小升初冲刺名校数学拓展——第15节：一般行程问题

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模块一：基础知识
1、速度的定义：速度就是单位时间内所经过的路程。
2、速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们的关系如下：
路程＝速度×时间
速度＝路程÷时间
时间＝路程÷速度
3、行程问题中常用的数量单位
（1）常用的路程单位：米、千米。
（2）常用的时间单位：秒、分钟和小时。
（3）常用的速度单位：米/秒、米/分、千米/小时。
【例1】甲、乙两地相距360千米，一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时．如果按照原定的时间到达乙地，汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米？
【例2】A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：
（1）甲从A走到B需要多长时间？
（2）两个人从出发到相遇需要多长时间？
1、乐乐练习慢跑，12分钟跑了3000米，按照这个速度，跑25000米需要多少分钟？如果乐乐每天都以这个速度跑10分钟，连续跑一个月(30天），他一共跑了多少千米？
2、兔子和乌龟赛跑，从A地跑到B地，全程共6000米．兔子计划5分钟跑完全程，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程比计划的要少200米．那么兔子实际跑完全程用了多长时间？
3、乐乐和轩轩从相距5000米的A、B两地同时出发，相向而行．如果乐乐每分钟走150米，轩轩每分钟走350米，那么两人从出发到相遇需要多长时间？
模块二：基本相遇问题
两个运动物体在一条直线上运动，行进的方向可能相同，也可能相反。当它们行进方向相反时，如果它们面对面地接近，我们称为“相向而行”；如果它们背对背远离，我们就称为“相背而行”。
相遇问题关心的是两个移动物体的“速度和”以及“路程和”。根据行程问题基本公式，我们可以类似得到相遇问题的三个基本公式：
路程和＝速度和×相遇时间
相遇时间＝路程和÷速度和
速度和＝路程和÷相遇时间
使用上述公式的时候一定要注意，两个运动物体必须同时行进。如果相遇过程中并不是同时行进的，这个公式就不能直接用了，需要分段考虑。
对于一些复杂的行程问题，单靠凭空想象已经无能为力了，这时需要用一种形象的语言，把运动过程直观地表现出来，这就是我们解行程问题的最得力的助手——线段图。
画线段图时要特别注意：
(1)专人专线：如果我们考虑的是两个或多个对象的运动，可以把它们的运动路线并排摆放，
要注意不同人的运动路线不同；
(2)同时性：如果运动时间分为几个阶段，那么应该在运动路线上表示相应的时刻．
比如上图表示汽车A与汽车B分别从甲地、乙地同时出发，从开始①时刻到②时刻两车相遇，从②时刻到③时刻表示两车相遇后各自的运动情况．这样一来，我们就可以借助线段图把整个行程过程看得更清楚．画线段图是解行程问题最基本的方法．通过作图，可以将题目中的条件梳理清楚，还可以通过对图形的观察，挖掘出很多字面上看不出来的隐藏条件，进而找到解题的突破口．
【例1】甲、乙两人从相距46 千米的A、B 两地出发，相向而行，甲先出发1 小时，他们在乙出发后4 小时相遇，又知甲比乙每小时快2 千米。乙行完全程需要几小时?

【例2】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，匀速前进。如果每人按一定的速度前进，则4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，则5小时相遇。那么A、B两地的距离是多少千米?

1.A、B两地相距470千米，乙车以每小时40千米的速度，甲车以每小时46千米的速度先后从两地出发，相向而行，相遇时甲车行驶了230千米。则乙车比甲车早出发 小时。
2.(6分)甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务，甲车单独清扫需要10小时乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米?

3.A、B两市相距300千米。现有甲、乙两车从两地同时相向而行，已知甲车的速度为40千米/小时，乙车的速度为50千米/小时。多少小时后两车之间的距离为30千米。
4.一列火车从地开往地，已经行了全程的，离地还有100千米。两地之间的铁路长多少千米?
模块三：基本追及问题
基本追及问题是指两个人在同一直线上同向而行的行程问题。
追及问题中两个移动物体是同向而行，因此我们考虑的是两个移动物体的“速度差”以及“路程差”。仿照行程问题基本公式，我们同样可以得到追及问题的三个基本公式：
路程差＝速度差×追及时间
追及时间＝路程差÷速度差
速度差＝路程差÷追及时间
【例1】墨莫步行上学，每分钟行75米．墨莫离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行375米．求爸爸追上墨莫所需要的时间．
【例2】龟、兔赛跑，全程600米。兔子3分钟就可以跑完全程，乌龟的速度是兔子速度的。发令枪响后，兔子一会儿就把乌龟远远甩在后边，骄做的兔子自以为跑得快，在途中美美地睡了一觉，结果乌龟到达终点时，兔子离终点还有200米。兔子在途中睡了多少分钟?
1.甲乙两人在相距2千米的A、B两地同时出发，同向而行。甲步行每小时行4千米，乙骑车在后面，每小时速度是甲的3倍， 小时后乙能追上甲。
2.哥哥每分钟走60米，弟弟每分钟走40米，两人同时同地相背而行，10分钟后哥哥转身追弟弟，则多少分钟后可以追上弟弟?

3.龟兔赛跑，同时出发，全程700米，乌龟每分钟爬30米，兔子每分钟跑330米，兔子跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速度往前跑，问乌龟和兔子谁先到达终点。(通过计算说明)
4.老鼠越狱后开车急速逃窜，黑猫警长发现后立即开警车追捕。他发现，如果警车的速度是90千米/小时，则30分钟后可以追上逃犯；如果警车的速度是100千米/小时，则24分钟后可以追上逃犯，但实际警车的速度是110千米/小时，则几分钟后可以追上逃犯?(8分)

模块四：相遇与追及问题题型举例
【例1】一辆快车和一辆慢车从甲、乙两地相对开出，5小时后在距离中点60千米处相遇，则快车每小时比慢车快（ ）千米。
A.12 B.24 C.36
【例2】一条笔直的马路长300米，小亮和它的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小亮走到这条马路中点的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行…直到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了（ ）米
A.400 B.500 C.600
【例3】甲乙二人分别从A、B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头冋到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次距B地500米，A、B两地相距多少米？
【例4】王丽骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发到上午1 0点，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A、B 两地的距离。
1.大、小两客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为4:5，两车开出后60分钟相遇，相遇后继续前进，大客车比小客车晚（ ）分钟到达目的地。
A.27 B.12 C.15
2.甲、乙两车早上7时分别从A、B两地相向出发，到10时整两车相距120千米。两车继续前进到下午1时，两车还相距120千米，则A、B两地的距离是 千米。
3.一辆汽车把货物从城市运往山区，往返共用了20小时，去时所用时间是回来的1.5倍，去时每小时比回来时慢12公里。这辆汽车往返行驶
了 公里。
4.甲乙两辆车同时从两地相对开出，在离中点15千米处相遇.已知甲乙两车的速度比是7：6，两地相距（ ）千米.
5.某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共用了80分钟；若往返都坐车，全部行程只需要30分钟；如果往返都步行，那么需要的时间是（ ）分钟。
6.小刚和小强从A、B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后2 小时两人相遇，相遇时小刚比小强多行进24千米，相遇后0.5小时小刚到达B地，小刚的行进速度是 千米／小时
7.客车和货车同时从甲、乙两地中点向相反方向行驶，5小时后，客车到达甲地，货车离乙地还有60千米，已知货车和客车速度比是5:7，求甲、乙两地相距多少千米?
模块五：环形路线问题
顾名思义，环形路线的运动路径是一个封闭的曲线，这就意味着从一个点出发，跑完一圈之后会回到出发点，这是完全不同于直线运动的．同样的，环形中的相遇问题与直线形中也是略有不同的．如图所示，从一个点出发，背向而行的两人，会在圆周上的一点相遇．这时他们走过的路程之和为一个圆周．而如果他们从同一个点出发同向而行，慢的那个人会在圆周上的一点被快的那人追上．这时他们走过的路程之差是一个圆周．
【例1】小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走。小张速度是每小时5.4千米，小王速度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇，那么绕湖一周的行程是多少千米

【例2】(8分)如图，A、B是圆直径的两个端点，小张在A点，小王在B点，同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，弧CA的最短长度是80米;在D点第二次相遇，弧DB的最短长度是60米则圆的周长是多少米?
1.小华和小丽在一个周长为400米的环形跑道上跑步，从同一点出发。小华每分钟跑210米，小丽每分钟跑190米。若两人同时反向而行， 分钟后两人第一次相遇；若同时同向而行， 分钟后两人第一次相遇。
2.甲乙二人绕长400米的跑道跑步， 两人从同一地点背向而行， 则经过2分钟可相遇；如果两个人从同一地点同向而行， 经过20分钟才相遇， 且已知甲的速度比乙的速度快， 那么甲的速度是每分钟多少米？

3.甲、乙、丙三人沿一条周长为600米的环形路散步，他们同时从同一地点出发，甲按顺时针方向走，乙、丙按逆时针方向走。甲第一次遇到乙后2.5分钟遇到丙，又经过5分钟后第二次遇到乙，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，求丙的速度是多少?

第15节：一般行程问题参考答案
模块一：基础知识
1、速度的定义：速度就是单位时间内所经过的路程。
2、速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们的关系如下：
路程＝速度×时间
速度＝路程÷时间
时间＝路程÷速度
3、行程问题中常用的数量单位
（1）常用的路程单位：米、千米。
（2）常用的时间单位：秒、分钟和小时。
（3）常用的速度单位：米/秒、米/分、千米/小时。
【例1】甲、乙两地相距360千米，一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时．如果按照原定的时间到达乙地，汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米？
【解析】（1）行驶路程是360千米，行驶时间是8小时，所以行驶速度是360÷8=45千米/时；
（2）后一半路程是360÷2=180千米，行驶总时间仍然是8小时，前半程花了4+1=5小时，所以后半程行驶时间是3小时，后半程的速度是180÷3=60千米/时．
【例2】A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：
（1）甲从A走到B需要多长时间？
（2）两个人从出发到相遇需要多长时间？
【解析】（1）甲行驶的路程是4800米，行驶的速度是60米/分，所以行驶的时间是4800÷60=80分钟；（2）两人从出发到相遇行驶的路程和是4800米，行驶的速度和是60+100=160米/分，所以相遇时间是4800÷160=30分钟．
1、乐乐练习慢跑，12分钟跑了3000米，按照这个速度，跑25000米需要多少分钟？如果乐乐每天都以这个速度跑10分钟，连续跑一个月(30天），他一共跑了多少千米？
【解析】乐乐跑的速度为3000÷12=250米/分，跑25000米需要25000÷250=100分钟．每天跑10分钟，跑一个月，一共跑了250×10×30=75000米，即75千米．
2、兔子和乌龟赛跑，从A地跑到B地，全程共6000米．兔子计划5分钟跑完全程，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程比计划的要少200米．那么兔子实际跑完全程用了多长时间？
【解析】原计划5分钟跑完6000米，所以原计划速度为6000÷5=1200米/分，实际每分钟跑1200－200=1000米，所以实际时间为6000÷1000=6分钟．
3、乐乐和轩轩从相距5000米的A、B两地同时出发，相向而行．如果乐乐每分钟走150米，轩轩每分钟走350米，那么两人从出发到相遇需要多长时间？
【解析】从出发到相遇，路程和为5000米，速度和为150+350=500米/分，所以相遇时间为5000÷500=10分钟
模块二：基本相遇问题
两个运动物体在一条直线上运动，行进的方向可能相同，也可能相反。当它们行进方向相反时，如果它们面对面地接近，我们称为“相向而行”；如果它们背对背远离，我们就称为“相背而行”。
相遇问题关心的是两个移动物体的“速度和”以及“路程和”。根据行程问题基本公式，我们可以类似得到相遇问题的三个基本公式：
路程和＝速度和×相遇时间
相遇时间＝路程和÷速度和
速度和＝路程和÷相遇时间
使用上述公式的时候一定要注意，两个运动物体必须同时行进。如果相遇过程中并不是同时行进的，这个公式就不能直接用了，需要分段考虑。
对于一些复杂的行程问题，单靠凭空想象已经无能为力了，这时需要用一种形象的语言，把运动过程直观地表现出来，这就是我们解行程问题的最得力的助手——线段图。
画线段图时要特别注意：
(1)专人专线：如果我们考虑的是两个或多个对象的运动，可以把它们的运动路线并排摆放，
要注意不同人的运动路线不同；
(2)同时性：如果运动时间分为几个阶段，那么应该在运动路线上表示相应的时刻．
比如上图表示汽车A与汽车B分别从甲地、乙地同时出发，从开始①时刻到②时刻两车相遇，从②时刻到③时刻表示两车相遇后各自的运动情况．这样一来，我们就可以借助线段图把整个行程过程看得更清楚．画线段图是解行程问题最基本的方法．通过作图，可以将题目中的条件梳理清楚，还可以通过对图形的观察，挖掘出很多字面上看不出来的隐藏条件，进而找到解题的突破口．
【例1】甲、乙两人从相距46 千米的A、B 两地出发，相向而行，甲先出发1 小时，他们在乙出发后4 小时相遇，又知甲比乙每小时快2 千米。乙行完全程需要几小时?
【解析】[46－2×(4＋1)]÷(4＋4＋1)＝4(千米)
46÷4＝11.5(小时)
答：乙行完全程需11.5小时.
【例2】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，匀速前进。如果每人按一定的速度前进，则4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，则5小时相遇。那么A、B两地的距离是多少千米?
【解析】（千米）
答：A、B两地的距离是40千米。
1.A、B两地相距470千米，乙车以每小时40千米的速度，甲车以每小时46千米的速度先后从两地出发，相向而行，相遇时甲车行驶了230千米。则乙车比甲车早出发 1 小时。
2.(6分)甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务，甲车单独清扫需要10小时乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米?
【解析】(小时)
（千米）
答：东、西两城相距60千米。
3.A、B两市相距300千米。现有甲、乙两车从两地同时相向而行，已知甲车的速度为40千米/小时，乙车的速度为50千米/小时。多少小时后两车之间的距离为30千米。
【解析】①未相遇:(300-30)÷(40+50)=3(小时)
②相遇后:(300+30)÷(40+50)=3(小时)
4.一列火车从地开往地，已经行了全程的，离地还有100千米。两地之间的铁路长多少千米?
【解析】100÷(1)=250(千米）
答：两地之间的铁路长250千米。
模块三：基本追及问题
基本追及问题是指两个人在同一直线上同向而行的行程问题。
追及问题中两个移动物体是同向而行，因此我们考虑的是两个移动物体的“速度差”以及“路程差”。仿照行程问题基本公式，我们同样可以得到追及问题的三个基本公式：
路程差＝速度差×追及时间
追及时间＝路程差÷速度差
速度差＝路程差÷追及时间
【例1】墨莫步行上学，每分钟行75米．墨莫离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行375米．求爸爸追上墨莫所需要的时间．
【解析】墨莫先出发了12分钟，速度是75米/分，所以墨莫行的路程是75×l2=900米．所以爸爸从出发到追上墨莫，两人的路程差就是900米，速度差是375－75=300米/分，追及时间是900÷300=3分钟．
【例2】龟、兔赛跑，全程600米。兔子3分钟就可以跑完全程，乌龟的速度是兔子速度的。发令枪响后，兔子一会儿就把乌龟远远甩在后边，骄做的兔子自以为跑得快，在途中美美地睡了一觉，结果乌龟到达终点时，兔子离终点还有200米。兔子在途中睡了多少分钟?
【解析】:600÷3=200(米/分钟)
:200×0=10(米/分钟)
600÷10－(600－200)÷200=58(分钟)
1.甲乙两人在相距2千米的A、B两地同时出发，同向而行。甲步行每小时行4千米，乙骑车在后面，每小时速度是甲的3倍， 小时后乙能追上甲。
2.哥哥每分钟走60米，弟弟每分钟走40米，两人同时同地相背而行，10分钟后哥哥转身追弟弟，则多少分钟后可以追上弟弟?
【解析】(60+40)×10÷(60-40)=50(分)
答：50分钟后可以追上弟弟。
3.龟兔赛跑，同时出发，全程700米，乌龟每分钟爬30米，兔子每分钟跑330米，兔子跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速度往前跑，问乌龟和兔子谁先到达终点。(通过计算说明)
【解析】兔子先跑了30×10=3300(米)；兔子睡完开始跑时乌龟已经跑了30×(215+10)=6750(米)，乌龟还剩7000-6750=250(米)，还需250÷30=(分钟)，兔子在这段时间跑了(米),3000+2750=6050(米)，因为6050