高中数学人教版新课标A选修1-23.2复数代数形式的四则运算同步达标检测题

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)

A．5　　　　　　　　　 B.

C．3   D.

【解析】　z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.

【答案】　A

2．i是虚数单位，复数＝(　　)

A．1－i B．－1＋i

C.＋i D．－＋i

【解析】　＝＝＝1－i，故选A.

【答案】　A

3．z1，z2是复数，且z＋z<0，则正确的是(　　)

A．z<－z

B．z1，z2中至少有一个是虚数

C．z1，z2中至少有一个是实数

D．z1，z2都不是实数

【解析】　取z1＝1，z2＝2i满足z＋z<0，从而排除A和D；取z1＝i，z2＝2i，满足z＋z<0，排除C，从而选B.

【答案】　B

4．若z＋＝6，z·＝10，则z＝(　　)

A．1±3i B．3±i

C．3＋i D．3－i

【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，

∴解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.

【答案】　B

5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝(　　)

【导学号：19220050】

A.   B.

C．1 D．2

【解析】　法一：z＝＝＝

＝＝－＋i，∴＝－－i.

∴z·＝

＝＋＝.

法二：∵z＝

∴|z|＝＝＝.

∴z·＝|z|2＝.

【答案】　A

二、填空题

6．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.

【解析】　由题意，得x＋i＝＝＝＝2＋i，

所以x＝2.

【答案】　2

7．(2016·天津高二检测)复数的共轭复数是________．

【解析】　＝＝＝2＋i，其共轭复数为2－i.

【答案】　2－i

8．复数的模为，则实数a的值是________．

【解析】　＝＝＝，解得a＝±.

【答案】　±

三、解答题

9．(2016·唐山高二检测)若z满足z－1＝(1＋z)i，求z＋z2的值.

【导学号：19220051】

【解】　∵z－1＝(1＋z)i，

∴z＝＝＝－＋i，

∴z＋z2＝－＋i＋2＝－＋i＋＝－1.

10．(2016·天津高二检测)已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.

(1)求复数z的共轭复数；

(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．

【解】　(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，

所以复数z的共轭复数为－2－4i.

(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应的向量为(－2,4＋a)，其模为＝.

又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，

所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.

[能力提升]

1．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．1 B．2

C.   D.

【解析】　∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，

∴|z|＝＝.

【答案】　C

2．设z的共轭复数为，z＝1＋i，z1＝z·，则＋等于(　　)

A.＋i   B.－i

C.   D.

【解析】　由题意得＝1－i，∴z1＝z·＝(1＋i)(1－i)＝2.

∴＋＝＋＝－＝.

【答案】　C

3．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．

①|z－|＝2y；

②z2＝x2＋y2；

③|z－|≥2x；

④|z|≤|x|＋|y|.

【解析】　对于①，＝x－yi(x，y∈R)，

|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，

故不正确；

对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；

对于③，|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正确；

对于④，|z|＝≤|x|＋|y|，故正确．

【答案】　④

4．复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.

【解】　由z2＋<0可知z2＋是实数且为负数．

z＝＝＝＝1－i.

∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则

z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋

＝－＋i<0，

∴

∴m＝4，∴a＝4i.