2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用学案

这是一份2020-2021学年5.3 导数在研究函数中的应用学案，共10页。学案主要包含了典例解析，新知探究等内容，欢迎下载使用。
5.3.1函数的单调性(1)      导学案 1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。重点： 理解函数的单调性与导数的正负之间的关系难点： 运用导数判断函数的单调性 函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：f ′(x)的正负f (x)的单调性f ′(x)＞0单调递____f ′(x)＜0单调递____增 ；减 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减． (　　)(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　) 一、    新知探究在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等的性质。在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。问题1: 判断函数单调性的方法有哪些?1.定义法：2.图像法：3.性质法:增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减4.导数法问题2:图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间变化的函数 h(t)=-4.9t2+4.8t+11 图像. 图(2)是跳水运动员的速度v随时间t的变化的函数v(t)= -9.8t+4.8的图象，是函数h(t)的零点。      运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？观察图像可以发现（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是单调递增，相应地，相应的v(t)=h'(t)>0（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减，相应地，v(t)=h'(t)<0 问题3:我们看到，函数h(t)的单调性与的正负有内在联系，那么，我们能否由的正负来判断函数h(t)的单调性呢？对于高台跳水问题，可以发现：当 时，函数的图像是“上升”的， h(t)函数在上单调递增；当 时，函数的图像是“下降”的， h(t)函数在上单调递减。这种情况是否具有一般性呢？问题4:观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。 从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率 二、典例解析例1.  利用导数判断下列函数的单调性:（1）  （2） (3) 用解不等式法求单调区间的步骤1确定函数fx的定义域；2求导函数f′x；3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集；4根据3的结果确定函数fx的单调区间.跟踪训练1．（1）函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　)A．增函数　　　　B．减函数C．先增后减      D．不确定（2）求f (x)＝3x2－2ln x函数的单调区间：例2.  已知导函数 的下列信息，试画出函数 的图象的大致形状.当1 < x < 4 时, >0;当 x > 4 , 或 x < 1时, 0;当 x = 4 , 或 x = 1时, 0. 研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.跟踪训练2．（1）导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　)　　　　　　　　　A　　　　B　　　　 C　　　　 D（2）．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________． 1．设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　) 2.已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)3．函数f (x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，2)           B．(0，3)C．(1，4)             D．(2，＋∞)4．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为________．  1）  函数的单调性与导数的正负的关系；在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；2） 用导数判断函数单调性的步骤；(1)求函数的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;3）应用导数判断函数图象；  参考答案：知识梳理1．[解析]　(1)√　函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，所以函数f (x)在这个区间上单调递减，故正确．(2)×　切线的“陡峭”程度与|f ′(x)|的大小有关，故错误．(3)√　函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．(4)√　若f ′(x)≥0(≤0)，则函数f (x)在区间内单调递增(减)，故f ′(x)＝0不影响函数单调性．[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 学习过程一、新知探究二、    典例解析 例1.  解: (1) 因为, 所以所以，函数在R上单调递增，如图（1）所示 典(2) 因为, 所以所以，函数在 上单调递减，如图（2）所示 (3) 因为, ,所以所以，函数在 ,上单调递增，如图（3）所示 跟踪训练1．A　[∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]（2）[解]　(1)f (x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝6x－＝＝，由x＞0，f ′(x)＞0，解得x＞.由x＞0，f ′(x)＜0，解得0＜x＜.∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，单调递减区间为.例2. 解: 当1 < x < 4 时, ,0 可知 在此区间内单调递增;当 x > 4 , 或 x < 1时, 0; 可知 在此区间内单调递减;当 x = 4 , 或 x = 1时, 0.综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.跟踪训练2．（1）D　[当x＞0时，f ′(x)＞0，当x＜0时，f ′(x)＜0，所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D.]（2）．(－1，2)和(4，＋∞)　[由y＝f ′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f (x)的大致图象如图所示．所以函数f (x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．] 达标检测1．C　[∵f (x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1，4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f ′(x)＜0；当1＜x＜4时，f ′(x)＞0.故选C.]2.B2.法一：由函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f (x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．法二：由于f ′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f (x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．由于当x＞0时，f ′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f ′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B.]3．D　[∵f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f ′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.∴f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]4． (0，＋∞)　[∵f (x)＝ex－x，∴f ′(x)＝ex－1.由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]