人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列课后作业题

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典

4.2 等差数列 解析版

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。

一、单选题

1．记等差数列的前项和为，若，则（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式和前项和公式列式，即可得，再将、用通项表示出来，即可求解.

【详解】

因为，所以，即，

所以，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.

2．数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，则的值为（    ）

A．1475 B．1425 C．1325 D．1275

【答案】B

【解析】

因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为 ，因为，所以解得，即 ，所以 ，满足， ，选B.

3．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）.若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则（    ）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

【答案】C

【解析】

【分析】

根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出.

【详解】

当时，，

，

，

，

从第2项起是等差数列.

又，，，，

，

当时，

，

（），

当时，.

又，

.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属于中档题.

4．已知等差数列的前项和为，，则（    ）

A． B．13 C．-13 D．-18

【答案】D

【解析】

【分析】

通过等差数列的性质，可得S3，S6S3，S9S6为等差数列，设，即可得出结果.

【详解】

由，可设

∵为等差数列，∴S3，S6S3，S9S6为等差数列，

即a，6a，成等差数列，∴，即

∴

故选:D.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，考查了运算求解能力，属于基础题目.

5．在等差数列中，，则此数列前项的和是（　　）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

分析：利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.

详解：由等差数列的性质可得：，，

代入已知可得，即，

故数列的前项之和

．

故选．

点睛：等差数列的常用性质有：(1)通项公式的推广： (2)若 为等差数列，且  ；(3)若是等差数列，公差为，，则是公差 的等差数列；(4)数列也是等差数列.

6．设等差数列满足：，且公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

∵，

∴，

即，即，即，即，即，∵，

∴，∴．∵，∴，则．

由

，

对称轴方程为，由题意当且仅当时，数列的前项和取得最大值，∴，解得：．

∴首项的取值范围是，故选D．

【点晴】

本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力．

二、多选题

7．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出，进而可得出为的正约数，由此可得出正整数的可能取值.

【详解】

由题意可得，则，

由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，

因此，正整数的可能取值有、、.

故选：ACD.

【点睛】

本题考查两个等差数列前项和比值的计算，涉及数的整除性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

8．设正项等差数列满足，则（    ）

A．的最大值为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质，求得的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项.

【详解】

因为正项等差数列满足，

所以，

即.

①，当且仅当时成立，故A选项正确.

②由于，所以，当且仅当时成立，故B选项正确.

③，当且仅当时成立，

所以的最小值为，故C选项错误.

④结合①的结论，有，

当且仅当时成立，故D选项正确.

故选：ABD

【点睛】

本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题.

9．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（    ）

A．数列{an}是递增数列

B．S5＝60

C．

D．S1，S2，…，S12中最大的是S6

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式和求和公式可得a7＜0，a6＞0，再结合等差数列的通项公式和求和公式依次判断即得解.

【详解】

依题意，有S12＝12a1•d＞0，

S13＝13a1•d＜0，化为：2a1+11d＞0，a1+6d＜0，

即a6+a7＞0，a7＜0，

∴a6＞0．

由a3＝12，得a1＝12﹣2d，联立解得d＜﹣3．等差数列{an}是单调递减的．

S1，S2，…，S12中最大的是S6．

S55a3＝60．

综上可得：BCD正确．

故选：BCD

【点睛】

本题考查了等差数列综合，考查了等差数列通项、求和公式和性质，考查了学生概念理解，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.

三、填空题

10．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：

由此推断并十苯的分子式为________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中、的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.

【详解】

因为稠环芳香烃的分子式中下标分别是：，的下标分别是：

所以稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为4，所以通项公式为：

，

稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为2，所以通项公式为：

，

所以并n苯的分子式为：，

因此当时，得到并十苯的分子式为：.

故答案为：

【点睛】

本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.

11．数列{an}，{bn}满足bn＝an＋1＋(－1)nan(n∈N*)，且数列{bn}的前n项和为n2，已知数列{an－n}的前2018项和为1，那么数列{an}的首项a1＝________.

【答案】

【解析】

【分析】

先根据数列{bn}的前n项和为n2，可求得，再分n为奇数，得，分n为偶数，得,将的前2018项和化为代入已知条件可得值.

【详解】

数列{bn}的前n项和为n2，所以也符合，故，

故，设的前n项和为.

若n为奇数，则，解得,

若n为偶数，则，解得,

×

.

又，所以，

得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的前项和与通项的关系，以及数列分项数为奇数和偶数分别反应规律的相关问题，解决的关键是根据规律构造出所需的式子，属于中档题.

12．已知等差数列的前n项和，且满足，（且），若（），则实数t的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

先利用已知条件解得，再利用等差数列公式构建关系，得到之间的关系，解得参数，再计算t的取值范围即可.

【详解】

当时，①②

设，因为，所以①②得 ，又因为，

故，

或，若时，由知

，则 ，，与已知矛盾，因此不符合题意，舍去，

，得，又.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式和前前n项和公式的综合应用，属于难题.

四、解答题

13．在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列的前项和为，满足：                    ，.

（1）求的最小值；

（2）设数列的前项和，证明：.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）选择②③、①②、①③条件中的一组，利用等差数列的性质及条件，求得的通项公式，利用通项公式的单调性，结合题意，即可求得的最小值；

（2）由（1）可得数列的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得证.

【详解】

（1）若选择②③；

由题知：，

又因为，解得

所以，解得，

所以，

所以，

所以；

若选择①②；

由题知：，

又因为，解得，

所以，解得，

所以，

所以，

所以 ；

若选择①③；

由题知：，所以 ，

由题知：，所以

联立解得：，

所以，

所以，

所以.

（2）由（1）可得，

所以，

所以.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式基本量的求法、数列单调性的应用、裂项相消法求数列的和，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

14．已知等差数列的前项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）求数列的前项和；

（3）若，如果对任意，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）， （2） （3）

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的首项为，公差为,由已知建立方程组,解之可得首项和公差，从而得出数列的通项和前n项和；

（2）分当时和当时，分别求和可得数列的前项和；

（3）由（1）得，作差得，讨论n可得出的最大值，再由恒等式思想，建立关于t的不等式，可求得实数的取值范围.

【详解】

（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知可得得,

所以，，；

（2）当时，，∴，

当时，，∴；

（3），则由，

①当时，，

②当时，.

③当时，，

所以，所以数列的最大值为，

又因为恒成立，所以，所以或.

所以实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查等差数列的基本量的求解，绝对值项的求和，以及不等式的恒成立问题，关键在于得出数列的单调性，得出数列的最大项，属于难度题.

15．已知公差大于零的等差数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是等差数列，且，求非零常数的值．

（3）设，为数列的前项和，是否存在正整数，使得对任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在，的最小值为．

【解析】

【分析】

（1）由解得，，得到数列满足，，列出方程组，求得，即可求解数列的通项公式；

（2）由（1）可得，所以，求得的值，又由数列是等差数列，所以，求得，即可得到结论；

（3）由题可得，利用裂项相消法可得，即，即可得到答案．

【详解】

（1）因为数列为等差数列，，所以，

又，所以，是方程的两个根，

由解得，，

设等差数列的公差为，由题意可得，所以，

所以，，所以，解得，

所以，故数列的通项公式为．

（2）由（1）知，，所以，

所以，，，

因为数列是等差数列，所以，即，

即，解得（舍去），

当时，，易知数列是等差数列，满足题意．

故非零常数的值为．

（3）由题可得，

利用裂项相消法可得，故，

所以存在正整数，使得对任意的均成立，的最小值为．

【点睛】

（1）常见的求数列通项的方法：

①公式法：当已知数列为等差或等比数列时；

②叠加法：当已知数列满足，且可求时；

③累乘法：当已知数列满足，且可求时；

④由求数列通项，当已知条件给出关于n的代数式时．

（2）常见的数列求和方法：

①公式法：当已知数列为等差或等比数列时；

②错位相减法：当已知数列满足，且是等差数列，是等比数列；

③分组求和法：当已知数列满足，且是等差数列，是等比数列；

④裂项相消法：当已知数列满足时.

（3）数列与函数的综合问题主要有以下两类：

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．

16．设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；

记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.

记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.

（1）设，，请计算，，；

（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；

（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.

【答案】（1）（2）详见解析（3）29

【解析】

【分析】

（1）将，代入，可求出，，可代入求，，可求结果．

（2）可求，，通过反证法证明，

（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．

【详解】

（1）由题意知等差数列的通项公式为：；

等差数列的通项公式为：，

得，

则，，

得，

故．

（2）证明：已知．，由题意知等差数列的通项公式为：；

等差数列的通项公式为：，

得，，．

得，，，．

所以若，则存在，，使，

若，则存在，，，使，

因此，对于正整数，考虑集合，，，

即，，，，，，．

下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．

反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，

又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，

不妨设为，，其中，，．则这两个元素的差为7的倍数，即，

所以，与矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．

即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，，，

则存在，使，，，即，，，

由已证可知，若，则存在，，使，而，所以为负整数，

设，则，且，，，，

所以，当，时，对于整数，若，则成立．

（3）下面用反证法证明：若对于整数，，则，假设命题不成立，即，且．

则对于整数，存在，，，，，使成立，

整理，得，

又因为，，

所以且是7的倍数，

因为，，所以，所以矛盾，即假设不成立．

所以对于整数，若，则，

又由第二问，对于整数，则，

所以的最大值，就是集合中元素的最大值，

又因为，，，，

所以．

【点睛】

本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．