数学七年级上册第3章 一次方程与方程组综合与测试教案设计

这是一份数学七年级上册第3章 一次方程与方程组综合与测试教案设计，共16页。

实物信息类
1．如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28 cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224 cm，设演员的身高为x cm，高跷的长度为y cm，求x，y的值．
(第1题)
表格信息类
2．(中考·连云港)小林在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，购买商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表：
(1)小林以折扣价购买商品A，B是第________次购物；
(2)求出商品A，B的标价；
(3)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
几何图形类
3．某药业集团生产的某种药品的包装盒的表面展开图如图所示．已知长方体盒子的长比宽多4 cm，求这种药品包装盒的体积．
(第3题)
对话信息类
4．在“五一”期间，小明、小亮等同学随家人一同到某公园游玩，下图是购买门票时，小明与他爸爸的对话．试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)小明他们一共去了几个大人？几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．
(第4题)
专训二：巧用一次方程(组)选择方案
名师点金： 解方案选择题要仔细审题，弄清题目中条件之间的关系和作用；在选择合适的方案之前，应分析都有哪几种可行的方案，结合求出的每种方案的结果作出判断，培养把实际问题抽象为数学问题的能力和分析判断能力．
旅行社收费方案决策
1．张校长暑假将带领几名学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，全票价为240元．
(1)若学生有3人和5人，甲旅行社收费多少元？乙旅行社呢？
(2)学生有多少人时，两个旅行社的收费相同？
运输方式方案决策
2．某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时．其他主要参考数据如下：
(1)如果汽车的总支出费用比火车多1 100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？请你列方程解答．
(2)如果A市与B市之间的路程为s千米，且知道火车与汽车在路上需临时停车耽误的时间分别为2小时和3.1小时．你若是A市水果批发部门的经理，要想将这批水果运往B市销售，你认为选择哪种运输方式比较合算？
购买方案决策
3．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1 500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元．若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助设计一下商场的进货方案．
上网计费方案决策
4．某地上网有两种收费方式，用户可任选其一：(A)计时制：2.8元/时；(B)包月制：60元/月．此外，每种收费方式都加收通信费1.2元/时．
(1)某用户每月上网20小时，选用哪种收费方式比较合算？
(2)某用户有120元钱用于上网(一个月)，选用哪种收费方式比较合算？
(3)请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择收费方式．
专训三：几种常见的热门考点
名师点金：一元一次方程及方程组是初中数学的重点内容，也是中考的必考内容，其命题方向主要围绕方程(组)的相关概念、解法及应用几个方面．常见的题型有选择题、填空题、解答题，难度一般为中等．
一次方程(组)的相关概念
1．下列方程组是二元一次方程组的是( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2,y＋z＝3)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＝\f(3,y),2x＋y＝5))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2,x－2y＝6)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝3,xy＝6))
2．若关于x的方程ax＋3＝4x＋1的解为正整数，则整数a 的值为( )
A．3或2 B．4 C．5 D．6
3．已知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－by＝4，,ax＋by＝2))的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))则2a－3b的值为( )
A．4 B．6 C．－6 D．－4
4．若关于x的方程(3－m)x2|m|－5＋7＝2是一元一次方程，则m＝________．
等式的基本性质
5．下列等式变形正确的是( )
A．如果S＝eq \f(1,2)ab，那么b＝eq \f(S,2a)
B．如果eq \f(1,2)x＝6，那么x＝3
C．如果x－3＝y－3，那么x－y＝0
D．如果mx＝my，那么x＝y

6．已知x＝y≠－eq \f(1,2)，且xy≠0，下列各式：①x－3＝y－3；②eq \f(5,x)＝eq \f(y,5)；③eq \f(x,2y＋1)＝eq \f(y,2x＋1)；④2x＋2y＝0，其中一定正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，标有相同字母的物体的质量相同，若A的质量为20克，当天平处于平衡状态时，B的质量为________克．
(第7题)
一次方程(组)的解法
8．下列方程组适合用代入法消元的是( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)（x－y）＋1,3x－2y＝5)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝y,5x－3y＝6))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y＝1,3x＋2y＝7)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝4,3x＋4y＝5))
9．解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝12，①,3x－5y＝2②))时，为达到消元的目的，应该进行如下变形：①×________－②×________．
10．解下列方程：
(1)12－(3x－5)＝7－5x；
(2)eq \f(2x－5,6)＋eq \f(3－x,4)＝1.
11．解下列方程组：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5＝y，,3x＋y＝10；)) (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y＝4，,3x－2y＝8；))
(3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)＋\f(y,2)＝4，,3x－2y＝16；)) (4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4y＋z＝－3，,2x＋y－z＝18，,x－y－z＝7.))
一次方程(组)的应用
12．“六一”儿童节前夕，某超市用3 360元购进A、B两种童装共120套，其中A型童装每套24元，B型童装每套36元．设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程组正确的是( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝120,36x＋24y＝3 360)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝120,24x＋36y＝3 360))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(36x＋24y＝120,x＋y＝3 360)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(24x＋36y＝120,x＋y＝3 360))
13．某种商品因换季准备打折出售．如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，那么这种商品的定价是多少元？
14．为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭月用电量在80千瓦时以下(含80千瓦时，1千瓦时俗称1度)时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
小张家2015年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少．
思想方法
a．转化思想
15．二元一次方程x＋y＝7的非负整数解有( )
A．6个 B．7个 C．8个 D．无数个
b．整体思想
16．有甲、乙、丙三种商品，购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元；购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需________元．
c．数形结合思想
17．如图，数轴上两个动点A，B开始时所表示的数分别为－8，4，A，B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．
(第17题)
(1)A，B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；
(2)A，B两点按上面的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距6个单位？
(3)A，B两点按上面的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发向同方向运动，且在运动过程中，始终有CB∶CA＝1∶2，若干秒后，C点在－10处，求此时B点的位置．
d．逆向思维法
18．李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒索性将第二天所剩的饮料的一半零半瓶喝了．这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则李飒的妈妈买的饮料一共有多少瓶？
答案
专训一
1．解：根据题意列方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2y，,x＋y－28＝224，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝168，,y＝84.))
故x的值为168，y的值为84.
2．解：(1)三
(2)设商品A，B的标价分别为x元、y元．
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6x＋5y＝1 140，,3x＋7y＝1 110，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝90，,y＝120.))
答：商品A，B的标价分别为90元、120元．
(3)设商品A，B均打a折出售．
根据题意，得(9×90＋8×120)×eq \f(a,10)＝1 062.
解得a＝6.
答：商店是打6折出售这两种商品的．
3．解：方法一：设这种药品包装盒的高为x cm，则宽为eq \f(14－2x,2) cm，长为(13－2x) cm.
依题意得13－2x－eq \f(14－2x,2)＝4.
解得x＝2.
方法二：设这种药品包装盒的宽为x cm，高为y cm，则长为(x＋4) cm.
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋2y＝14，,x＋4＋2y＝13，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2.))
故这种药品包装盒的长为9 cm，宽为5 cm，高为2 cm.
所以体积为9×5×2＝90(cm3)．
答：这种药品包装盒的体积为90 cm3.
4．解：(1)设一共去了x个大人，y个学生，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝12，,35x＋35y×50%＝350，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝4.))
答：一共去了8个大人，4个学生．
(2)按团体票一次性购买16张门票更省钱．理由：
按团体票一次性购买16张门票需要35×60%×16＝336(元)，因为336＜350，所以按团体票一次性购买更省钱．
专训二
1．解：(1)当有学生3人时，甲：240＋240×0.5×3＝600(元)；
乙：(3＋1)×240×0.6＝576(元)．
当有学生5人时，甲：240＋240×0.5×5＝840(元)；
乙：(5＋1)×240×0.6＝864(元)．
(2)设学生有x人．由题意，得
240＋240×0.5x＝(x＋1)×240×0.6.解得x＝4.
答：学生有4人时，两个旅行社的收费相同．
2．解：(1)设所求路程为x千米，则选择火车用的钱数为(eq \f(200x,100)＋15x＋2 000)元，选择汽车用的钱数为(eq \f(200x,80)＋20x＋900)元．
由题意，得eq \f(200x,100)＋15x＋2 000＝eq \f(200x,80)＋20x＋900－1 100，解得x＝400.
答：本市与A市之间的路程为400千米．
(2)选择火车用的钱数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(s,100)＋2))×200＋15s＋2 000＝17s＋2 400(元)，选择汽车用的钱数为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(s,80)＋3.1))×200＋20s＋900＝22.5s＋1 520(元)．
当两种运输方式所用钱数相同时，即17s＋2 400＝22.5s＋1 520，解得s＝160.
所以当s等于160时，两种运输方式一样合算；当s小于160时，选择汽车运输比较合算；当s大于160时，选择火车运输比较合算．
3．解：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台．
若购进甲、乙两种电视机，
列方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1 500x＋2 100y＝90 000，,x＋y＝50，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝25，,y＝25.))即购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．
若购进甲、丙两种电视机，
列方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1 500x＋2 500z＝90 000，,x＋z＝50，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝35，,z＝15.))即购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
若购进乙、丙两种电视机，
列方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2 100y＋2 500z＝90 000，,y＋z＝50，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝87.5，,z＝－37.5.))(不合题意，舍去)
综上所述，共有两种方案：一是购进甲种电视机25台，乙种电视机25台；二是购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
4．解：(1)计时制：20×(2.8＋1.2)＝80(元)，
包月制：60＋20×1.2＝84(元)．
因为80＜84，所以选用计时制比较合算．
(2)120÷(2.8＋1.2)＝30(小时)，
(120－60)÷1.2＝50(小时)．
因为30小时＜50小时，所以选用包月制比较合算．
(3)设用户每月上网x小时，两种方式的费用一样．
由题意得：(2.8＋1.2)x＝60＋1.2x，解得x＝eq \f(150,7).
所以当用户每月上网时间大于eq \f(150,7)小时时，选用包月制比较合算；
当用户每月上网时间小于eq \f(150,7)小时时，选用计时制比较合算；
当用户每月上网时间等于eq \f(150,7)小时时，选用计时制和包月制一样合算．
专训三
1．C 2.A 3.B 4.－3 5.C 6.B 7.10 8.B 9.3；2
10．解：(1)12－(3x－5)＝7－5x，
12－3x＋5＝ 7－5x，
2x＝ －10，
x＝ －5.
(2)eq \f(2x－5,6)＋eq \f(3－x,4)＝1，
2(2x－5)＋3(3－x)＝ 12，
4x－10＋9－3x＝ 12，
x＝ 13.
11．解：(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5＝y，①,3x＋y＝10，②))
将①代入②，得3x＋(2x＋5)＝10，解得x＝1.
将x＝1代入①，得y＝7.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝7.))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－4y＝4，①,3x－2y＝8，②))
①－②，得－2y＝－4，解得y＝2.
将y＝2代入①，得3x－8＝4，解得x＝4.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝2.))
(3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)＋\f(y,2)＝4，①,3x－2y＝16，②))
整理原方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝16，③,3x－2y＝16，②))
③＋②，得4x＝32，解得x＝8.
将x＝8代入③，得8＋2y＝16，解得y＝4.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝4.))
(4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4y＋z＝－3，①,2x＋y－z＝18，②,x－y－z＝7，③))
①＋②，得3x－3y＝15，即x－y＝5，④
②－③，得x＋2y＝11，⑤
联立④⑤组成方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝5，,x＋2y＝11，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝2.))将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝2))代入③，得7－2－z＝7，解得z＝－2.
所以原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝2，,z＝－2.))
12．B
13．解：设这种商品的定价是x元．
根据题意，得0.75x＋25＝0.9x－20，
解得x＝300.
答：这种商品的定价是300元．
14．解：设“基本电价”为x元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时．
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(80x＋（100－80）y＝68，,80x＋（120－80）y＝88，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0.6，,y＝1.))
答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时．
15．C 16.150
17．解：(1)设B点的运动速度为x个单位/秒，列方程为eq \f(8,2)x＝4.解得x＝1.
答：B点的运动速度为1个单位/秒．
(2)设两点运动t秒时相距6个单位，
①当A点在B点的左侧时，
2t－t＝(4＋8)－6，解得t＝6；
②当A点在B点的右侧时，
2t－t＝(4＋8)＋6，解得t＝18.
答：当A，B两点运动6秒或18秒时相距6个单位．
(3)设C点运动的速度为y个单位/秒，始终有CB∶CA＝1∶2，则列方程得2－y＝2(y－1)．解得y＝eq \f(4,3).当C点停留在－10处时，所用的时间为eq \f(10,\f(4,3))＝eq \f(15,2)(秒)，
此时B点所表示的数为4－eq \f(15,2)×1＝－eq \f(7,2).
答：此时B点的位置是－eq \f(7,2)所对应的点处．
点拨：本题利用数形结合思想，运用数轴辅助分析题意，找到相等关系，列方程得以求解．
18．解：设第三天李飒喝饮料之前，还有x瓶饮料，则eq \f(x,2)＋eq \f(1,2)＝x.解得x＝1，
这也是第二天喝饮料之后所剩的饮料瓶数．
设第二天喝饮料之前还有y瓶饮料，则y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)＋\f(1,2)))＝1.解得y＝3，这也是第一天喝饮料之后所剩的饮料瓶数．
再设第一天喝饮料之前有z瓶饮料，则z－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(z,2)＋\f(1,2)))＝3.
解得z＝7，这就是李飒的妈妈买的饮料的瓶数．
答：李飒的妈妈买的饮料一共有7瓶．
点拨：此题若按常规思维方法考虑非常困难，我们可利用逆向思维反向推理，问题便迎刃而解．
购买商品A
的数量/个
购买商品B
的数量/个
购买总费
用/元
第一次购物
6
5
1 140
第二次购物
3
7
1 110
第三次购物
9
8
1 062
运输工具
途中平均速
度(千米/时)
运费(元/千米)
装卸费用(元)
火车
100
15
2 000
汽车
80
20
900