高中数学人教版新课标B选修4-5基本不等式第1课时当堂达标检测题

 www.ks5u.com第三章　3.4　第1课时

一、选择题

1．函数f(x)＝的最大值为  (　　)

A.　 B．

C.　 D．1

[答案]　B

[解析]　令t＝(t≥0)，则x＝t2，

∴f(x)＝＝.

当t＝0时，f(x)＝0；

当t>0时，f(x)＝＝.

∵t＋≥2，∴0<≤.

∴f(x)的最大值为.

2．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则  (　　)

A．ab≤　 B．ab≥

C．a2＋b2≥2　 D．a2＋b2≤3

[答案]　C

[解析]　∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，

∴b＝2－a(0≤a≤2)，

∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1.

∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A、B错误；

a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4

＝2(a－1)2＋2.

∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C.

3．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是 (　　)

A.　 B．a2＋b2

C．2ab　 D．a

[答案]　B

[解析]　解法一：∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜，

又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，

∵1＝a＋b＞2，

∴ab＜，

∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，

即a2＋b2＞.故选B.

解法二：特值检验法：取a＝，b＝，则

2ab＝，a2＋b2＝，

∵＞＞＞，∴a2＋b2最大．

4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为               (　　)

A．8　 B．4

C．1　 D．

[答案]　B

[解析]　根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，

∴＋＝＋＝2＋＋≥4.

当a＝b＝时“＝”成立．故选B.

5．设a、b∈R＋，若a＋b＝2，则＋的最小值等于 (　　)

A．1　 B．3

C．2　 D．4

[答案]　C

[解析]　＋＝(a＋b)

＝1＋≥2，等号在a＝b＝1时成立．

6．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是               (　　)

A．0　 B．1

C．2　 D．4

[答案]　D

[解析]　由等差、等比数列的性质得

＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.

二、填空题

7．若0<x<1，则x(1－x)的最大值为________．

[答案]　

[解析]　∵0<x<1，∴1－x>0，

∴x(1－x)≤[]2＝，

等号在x＝1－x，即x＝时成立，

∴所求最大值为.

8．已知t>0，则函数y＝的最小值是________．

[答案]　－2

[解析]　∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．

三、解答题

9．已知x>0，y>0.

(1)若2x＋5y＝20，求u＝lgx＋lgy的最大值；

(2)若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．

[解析]　(1)∵x>0，y>0，

由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·.

又∵2x＋5y＝20，

∴20≥2·，

∴≤，∴xy≤10，

当且仅当2x＝5y时，等号成立．

由，

解得.

∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.

这样u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.

∴当x＝5，y＝2时，umax＝1.

(2)由已知，得x·y＝100，

5x＋2y≥2＝2＝20.

∴当且仅当5x＝2y＝，即当x＝2，

y＝5时，等号成立．

所以5x＋2y的最小值为20.

10．求函数y＝的最小值，其中a>0.

[解析]　当0<a≤1时，

y＝＋≥2，

当且仅当x＝±时，ymin＝2.

当a>1时，令＝t(t≥)，

则有y＝f(t)＝t＋.

设t2>t1≥>1，则f(t2)－f(t1)＝>0，

∴f(t)在[，＋∞)上是增函数．

∴ymin＝f()＝，此时x＝0.

综上，当0<a≤1，x＝±时，ymin＝2；当a>1，x＝0时，ymin＝.

一、选择题

1．设a、b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是 (　　)

A．a2＋b2>2ab　 B．a＋b≥2

C.＋>　 D．＋≥2

[答案]　D

[解析]　a＝b时，A不成立；a、b<0时，B、C都不成立，故选D.

2．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是 (　　)

A．a2＋b2　 B．2

C．2ab　 D．a＋b

[答案]　D

[解析]　解法一：∵0<a<1,0<b<1，

∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，

∴a＋b>a2＋b2，故选D.

解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．

3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则                            (　　)

A．x＝　 B．x≤

C．x＞　 D．x≥

[答案]　B

[解析]　∵这两年的平均增长率为x

∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，

∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.

∴1＋x＝≤

＝1＋，∴x≤，

等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B.

4．(2013·山西忻州一中高二期中)a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是                            (　　)

A.　 B．－

C．1　 D．－1

[答案]　A

[解析]　由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.

∴xy＝x(2－2x)＝≤×()2＝，等号成立时2x＝2－2x，即x＝，y＝1，∴xy的最大值为.

二、填空题

5．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．

[答案]　6

[解析]　＋≥2，∴2≤2，∴xy≥6.

6．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是________．

[答案]　1

[解析]　∵x＜，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋

＝4x－5＋＋3＝3－

≤3－2＝1，

等号在5－4x＝，即x＝1时成立．

三、解答题

7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．

[解析]　设一条直角边长为x cm，(0<x<10)，则另一条直角边长为(10－x)cm，

面积s＝x(10－x)≤[]2＝(cm2)

等号在x＝10－x即x＝5时成立，

∴面积最大时斜边长L＝＝＝5(cm)．

8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

[解析]　设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝×400＋k(2 000x)，依条件，当x＝400时，y＝43 600，可得k＝5%，

故有y＝＋100x

≥2＝24 000(元)．

当且仅当＝100x，即x＝120时取等号．

所以只需每批购入120台，可使资金够用．