高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列学案

4.3.2等比数列的前n项和公式 (2)   导学案

1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．

2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.

重点：等比数列的前n项和公式及其应用

难点：运用等比数列解决实际问题

1. 等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )．

符号语言：      

2.等差与等比数列

3.等比数列的前n项和公式

;; na1

一二1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111、典例解析

例10. 如图，正方形 的边长为   ，取正方形 各边的中点 作第2个正方形 ，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去.

(1) 求从正方形  开始，连续10个正方形的面积之和；

(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？

典例解析

例11. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.

解决数列应用题时

一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；

二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．

跟踪训练1. 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入．

例12. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为

（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；

（2）将（1）中的递推公式表示成 的形式，其中, 为常数；

（3）求=的值（精确到1）.

1．等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为(　　)

A.                B.

C.                 D.

2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.

3．数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋的前n项和为________.

4. 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.

(1)以2018年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；

(2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数)

（1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型，尤其要注意公比与项数的选取；

（2）根据实际问题，先分清等比数列与等差数列, 再建立不同的数学模型；

（3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的不同特点.

参考答案：

知识梳理

学习过程

一、典例解析

例10. 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。

解：设正方形的面积为，后续各正方形的面积依次为, ,…，

则=25,

由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，

所以=,

因此{}，是以25为首项，为公比的等比数列.

设{}的前项和为

（1）===

所以，前10个正方形的面积之和为c.

(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和

，

而

==

随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50.

所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.

典例解析

例11. 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理

的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。

解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}    ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}    ， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨），则=20, =6+1.5

=

=

=()

当时，

所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.

跟踪训练1. 解：由题意知第1年投入800万元，

第2年投入800×万元，

……

第n年投入800×n－1万元，

所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为的等比数列．

所以n年内的总投入Sn＝800＋800×＋…＋800×n－1＝4 000×(万元)．

由题意知，第1年旅游业的收入为400万元，

第2年旅游业的收入为400×万元，

……

第n年旅游业的收入为400×n－1万元，

所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，

公比为的等比数列．

所以n年内旅游业的总收入

Tn＝400＋400×＋…＋400×n－1＝1 600×(万元)．

故n年内的总投入为4 000×万元，

n年内旅游业的总收入为1 600×万元．

例12. 分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答。

解（1）由题意，得并且

①

（2）将 化成

= ②

比较①②的系数，可得

解这个方程组，得

所以（1）中的递推公式可以化为

（3）由（2）可知，数列{-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则

所以=

达标检测

1．【答案】C　[等比数列中，序号成等差数列，则项仍成等比数列，则a3，a6，…，a3n是等比数列，且首项为a3，公比为＝q3，再用等比数列的前n项和公式求解，即Sn＝，故答案为C项．]

2．【答案】－63　[通解　因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；

当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；

当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；

当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.

所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.

优解　因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.]

3． 【答案】n－1＋　[通项an＝＋＋…＋＝＝1－

∴前n项和Sn＝＋＋…＋＝n－＝n－1＋.]

4. 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，

∴an＝a·0.9n－1.

(2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)．

∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，

即a≤，

∴a≤12.3.故2018年最多出口12.3吨．