高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课堂检测

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课时同步练5.2.1~5.2.2  几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式一、单选题1．若f（x）=x3，f′（x0）=3，则x0的值是（    ）A．1    B．﹣1    C．±1    D．【答案】C【解析】由于f′(x0)＝3 x02＝3，∴x0＝±1.故选C2．质点的运动方程是s=(其中s的单位为m,t的单位为s),则质点在t=3s时的速度为（    ）A．-4×3-4m/s   B．-3×3-4m/s   C．-5×3-5m/s   D．-4×3-5m/s【答案】D【解析】由s=得s′=′=(t-4)′=-4t-5,s′|t=3=-4×3-5(m/s).故选D3．设y＝e3，则y′等于（    ）A．3e2    B．0    C．e2    D．e3【答案】B【解析】因为y＝e3，所以y′=0,故选B4．下列求导运算正确的是（    ）A．(cos x)'=sin x  B．(2πx2)'=4π2x  C．(ex)'=xex-1   D．(lg x)'=【答案】D【解析】对于A, (cos x)'=-sin x,所以选项A错误;对于B, (2πx2)'=2×2πx=4πx,所以选出B错误;对于C, (ex)'=ex,所以选项C错误;对于D, (lg x)'=,所以选项D正确.故选D5．函数的导数是（    ）A．0    B．    C．    D．不确定【答案】A【解析】，.故选A6．下列求导运算正确的是（    ）A．        B．   C．      D．【答案】D【解析】A选项，,故错误；B选项，, 故错误；C选项，, 故错误；D选项, ,故正确.故选D.7．函数在点处的导数是（    ）A．    B．    C．    D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，故选D．8．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为（    ）A．y＝x－2          B．y＝x  C．y＝x＋2          D．y＝－x－2【答案】A【解析】＝＝，当Δx→0时，→1.曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1(x－1)，即y＝x－2.故选A9．下列求导运算正确的是（    ）A．      B．C．       D．【答案】D【解析】A.故错误；B.，故错误；C.，故错误；D. ，故正确.故选D10．设f0(x)=sinx，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，fn+1(x)=fn′(x)，n∈N，则f2016(x)=（    ）A．sinx       B．-sinx       C．cosx       D．-cosx【答案】A【解析】因为f0(x)=sinx，所以f1(x)=(sinx)′=cosx，f2(x)=(cosx)′=-sinx，f3(x)=(-sinx)′=-cosx，f4(x)=(-cosx)′=sinx，…，所以fn(x)的周期T=4，所以f2016(x)=f0(x)=sinx.故选A11．已知曲线在点处的切线与直线平行且距离为，则直线的方程为（    ）A．B．或C．或D．以上均不对【答案】C【解析】∵，点在直线上∴切线的斜率∴切线的方程为，即设直线∵切线与直线平行且距离为∴∴∴直线的方程为或故选C12．若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18.则（    ）A．64       B．32       C．16       D．8【答案】A【解析】求导数可得，所以在点处的切线方程为：，令x=0，得y＝；令y=0，得x=3a．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S＝，解得a=64故选A． 二、填空题13．已知f(x)=，则f′(16)=_______.【答案】【解析】因为f′(x)=,所以f′(16)==.故填14．已知f(x)=cosx,，g(x)=x，则关于x的不等式f′(x)+g′(x)≤0的解集为__________.【答案】【解析】f′(x)+g′(x)=-sinx+1≤0,所以sinx≥1,又sinx≤1,所以sinx=1,所以x=+2kπ,k∈Z.故填15．曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=____.【答案】3【解析】曲线y=xn在x=2处的导数，解得n=3.故填316．设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．【答案】【解析】设.对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．故填(1,1)17．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是        【答案】【解析】曲线和y=x2在它们的交点坐标是（1，1），两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1，它们与x轴所围成的三角形的面积是．故填18．已知函数 (为常数)，直线l与函数的图象都相切，且l与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1，则的值为_______.【答案】【解析】因为，所以再由的判别式为零得故填 三、解答题19．求曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积.【解析】因为f′(x)=ex,所以曲线在点(2,e2)处的切线的斜率为k=f′(2)=e2,切线方程为y-e2=e2(x-2),即e2x-y-e2=0,切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1,0),B(0,-e2),如图,则切线与坐标轴围成的三角形OAB的面积为×1×e2=.20．已知曲线y=5，求：（1）曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程.（2）求过点P(0,5)，且与曲线相切的切线方程.【解析】（1）设切点为(x0,y0),由y=5,得y′=.所以切线与y=2x-4平行,所以=2,所以x0=,所以y0=.则所求切线方程为y-=2,即16x-8y+25=0.（2）因为点P(0,5)不在曲线y=5上,故需设切点坐标为M(x1,y1),则切线斜率为.又因为切线斜率为,所以==,所以2x1-2=x1,得x1=4.所以切点为M(4,10),斜率为,所以切线方程为y-10=(x-4),即5x-4y+20=0.21．已知曲线上一点，求：（1）点处的切线的斜率；（2）点处的切线方程．【解析】（1）由，得，.∴点处的切线的斜率等于.（2）点处的切线方程为，即.22．已知函数，若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．【解析】，设两曲线交点的横坐标为，由已知得解得．所以两曲线交点坐标为，切线的斜率为，所以切线方程为，即．