2014年江西省高考数学试卷（文科）

这是一份2014年江西省高考数学试卷（文科），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2014年江西省高考数学试卷（文科）
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（　　）
A．1 B．2 C． D．
2．（5分）设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（　　）
A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）
3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（　　）
A． B． C．1 D．2
5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（　　）
A．﹣ B． C．1 D．
6．（5分）下列叙述中正确的是（　　）
A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　）
表1
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（　　）

A．7 B．9 C．10 D．11
9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（　　）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=ax2﹣x+与y=a2x3﹣2ax2+x+a（a∈R）的图象不可能的是（　　）
A． B． C． D．
　
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是　 　．
12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=　 　．
13．（5分）在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为　 　．
14．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于　 　．
15．（5分）x，y∈R，若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，则x+y的取值范围为　 　．
　
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．
17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
18．（12分）已知函数f（x）=（4x2+4ax+a2），其中a＜0．
（1）当a=﹣4时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
（1）求证：A1C⊥CC1；
（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．

20．（13分）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．
（1）证明：动点D在定直线上；
（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．

21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．
（1）求p（100）；
（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；
（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．
　

2014年江西省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=（　　）
A．1 B．2 C． D．
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出z，可得|z|．
【解答】解：∵复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），∴z===1+i，
∴|z|==，
故选：C．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．
　
2．（5分）设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁RB）=（　　）
A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）
【分析】根据补集的定义求得∁RB，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁RB）．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁RB={x|x≤﹣1，或 x＞5}，
则A∩（∁RB）={x|﹣3＜x≤﹣1}，
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
　
3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案
【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36
事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种
故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，
故选：B．
【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．
　
4．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（　　）
A． B． C．1 D．2
【分析】根据条件代入计算即可．
【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，
∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．
　
5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（　　）
A．﹣ B． C．1 D．
【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论．
【解答】解：∵3a=2b，∴b=，
根据正弦定理可得===，
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础．
　
6．（5分）下列叙述中正确的是（　　）
A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．
【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时，则有：
①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；
②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成立，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．
∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；
B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，
∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．
反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成立．
∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；
C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，
命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2＜0”．故C错误；
D、命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题．
　
7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　）
表1
成绩
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量
【分析】根据表中数据，利用公式，求出X2，即可得出结论．
【解答】解：表1：X2=≈0.009；
表2：X2=≈1.769；
表3：X2=≈1.3；
表4：X2=≈23.48，
∴阅读量与性别有关联的可能性最大，
故选：D．
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
　
8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（　　）

A．7 B．9 C．10 D．11
【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可．
【解答】解：模拟执行程序，可得
i=1，S=0
S=lg3，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，
满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．
故选：B．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．
　
9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（　　）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．
【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，
令x=a，则y=b，即A（a，b），
∵右焦点F（4，0），|FA|=4，
∴（a﹣4）2+b2=16，
∵a2+b2=16，
∴a=2，b=2，
∴双曲线C的方程为﹣=1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
　
10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=ax2﹣x+与y=a2x3﹣2ax2+x+a（a∈R）的图象不可能的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】讨论a的值，当a=0时，知D可能，当a≠0时，求出函数ax2﹣x+的对称轴x=，利用求导函数求出函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的极值点为x=与x=，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项．
【解答】解：当a=0时，函数y=ax2﹣x+的图象是第二，四象限的角平分线，
而函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的图象是第一，三象限的角平分线，故D符合要求；
当a≠0时，函数y=ax2﹣x+图象的对称轴方程为直线x=，
由y=a2x3﹣2ax2+x+a可得：y′=3a2x2﹣4ax+1，
令y′=0，则x1=，x2=，
即x1=和x2=为函数y=a2x3﹣2ax2+x+a的两个极值点，
对称轴x=介于x1=和x2=两个极值点之间，
故A、C符合要求，B不符合，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键．
　
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是　（e，e）　．
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论．
【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数为f′（x）=lnx+x=1+lnx，
直线2x﹣y+1=0的斜率k=2，
∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，
∴f′（x）=1+lnx=2，
即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，
故点P的坐标是（e，e），
故答案为：（e，e）．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义．
　
12．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，若向量=3﹣2，则||=　3　．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出的值，从而得到||的值．
【解答】解：=9=9，
∴||=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．
　
13．（5分）在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为　（﹣1，﹣）　．
【分析】根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．
【解答】解：∵Sn =7n+，当且仅当n=8时Sn取得最大值，
∴，即，解得：，
综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题．
　
14．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于　　．
【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，
∴D为BF1的中点，
又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|．
∴|AF1|=2|AF2|．
设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，
∴e=====．

【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．
　
15．（5分）x，y∈R，若|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，则x+y的取值范围为　[0，2]　．
【分析】根据绝对值的意义，|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2，再根据条件可得只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，此时，0≤x≤1，0≤y≤1，从而求得x+y的范围．
【解答】解：根据绝对值的意义可得|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；
|y|+|y﹣1|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；
故|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|的最小值为2．
再根据|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|≤2，可得 只有|x|+|y|+|x﹣1|+|y﹣1|=2，
此时，0≤x≤1，0≤y≤1，∴0≤x+y≤2，
故答案为：[0，2]．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．
　
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f（）=﹣，α∈（，π），求sin（α+）的值．
【分析】（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．
（2）利用f（）=﹣和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．
【解答】解：（1）f（）=﹣（a+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=﹣1
∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=（a+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=．
（2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣，
∴f（）=﹣sinα=﹣，
∴sinα=，
∵α∈（，π），
∴cosα==﹣，
∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．
　
17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；当n=1时，a1=S1”即可得出；
（2）对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），解出m为正整数即可．
【解答】（1）解：∵Sn=，n∈N*．
∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2，（*）
当n=1时，a1=S1==1．
因此当n=1时，（*）也成立．
∴数列{an}的通项公式an=3n﹣2．
（2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
则，
∴（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），
化为m=3n2﹣4n+2，
∵n＞1，
∴m=3n2﹣4n+2=＞1，
因此对任意的n＞1，都存在m=3n2﹣4n+2∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
　
18．（12分）已知函数f（x）=（4x2+4ax+a2），其中a＜0．
（1）当a=﹣4时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值．
【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f（x）的单调递增区间；
（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值．
【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（x）=（4x2+4ax+a2），
∴f（x）=（4x2﹣16x+16），
∴f′（x）=（8x﹣16）+（4x2﹣16x+16）=2（）=，
∵f′（x）＞0，x≥0，
∴5x2﹣12x+4＞0，
解得，0≤x＜，或x＞2，
∴当a=﹣4时，f（x）的单调递增区间为[0，）和（2，+∞）；

（2）∵f（x）=（4x2+4ax+a2），
∴；
令f′（x）=0．解得，
当f′（x）＞0时，x∈（0，）或，此时f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，x∈（），此时f（x）单调递减，
①当≥4，即a≤﹣40，f（x）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去
②当﹣≤1，即﹣2≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2，不符合舍去
③当﹣≤1，≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（x）在区间[1，4]为减函数，由f（4）=8，解得a=﹣10，
④当，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去，
⑤当，即﹣8＜a＜﹣2时，由f（）=8，无解．
综上所述，a=﹣10．
【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题
　
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
（1）求证：A1C⊥CC1；
（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．

【分析】（1）通过证明直线CC1与平面BA1C垂直，即可证明A1C⊥CC1；
（2）作AO⊥BC 于O，连结A1O，说明∠AA1O=90°，设A1A=h，求出A1O的表达式，以及三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V的表达式，利用二次函数的最值，求最大值．
【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∴A1A∥CC1∥BB1，
∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，
∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，
∵BC∩BA1=B，
∴CC1⊥平面BA1C，A1C⊂平面BA1C
∴A1C⊥CC1；
（2）作AO⊥BC于O，连结A1O，由（1）可知∠AA1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB⊥AC，
∴AO=，
设A1A=h，A1O==，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V===，
当h2=，即h=时，即AA1=时棱柱的体积最大，
最大值为：．

【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力．
　
20．（13分）如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．
（1）证明：动点D在定直线上；
（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．

【分析】（1）设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：x1x2=﹣8，由直线AO的方程y=x与BD的方程x=x2联立即可求得交点D的坐标为，利用x1x2=﹣8，即可求得D点在定直线y=﹣2（x≠0）上；
（2）依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x2=4y，由△=0化简整理得b=﹣a2，故切线l的方程可写成y=ax﹣a2．分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），从而可证|MN2|2﹣|MN1|2为定值8．
【解答】（1）证明：依题意，可设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，得x2=4（kx+2），即x2﹣4kx﹣8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：x1x2=﹣8，
直线AO的方程为y=x；BD的方程为x=x2．
解得交点D的坐标为．
注意到x1x2=﹣8及=4y1，则有y===﹣2，
因此D点在定直线y=﹣2（x≠0）上．
（2）证明：依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x2=4y得x2=4（ax+b），即x2﹣4ax﹣4b=0，
由△=0得（4a）2+16b=0，化简整理得b=﹣a2．
故切线l的方程可写成y=ax﹣a2．
分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），
则|MN2|2﹣|MN1|2=+42﹣=8，
即|MN2|2﹣|MN1|2为定值8．

【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．
　
21．（14分）将连续正整数1，2，…，n（n∈N*）从小到大排列构成一个数，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率．
（1）求p（100）；
（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；
（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）=f（n）﹣g（n），S={n|h（n）=1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．
【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案；
（2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）；
（3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案．
【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字，
其中数字0的个数为11，
则恰好取到0的概率为P（100）=；
（2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n，
当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9，
当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108，
当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107，
F（n）=；
（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N*）时，g（n）=0，
当n=10k+b（1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N*）时，g（n）=k：
当n=100时，g（n）=11，
即g（n）=，同理有f（n）=，
由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90，
所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}；
当n=9时，P（9）=0，
当n=90时，P（90）==，
当n=10k+9（1≤k≤8，k∈N*）时，p（n）===，
由y=关于k单调递增，故当n=10k+9（1≤k≤8，k∈N*）时，P（n）的最大值为P（89）=，
又＜，所以当n∈S时，P（n）的最大值为．
【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理．