多少小时？
解：，
（小时），（小时）
答:完成这项工作需要10小时。
4.姜太公”三天打鱼两天晒网” （打三天鱼休息两天）， 周文王” 四天打鱼一天晒网”， 姜太公打满一缸鱼要38天， 周文王打满同样的一缸鱼要37天， 两人从2014年9月2号开始打鱼， 在几月几号可以合打满一缸鱼？
【解析】两人都是5天一周期，姜太公打满一缸鱼相当于实际工作的天数是24 天，周文王实际工作天数是30天，所以一周期效率和是，所以共三个周期15天，而剩下的工作量是, 恰好需做天，所以总共要打18 天，所以是9月19号。
模块四：列方程解工程问题
【例1】整理一批图书，如果由一个人单独做需要60小时，现由一部分人先整理一个小时，随后增加15人和她们一起整理两个小时，恰好完成整理工作。假设，每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人有 10 个？
【例2】甲、乙两项工程分别由一、二队来完成． 在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要18天；在雨天， 一队的工作效率要下降40%, 二队的工作效率要上升20%. 结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？
【解析】由题意可知，晴天甲效率，乙效率．雨天时甲效率，乙效率，假设共有个晴天，个雨天，则可列出方程：解得，
所以雨天有l0天。
1.一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，共需几天完成?设完成这项工程共需x天，由题意可列方程 C 。
A. B. C. D.
2.甲、乙两队共同修一条长400米的公路，甲队从东往西修4天，乙队从西往东修5天，正好修完，甲队比乙队每大多修10米。甲、乙两队每天共修多少米?
【解析】设乙队每天修x米,则甲队每天修(x+10)米
(x+10)×4+5x=400
x=40
40+10=50(米) 40+50=90(米)
答:甲、乙两队每天共修90米。
3.一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需12天完成。这项工程先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用14天。这项工程由甲先做了几天?
【解析】设甲先做x天，则乙做(14-x)天。

答:甲先做了5天。
4.小兵和小华主办学校第11期黑板报，两人合作6天可以完成，小兵做了2天后小华接着做了一天，这时共完成了黑板报的。如果小华一个人办这期黑板报，需要多少天？
【解析】设小华一个人办需要天。

答：小华一个人办这期黑板报，需要12天。
公司名称
单独完成工程所需天数
每天工资(万元)
甲
10
5.6
乙
15
3.8
丙
30
1.7
公司名称
单独完成工程所需天数
每天工资(万元)
甲
10
5.6
乙
15
3.8
丙
30
1.7