初中数学人教版九年级下册26.2 实际问题与反比例函数教学设计

这是一份初中数学人教版九年级下册26.2 实际问题与反比例函数教学设计，共10页。教案主要包含了学习目标，学习重难点，知识梳理，课堂引入，应用举例，拓展提升，达标测评，知识网络等内容，欢迎下载使用。

(续表)
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典案二 导学设计
【学习目标】
1．知识技能
进一步运用反比例函数的概念解决实际问题．
2．解决问题
经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力.
3．数学思考
(1)在运用反比例函数解决实际问题的过程中，进一步体会数学建模思想；
(2) 培养学生的数学应用意识．
4．情感态度
在运用反比例函数解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣．
【学习重难点】
1. 重点：运用反比例函数的意义和性质解决实际问题．
2. 难点：用反比例函数的思想方法分析解决实际问题，在解决实际问题的过程中进一步巩固反比例函数的性质．
课前延伸
【知识梳理】
1．已知函数y＝eq \f(6,x)，当x＝2时，y＝__3__；当y＝2时，x＝__3__．
2．对于函数y＝eq \f(3,x)，当x>0时，y__＞0__，这部分图像在第__一__象限；对于函数y＝－eq \f(3,x)，当x<0时，y__＞0__，这部分图象在第__二__象限．
3．结合一个反比例函数实例，说说反比例函数中两个变量之间的关系．
自主学习记录卡
课内探究
一、课堂探究1(问题探究，自主学习)
某气球内充满了一定质量的某种气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(KPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图26－2－14：
图26－2－14
(1)观察图象经过已知点________；
(2)求出P与V之间的函数解析式；
(3) 当气球的体积是0.8 m3时，气球内的气压是多少千帕？
二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)
问题：市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度h(单位： m)之间有怎样的函数关系？
(2)公司决定将储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下挖进多深？
(3)当施工队按(2)中的计划挖进15 m3时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深度改为15 m，相应的储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)?
三、反馈训练
1．(1)已知某矩形的面积为20 cm2，写出其长y与宽x之间的函数解析式；
(2)当矩形的长为12 cm时，它的宽为多少？当矩形的宽为4 cm，它的长为多少？
(3)如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽至多要多少．
2．某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．
(1)漏斗口的面积S与漏斗的深度d有怎样的函数关系？
(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深度为多少？
课后提升
1．李明计划在一定日期内读完一本200页的书，读了5天后改变计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．
2．某汽车油箱的容积为70升，小王把油箱注满后准备驾驶汽车从县城到300千米外的省城接客人，在接到客人后立即按原路返回，请回答下列问题：
(1)油箱注满后，汽车能够行驶的总路程a(单位：千米)与平均耗油量b(单位：升/千米)之间有怎样的函数关系？
(2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达省城，在返程时由于下雨，小王降低了车速，此时每行驶1千米的耗油量增加了一倍．如果小王一直以此速度行驶，油箱里的油是否够回到省城？如果不够用，至少还需加多少油？
【学习目标】
1．知识目标
(1)进一步体验现实生活与反比例函数的关系；
(2)进一步运用反比例函数的概念和性质解决实际问题．
2．能力训练目标
能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题，逐步提高从实际问题中寻找变量之间的关系，建立反比例函数模型的能力，认识反比例函数性质的应用方法．
3．情感、态度与价值观目标
(1)从现实情境中提出问题，提高应用数学的意识；
(2)体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，体验数学的实用性，提高学数学的兴趣．
【学习重难点】
1．重点：运用反比例函数解释生活中的一些规律，解决一些实际问题．
2. 难点：利用反比例函数把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，再解决实际问题．
课前延伸
【知识梳理】
1．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25，则y与x的函数解析式为__y＝eq \f(100,x)__．
2．有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的eq \f(1,3)，若下底长为x，高为y，则y与x之间的函数解析式是__y＝eq \f(90,x)__．
3．如图26－2－15所示是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象．
图26－2－15
(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；
(2)写出V与t之间的函数解析式；
(3)若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
(4)如果每小时排水量是5000 m3，那么水池中的水要多少小时能排完？
自主学习记录卡

课内探究
一、课堂探究1(问题探究，自主学习)
学生自主探究题：某气球内充满了一定质量的某种气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3 )的反比例函数，其图象如图26－2－16所示(千帕是一种压强单位)．
图26－2－16
(1)写出这个函数的解析式；
(2)当气球的体积是0.8 m3时，气球内的气压是多少千帕？
(3)当气球内的气压大于144 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)
为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知，药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分)成正比例；药物燃烧后，y与x成反比例(如图26－2－17所示)．现测得药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题：
图26－2－17
(1)药物燃烧时，y关于x的函数解析式为：__y＝eq \f(3,4)x__，自变量的取值范围是：__0≤x≤8__；药物燃烧后，y与x的函数解析式为__y＝eq \f(48,x)__；
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过__38__分钟，学生才能回到教室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
三、反馈训练
1．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v(米/分)，所需时间为t(分)．
(1)速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
(2)若小林从家到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
(2)如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？
2．制作一种产品，需先将材料加热到60 ℃以后，再进行操作．设该材料的温度为y(℃)，从加热开始计算的时间为x(分)．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系(如图26－2－18所示)．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃.
图26－2－18
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数解析式；
(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
课后提升
1．已知三角形的面积为8 cm2，这时底边上的高y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系用图象来表示是( D )．
图26－2－19
2．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)是体积V(单位：m3)的反比例函数，它的图象如图26－2－20所示，当V＝10 m3时，气体的密度是( D )
图26－2－20
A．5 kg/m3
B．2 kg/m3
C．100 kg/m3
D．1 kg/m3
3．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图26－2－21所示．
图26－2－21
(1)写出y与S的函数关系式；
(2)求当面条粗1.6 mm2时，面条的总长度是多少米．
4．某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)和电阻R(Ω)成反比例函数关系，且当I＝4 A时，R＝5 Ω.
(1)蓄电池的电压是多少？请你写出这一函数的解析式；
(2)当电流为4 A时，电阻是多少？
(3)当电阻是10 Ω时，电流是多少？
(4)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过10 A，那么此用电器的可变电阻应该控制在什么范围内？课题
26.2 实际问题与反比例函数
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.能灵活运用反比例函数解析式解决一些实际问题；
2.能综合利用几何图形、方程、反比例函数的知识解决实际问题．
数学思考
体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
问题解决
分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
情感态度
体验反比例函数是有效描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的工具．
教学
重点
能够在实际问题中构建反比例函数模型．
教学
难点
在实际问题中寻找变量之间的关系，注意分析过程，渗透数形结合思想．
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
教师提出问题：
1.我们已经学习了反比例函数的哪些内容？
2.前面已经学习了一次函数、二次函数，类比前面的学习过程，我们将继续探究什么内容呢？基本方法有哪些呢？
教师引导学生进行解答，学生回忆所学，教师做好补充和辅导.
进一步熟悉学习函数的基本过程和方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米的烂泥湿地．为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务．你能用物理中学过的关于压强的知识解释他们这样做的道理吗？压强问题能利用反比例函数知识解决吗？
图26－2－9
首先建立反比例函数模型，然后应用反比例函数的概念、性质进行解决，初步培养学生应用反比例函数解决实际问题的能力.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
例题：码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t(单位：天)之间有怎样的函数关系？
(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸完，那么平均每天至少要卸货多少吨？
师生活动：教师提出问题，学生自主探究，写出平均卸货速度与卸货天数之间的函数解析式，教师提示学生从函数角度出发，应如何理解“不超过5天卸完”学生进行讨论，寻求解决问题的方法．学生展示结果，教师给予鼓励，规范解题书写过程.
追问：如果码头工人先以每天30吨的速度卸载货物，2天后，由于紧急情况，船上的货物必须在不超过4天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
师生活动：教师提出问题，引导学生交流、思考：
(1)工人先以每天30吨的速度卸载货物，2天后，还剩多少货物没有卸载？
(2)货物必须在不超过4天内卸载完毕，此时卸载时间与卸载速度之间的函数关系发生变化了吗？
(3)能否列出函数解析式？
待学生完成上述问题后，再要求学生独立解答问题，教师巡视指导，展示解题过程.
1.在解答问题的基础上，探究实际运输中存在的反比例函数问题，进一步培养学生建立反比例函数模型的能力.
2.当条件改变，函数关系也发生改变时，仍然能够发现反比例函数关系，发展学生分析、解决问题的能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200 N和0.5 m．
(1)动力F和动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少要多大的力？
(2)若想使动力F不超过第(1)题中所用力的一半，则动力臂L至少要加长多少？
教师关注：学生能否找出杠杆原理中的变量和不变量；学生能否自己构建函数模型；学生能否积极主动阐述自己的见解．
例2 教材P15例4一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220 Ω，已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图26－2－10所示. 图26－2－10
(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？
(2)这个用电器功率的范围是多少？
教师重点关注：学生能否将实际问题抽象为函数模型；学生能否利用函数模型解释实际问题中的现象；学生能否积极发表自己的见解.
从学生身边的实际问题出发，用他们熟悉和感兴趣的问题情境引出问题，促使学生展开数学探究，展现数学与现实及其他学科的综合，突出将实际问题数学化的过程.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例3 制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y(℃)，从加热开始计算的时间为x(分)．
据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系(如图26－2－11)．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x之间的函数解析式； 图26－2－11
(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，必须停止操作，那么操作时间是多少？
例3为反比例函数与一次函数的综合应用，进一步提升学生应用知识的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.用电器的输出功率P与通过的电流I，以及用电器的电阻R之间的关系是P＝I2R，下面说法正确的是(B)
A.若P为定值，则I与R成反比例
B.若P为定值，则I2与R成反比例
C.若P为定值，则I与R成正比例
D.若P为定值，则I2与R成正比例
2.一个物体对桌面的压力为10 N，受力面积为S cm2，压强为p Pa，则下列关系不正确的是(D)
A.p＝eq \f(10,S) B．S＝eq \f(10,p) C．pS＝10 D．p＝eq \f(S,10)
3.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变，ρ与V在一定范围内满足ρ＝eq \f(m,V)，它的图象如图26－2－12所示，则该气体的质量m为__7__ . 图26－2－12
4.在某一电路中，电源电压U保持不变，为220 V，电流I与电阻R成反比例关系，则当电路中的电流I为44 A时，电路中电阻R的值为__5_Ω__.
5.学生在学校食堂就餐，经常会在卖菜口前等待，经调查发现，同学的舒适度指数y与等待时间x之间存在关系y＝eq \f(100,x)，求：
(1)当等待时间x＝5时，求舒适度y的值；
(2)舒适度指数不低于10时，同学才会感到舒适，函数 图26－2－13
y＝eq \f(100,x)(x>0)的图象如图26－2－13所示，请根据图象说明，做为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间？
通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
活动
四：
课堂
总结
反思
1.课堂总结：
教师与学生一起回顾所学主要内容：
(1)我们建立反比例函数模型解决实际问题的过程是怎样的？
(2)在这个过程中要注意什么问题？
2.布置作业：
教材第15页练习第1，2题.
学生在反思中整理知识、梳理思维，获得成功的体验，积累学习的经验.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知的过程中，让学生把例题进行透彻分析，结合反比例函数的性质加深理解；在开放训练的过程中通过层次递进的例题练习巩固，让学生把知识转化为能力.
②[讲授效果反思]
本课时的难点在于跨学科知识的结合，所以教师在教学过程中注意引导学生复习物理中所学知识，加以运用，效果较好.
③[师生互动反思]
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④[习题反思]
好题题号
错题题号
反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
1.自学本课内容后，你有哪些疑难之处？
2．你有哪些问题要提交小组讨论？
1.自学本课内容后，你有哪些疑难之处？
2．你有哪些问题要提交小组讨论？