小升初冲刺名校数学拓展——第16节：特殊行程问题

这是一份小升初冲刺名校数学拓展——第16节：特殊行程问题，共8页。主要包含了火车经过桥/山洞/隧道的过程．，火车与行人的相遇和追及问题，两列火车之间的相遇与追及．等内容，欢迎下载使用。
模块一：火车行程问题
火车的行程问题大体上可以分为三类：火车过桥/山涧/隧道的问题；火车与行人的相遇和追及问题；火车与火车的相遇和追及问题．
一、火车经过桥/山洞/隧道的过程．
1、"火车通过桥”即指“火车从车头上桥到车尾离桥”的过程，如图所示：
火车在通过桥/山洞/隧道时行驶的总路程是火车车长与桥/山洞/隧道的长度之和
2、"火车完全在桥上”即指“火车从车尾上桥到车头离桥”的过程，如图所示：
火车完全在桥上/山洞中/隧道中行驶的总路程是桥/山洞/隧道的长度与火车车长之差．
二、火车与行人的相遇和追及问题
1、火车从静止的人身旁经过的过程是非常简单的，从车头遇到人到车尾离开人，整个过程中火车行驶的路程就是火车长度－其实可以把人看作缩短至长度为0的桥．
2、火车与人相遇：
行人和火车迎面相遇，从相遇时刻到错开时刻，火车和行人的路程和＝火车的长度．
3、火车追人：
火车追行人，从追上时刻到离开时刻，火车和行人的路程差＝火车的长度．
三、两列火车之间的相遇与追及．
1、火车与火车相遇：
火车和火车相遇，从相遇时刻到错开时刻，两列火车的路程和＝两列火车车长之和．
2、火车追火车：
火车追火车，从追上时刻到离开时刻，两列火车的路程差＝两列火车车长之和．
【例1】火车进山洞燧道，从车头进入到车尾进人洞口，共用分钟，又当车头开始进入洞口直到车尾出洞口，共用分钟，且，又知山洞隧道长是300米，那么火车车长为多少米？
【例2】甲乙两列火车在平行的轨道上相向而行，两车从车头相遇到车尾相离共用4 秒。甲车长135米，速度是每秒行48 米，乙车每秒行52 米，乙车车长多少米？


1.一列火车以每分钟600米的速度通过一座220米的大桥，如果火车全长20米，那么从车头上桥到车尾离开桥，共需 分钟。
2.两列火车相向而行，客车每小时行80 千米，货车每小时行55千米，两车相遇错过时，客车上的旅客从看见货车的车头到车尾经过10秒钟，货车的全长是 。
3.小明为了测得火车过桥时的速度和火车的长度，在一铁路桥旁进行观察，火车从开始上桥到完全过桥共用1min。整列火车完全在桥上的时间为40s。已知桥长1500m，根据小明测得的数据求出火车长度是 。
A.275m B.288m C.290m D.300m
4.一列匀速前进的列车，从它车头进入750米的隧道到车尾离开，共需30秒，又知在隧道顶部的一固定的灯发出的一束光线垂直照射火车5秒，则这列火车的长度是（ ）。
A.100米 B.150米 C.200米
模块二：流水行船问题
当船在水中航行时，如果水是静止不动的，那船的行驶速度就只由船本身决定，这个速度称为船的静水速度，即船本身的速度．
大家可以设想一下，如果船本身停止运动，那么它还是会顺着水流前进，这时的速度等于水流的速度，我们可以把水流的速度简称为水速．
当船顺水而行时，船的静水速度和水速会叠加起来，行驶速度会变快，此时的速度我们称之为顺水速度；相反的，如果船逆水而行，水速会抵消掉一部分船本身的速度，行驶速度会变慢，此时的速度我们称之为逆水速度．
下面的两个基本公式就给出了对应的计算方法：
顺水速度＝静水速度＋水速；
逆水速度＝静水速度－水速；
很容易地，根据和差问题的计算方法，我们可以得到如下结论：
水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2;
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2.
这四个公式是流水行船问题中最基本的速度计算公式．下面我们就利用这四个公式，解决几个典型的流水行船问题
【例1】甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度．
【例2】甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米．一艘船沿甲河顺水7小时后到达乙河，共航行133千米．这艘船在乙河逆水行行84千米需要几小时。
【例3】一艘船在A、B两地往返航行，如果船顺水漂流，从A地到达B地需要60小时，而开船从B地到达A地需要30小时．那么这艘船从A地开到B地需要多长时间？
1.一架飞机所带的燃料最多可用9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米；返回时逆风，每小时可飞1200千米。这架飞机最多飞出多少千米就要往回飞?

2.(5分)一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分钟逆风飞行需要3小时。
(1)求无风时飞机的飞行速度
(2)求两城之间的距离。
3.(7分)一轮船从宜昌顺水到武汉，船在静水的速度是每小时20千米，由宜昌到武汉要6小时，返回所需的时间是去的时间的1.5倍，求水流的速度。
4.轮船从A城到B城需行3天，而从B城到A城需行4天，从A城放一个无动力的木筏它漂到B城需要多少天？
模块三：间隔发车问题
一般间隔发车问题，用3个公式迅速作答：
汽车间距＝（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔
汽车间距＝（汽车速度-行人速度）×相遇事件时间间隔
汽车间距＝汽车速度×汽车发车时间间隔
【例1】电车总站每隔一定的时间开出一辆电车，甲和乙两人在一条路上沿同一个方向步行。甲每分钟走82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车;乙每分钟走60米，每隔10分15秒遇上辆迎面开来的电车。那么，电车总站隔多久开出一辆电车?
【例2】(10分)甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车。小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行。小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。如果电车行驶全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分钟?
1.小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米?

2.小明放学后沿某路公共汽车路线，以每小时4千米的速度步行回家。沿途该路公共汽车每9分钟就有一辆车从后面超过它，每7分钟就又遇到迎面开来的一辆车。如果该路公共汽车按相等的时间间隔以同一速度不停地运行，那么公共汽车发车的时间间隔是多少分钟?
模块四：时钟问题
我们仔细观察钟表，会发现除了表示小时的12个大格，在每个大格中还有一些小格，数一数，每个大格都包含了5个小格，那整个钟面上就包含了60个小格，我们就利用这个“格”来表示分针、时针和秒针的速度．经过计算，我们容易得出：
时针的速度：5格/时＝格/分=0.5度/分；
分针的速度：60格/时=1格/分=6度/分；
知道了速度，就可以根据以前学过的环形路线问题来分析时针和分针的运动过程，从而解决问题。
【例1】时钟现在3点，再过 分钟，时针、分针第一次重合。
A. B. C. D.
【例2】有个古怪的钟，每昼夜走10个小时，每小时100分钟，当这个钟显示5时时，实际上是我们的中午12时，当这个钟显示6时75分时，实际上是我们的下午几时几分。
1.9:30时，时针与分针的夹角是 。
2.从3:00到3:20，时钟的分针转过了 °；时针转过了 °。
3.时钟现在是10点，再过 分钟，时针和分针第一次在同一条直线上。
A. B. C. D.
4.时钟此刻时间为2点整，再过 分钟，分针和时针第一次成90°夹角。
A. B. C. D.
模块五：上下坡问题
【例1】—条公路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1:2:3，张叔叔骑车经过各段路所用时间之比是3:4:5。已知他在平路上骑车速度是每小时25千米。他行完全程用了多长时间？
1.小明上坡时速度为每小时3.6千米，下坡时速度为每小时4.5千米，有一个小斜坡，小明上坡再沿原路下坡共用了1.8小时，这段斜坡的长度
是 千米
2.一辆汽车上山速度是每小时40千米，下山速度是每小时60千米，由此可知这辆汽车上、下山的平均速度是每小时__ _千米。
3.从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1：2：3。某人走这三段路所用的时间之比是4：5：6。已知他上坡时的速度为每小时2.5千米，路程全长为20千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？
第16节：特殊行程问题参考答案
模块一：火车行程问题
火车的行程问题大体上可以分为三类：火车过桥/山涧/隧道的问题；火车与行人的相遇和追及问题；火车与火车的相遇和追及问题．
一、火车经过桥/山洞/隧道的过程．
1、"火车通过桥”即指“火车从车头上桥到车尾离桥”的过程，如图所示：
火车在通过桥/山洞/隧道时行驶的总路程是火车车长与桥/山洞/隧道的长度之和
2、"火车完全在桥上”即指“火车从车尾上桥到车头离桥”的过程，如图所示：
火车完全在桥上/山洞中/隧道中行驶的总路程是桥/山洞/隧道的长度与火车车长之差．
二、火车与行人的相遇和追及问题
1、火车从静止的人身旁经过的过程是非常简单的，从车头遇到人到车尾离开人，整个过程中火车行驶的路程就是火车长度－其实可以把人看作缩短至长度为0的桥．
2、火车与人相遇：
行人和火车迎面相遇，从相遇时刻到错开时刻，火车和行人的路程和＝火车的长度．
3、火车追人：
火车追行人，从追上时刻到离开时刻，火车和行人的路程差＝火车的长度．
三、两列火车之间的相遇与追及．
1、火车与火车相遇：
火车和火车相遇，从相遇时刻到错开时刻，两列火车的路程和＝两列火车车长之和．
2、火车追火车：
火车追火车，从追上时刻到离开时刻，两列火车的路程差＝两列火车车长之和．
【例1】火车进山洞燧道，从车头进入到车尾进人洞口，共用分钟，又当车头开始进入洞口直到车尾出洞口，共用分钟，且，又知山洞隧道长是300米，那么火车车长为__180_米。
【解析】由于所用时间比为b:a=8:3，把火车的长度看做3份。
300÷(8−3)×3=300÷5×3=60×3=180(米)
答：火车长180米。
【例2】甲乙两列火车在平行的轨道上相向而行，两车从车头相遇到车尾相离共用4 秒。甲车长135米，速度是每秒行48 米，乙车每秒行52 米，乙车车长多少米？
【解析】（米）
答：乙车车长265米。
1.一列火车以每分钟600米的速度通过一座220米的大桥，如果火车全长20米，那么从车头上桥到车尾离开桥，共需 4 分钟。
2.两列火车相向而行，客车每小时行80 千米，货车每小时行55千米，两车相遇错过时，客车上的旅客从看见货车的车头到车尾经过10秒钟，货车的全长是 375m 。
3.小明为了测得火车过桥时的速度和火车的长度，在一铁路桥旁进行观察，火车从开始上桥到完全过桥共用1min。整列火车完全在桥上的时间为40s。已知桥长1500m，根据小明测得的数据求出火车长度是 D 。
A.275m B.288m C.290m D.300m
4.一列匀速前进的列车，从它车头进入750米的隧道到车尾离开，共需30秒，又知在隧道顶部的一固定的灯发出的一束光线垂直照射火车5秒，则这列火车的长度是（ B ）。
A.100米 B.150米 C.200米
模块二：流水行船问题
当船在水中航行时，如果水是静止不动的，那船的行驶速度就只由船本身决定，这个速度称为船的静水速度，即船本身的速度．
大家可以设想一下，如果船本身停止运动，那么它还是会顺着水流前进，这时的速度等于水流的速度，我们可以把水流的速度简称为水速．
当船顺水而行时，船的静水速度和水速会叠加起来，行驶速度会变快，此时的速度我们称之为顺水速度；相反的，如果船逆水而行，水速会抵消掉一部分船本身的速度，行驶速度会变慢，此时的速度我们称之为逆水速度．
下面的两个基本公式就给出了对应的计算方法：
顺水速度＝静水速度＋水速；
逆水速度＝静水速度－水速；
很容易地，根据和差问题的计算方法，我们可以得到如下结论：
水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2;
静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2.
这四个公式是流水行船问题中最基本的速度计算公式．下面我们就利用这四个公式，解决几个典型的流水行船问题
【例1】甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度．
【解析】顺水速度为208÷8＝26千米/时，逆水速度为208÷13＝16千米/时，船的静水速度为(26＋16)÷2·＝21千米/时，水流速度为(26－16)÷2＝5千米/时．
【例2】甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米．一艘船沿甲河顺水7小时后到达乙河，共航行133千米．这艘船在乙河逆水行行84千米需要几小时。
【解析】船在甲河中顺水航行的速度是133÷7＝19千米/时．而甲河水速是3千米1时，所以船静水速度是19－3＝16千米/时．乙河水速是2千米/时，因此船在乙河中逆水航行的速度是16－2＝14千米/时，所以航行84千米需要84÷14＝6·小时
【例3】一艘船在A、B两地往返航行，如果船顺水漂流，从A地到达B地需要60小时，而开船从B地到达A地需要30小时．那么这艘船从A地开到B地需要多长时间？
【解析】假设从A地到B地的距离是60千米，那么这艘船的漂流速度为60÷60＝1千米/时，逆水航行的速度是60÷30＝2千米/时，顺水速度为2＋l×2＝4千米/时，因此这艘船从A地开到B地需要60÷4＝15小时．
1.一架飞机所带的燃料最多可用9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米；返回时逆风，每小时可飞1200千米。这架飞机最多飞出多少千米就要往回飞?
【解析】设这架飞机顺风飞行x小时,则逆风飞行(9-x)小时
1500×x＝120×(9-x)
x＝4
最多飞出1500×4＝6000(千米)
2.(5分)一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分钟逆风飞行需要3小时。
(1)求无风时飞机的飞行速度
(2)求两城之间的距离。
【解析】2小时50分＝2小时。
设无风时飞机的航速为x千米/小时，可得方程：
(x+24)×256＝(x−24)×3 x＝840.
则两城之间的距离为：(840−24)×3＝2448(千米).
答：飞机无风时的航速为每小时840千米，两城之间的距离为2448千米。
3.(7分)一轮船从宜昌顺水到武汉，船在静水的速度是每小时20千米，由宜昌到武汉要6小时，返回所需的时间是去的时间的1.5倍，求水流的速度。
【解析】设水流速度为千米每小时。
＝4
答：水流速度是每小时4千米。
4.轮船从A城到B城需行3天，而从B城到A城需行4天，从A城放一个无动力的木筏它漂到B城需要多少天？
详解：假设从A城到B城的距离是24'千米，那么轮船顺水航行的速度是24÷3＝8千米/天，而逆水航行的速度是24÷4＝6千米/天，由和差关系可知，水速为(8－6)÷2＝－1千米/天，也就是木筏漂流的速度．因此木筏从A城漂流到B城需要24÷1＝24天．
模块三：间隔发车问题
一般间隔发车问题，用3个公式迅速作答：
汽车间距＝（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔
汽车间距＝（汽车速度-行人速度）×相遇事件时间间隔
汽车间距＝汽车速度×汽车发车时间间隔
【例1】电车总站每隔一定的时间开出一辆电车，甲和乙两人在一条路上沿同一个方向步行。甲每分钟走82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车;乙每分钟走60米，每隔10分15秒遇上辆迎面开来的电车。那么，电车总站隔多久开出一辆电车?
【解析】10分15秒=104分钟，
电车速度：820(米/分钟)
两车间距:(820+82)×10=9020(米)
电车发车间隔:9020÷820=11(分钟)
【例2】(10分)甲、乙两地是电车发车站，每隔一定时间两地同时发出一辆电车，每辆电车都是每隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车。小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时出发，相向而行。小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车，小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。如果电车行驶全程需要56分钟，那么小王与小张在途中相遇时，他们已经出发了多少分钟?
【解析】设同向行驶的相邻两辆电车之间的距离为“1”,两辆电车每分钟一共行1÷4=，则每辆电车每分钟行。全程为×56=7；小张和电车每分钟一共行1÷5=，则小张每分钟行；小王和电车每分钟一共行1÷6=，则小王每分钟行；两人相遇时已经行了=60（分钟）
答:他们已经出发了60分钟。
1.小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米?
【解析】小轿车行完全长时,面包车还要行10分钟,即小时,面包车行完一小时后,小轿车已往前行了9千米,则小轿车速度为(千米/时),那么面包车速度为54-6=48(千米/时)，当小轿车行完全长时,比面包车多48×=8(千米),此时小轿车用时8÷6=(小时),全长×54=72(千米)。
2.小明放学后沿某路公共汽车路线，以每小时4千米的速度步行回家。沿途该路公共汽车每9分钟就有一辆车从后面超过它，每7分钟就又遇到迎面开来的一辆车。如果该路公共汽车按相等的时间间隔以同一速度不停地运行，那么公共汽车发车的时间间隔是多少分钟?
解:设公共汽车车速为x千米/时
(32-4)×=(千米)
÷32×60=(分) 答:公共汽车发车的时间间隔是分。
模块四：时钟问题
我们仔细观察钟表，会发现除了表示小时的12个大格，在每个大格中还有一些小格，数一数，每个大格都包含了5个小格，那整个钟面上就包含了60个小格，我们就利用这个“格”来表示分针、时针和秒针的速度．经过计算，我们容易得出：
时针的速度：5格/时＝格/分=0.5度/分；
分针的速度：60格/时=1格/分=6度/分；
知道了速度，就可以根据以前学过的环形路线问题来分析时针和分针的运动过程，从而解决问题。
【例1】时钟现在3点，再过 D 分钟，时针、分针第一次重合。
A. B. C. D.
【解析】
【例2】有个古怪的钟，每昼夜走10个小时，每小时100分钟，当这个钟显示5时时，实际上是我们的中午12时，当这个钟显示6时75分时，实际上是我们的下午几时几分。
【解析】100×10=1000(分) (这个怪钟每昼夜走1000分)
24×60÷1000=1.44(分) (怪钟1分钟相当于标准时间1.44分钟)
6时75分-5时=1时75分 1×100+75=175分 (怪钟从中午12时走175分)
175×1.44=252(分) 252÷60=4(时)……12分 (下午4时12分)
答:实际是下午4时12分。
1.9:30时，时针与分针的夹角是 105° 。
2.从3:00到3:20，时钟的分针转过了 120 °；时针转过了 10 °。
3.时钟现在是10点，再过 B 分钟，时针和分针第一次在同一条直线上。
A. B. C. D.
4.时钟此刻时间为2点整，再过 B 分钟，分针和时针第一次成90°夹角。
A. B. C. D.
模块五：上下坡问题
【例1】—条公路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1:2:3，张叔叔骑车经过各段路所用时间之比是3:4:5。已知他在平路上骑车速度是每小时25千米。他行完全程用了多长时间？
【解析】60÷(1+2+3)=10(千米)
：10×2÷25=（） ：（） ：（）
（）
答：他行完全程用了2.4小时。
1.小明上坡时速度为每小时3.6千米，下坡时速度为每小时4.5千米，有一个小斜坡，小明上坡再沿原路下坡共用了1.8小时，这段斜坡的长度是 7.2 千米
2.一辆汽车上山速度是每小时40千米，下山速度是每小时60千米，由此可知这辆汽车上、下山的平均速度是每小时__48__千米。
3.从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1：2：3。某人走这三段路所用的时间之比是4：5：6。已知他上坡时的速度为每小时2.5千米，路程全长为20千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？
【解析】（）(上坡路程）
（小时）(上坡时间）
（小时）(总时间）
答：从甲地到乙地需5小时。