高中数学人教版新课标A选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计.课后测评

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　)

A．第15项　　　　　　　 B．第16项

C．第17项   D．第18项

【解析】　第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件．

【答案】　B

2．(2016·吉林一中期末)已知n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是(　　)

A．5   B．20

C．10   D．40

【解析】　根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，

则有2n＝32，可得n＝5，

Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，

令10－3r＝1，解得r＝3，

所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.

【答案】　C

3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　) 【导学号：97270026】

A．2n  B.

C．2n＋1  D.

【解析】　令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①

令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②

①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，

∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D.

【答案】　D

4．(2016·信阳六高期中)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

【解析】　a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A.

【答案】　A

5．在(x－)2 010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于(　　)

A．23 015   B．－23 014

C．23 014   D．－23 008

【解析】　因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23 014.

【答案】　B

二、填空题

6．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．

【解析】　令x＝0，得a0＝1.令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.

【答案】　－1

7．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________．

【解析】　7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.

【答案】　7或0

8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1­3­5所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.

【解析】　根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，

使得连续三项C，C，C，有＝且＝.

化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.

故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．

【答案】　62

三、解答题

9．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.

(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；

(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.

【解】　(1)令x＝1，

则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①

(2)令x＝－1，

则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.②

①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，

所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.

10．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．

【解】　由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，得n＝8.8的展开式共有9项，其中T5＝C4(2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为.

[能力提升]

1．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(　　)

A．1   B．－1

C．2   D．－2

【解析】　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，

令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10，

故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2

＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)

＝(－1)10(＋1)10＝1.

【答案】　A

2．把通项公式为an＝2n－1(n∈N*)的数列{an}的各项排成如图1­3­6所示的三角形数阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是(　　)

1

3　5

7　9　11

13　15　17　19

……

图1­3­6

A．91   B．101

C．106   D．103

【解析】　设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1

＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，

∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.

【答案】　B

3．(2016·孝感高级中学期中)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．

【解析】　令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.

【答案】　5

4．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.

(1)求x2的系数取最小值时n的值；

(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和. 【导学号：97270027】

【解】　(1)由已知C＋2C＝11，所以m＋2n＝11，

x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·＝2＋.

因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.

(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，

所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，

设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，

令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，

两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，

故展开式中x的奇次项的系数之和为30.