2021学年3.2 双曲线导学案

这是一份2021学年3.2 双曲线导学案，共8页。

3.2.2 双曲线的简单几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2019北京,文5)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则a=( )
A.6B.4C.2D.12
解析∵双曲线的离心率e=ca=5,c=a2+1,
∴a2+1a=5,解得a=12,故选D.
答案D
2.(多选题)下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的是( )
A.x29-y24=1B.y24-x29=1
C.x24-y29=1D.y212-x227=1
解析令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.
答案ABD
3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
A.73B.54C.43D.53
解析由题意知ba=43,则e2=1+b2a2=259,
所以e=53.
答案D
4.(多选题)已知双曲线的方程为y24-x25=1,则下列说法正确的是( )
A.焦点在y轴上
B.渐近线方程为2x±5y=0
C.虚轴长为4
D.离心率为35
解析双曲线的方程为y24-x25=1,则双曲线焦点在y轴上;渐近线方程为2x±5y=0;
虚轴长为25;离心率为32,判断知AB正确.
答案AB
5.若实数k满足0A.焦距相同B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等D.离心率相等
解析由于00,即曲线x225-y29-k=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±34-k,0);25-k>0,即曲线x225-k-y29=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±34-k,0),
故两曲线的焦距相同,故答案为A.
答案A
6.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=22x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为( )
A.x28-y24=1B.x25-y24=1
C.x24-y22=1D.x26-y23=1
解析由椭圆x212+y23=1的焦点为(±3,0),可得双曲线的c=3,即a2+b2=9,
由双曲线的渐近线方程为y=±bax,可得ba=22,解得a2=6,b2=3,
则双曲线的方程为x26-y23=1.故选D.
答案D
7.双曲线x24-y212=1的焦点到渐近线的距离为 .
解析双曲线x24-y212=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),渐近线方程为y=±3x,故焦点(4,0)到渐近线y=3x的距离d=433+1=23.
答案23
8.已知双曲线y2a2-x2b2=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为 .
解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.
因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=34b,于是双曲线渐近线方程为y=±abx=±34x.
答案y=±34x
9.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 .
解析令x=-c,得y2=b4a2,则|MN|=2b2a.
由题意得a+c=b2a,即a2+ac=c2-a2,
∴ca2-ca-2=0,
∴ca=2或ca=-1(舍去),即离心率为2.
答案2
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=53;
(2)经过点C(-3,2),且与双曲线x28-y216=1有共同的渐近线.
解(1)设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),
则2b=8,e=ca=53,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为y29-x216=1.
(2)由题意可设所求双曲线方程为x28-y216=λ(λ≠0),将点C(-3,2)的坐标代入,得38-216=λ,
解得λ=14,所以所求双曲线的标准方程为x22-y24=1.
能力提升练
1.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为( )
A.x23-y2=1
B.x23-y29=1
C.y23-x212=1
D.y221-x27=1
解析依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±33x或y=±3x,根据选项检验可知ABD均可能.
答案ABD
2.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=π2,则双曲线的离心率等于( )
A.2-1B.2
C.2+1D.2+2
解析不妨设双曲线标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=2b2a.
因为∠PF1Q=π2,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=b2a,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=2+1(e=1-2舍去),故选C.
答案C
3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为π3的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为( )
A.2+1B.3+1C.2D.5
解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=3x,代入双曲线方程并化简,得x2=a2b2b2-3a2,y2=3x2=3a2b2b2-3a2,故x1+x2=0,x1·x2=-a2b2b2-3a2,y1·y2=3x1·x2=-3a2b2b2-3a2,设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故FP·FQ=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4,得ba4-6ba2-3=0,解得ba2=3+23.故c=1+ba2=4+23=3+1,故选B.
答案B
4.已知l为双曲线C:x2a2-y2b2=1的一条渐近线,其倾斜角为π4,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为 ;C的方程为 .
解析由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k=ba=tan π4=1,
解得a=b=2,则双曲线的右顶点为(2,0),C的方程为x22-y22=1.
答案(2,0) x22-y22=1
5.直线y=b与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右支分别交于B,C两点,若OB⊥OC,O为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为 .
解析直线y=b与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右支分别交于B,C两点,联立y=b,x2a2-y2b2=1,
可得B(-2a,b),C(2a,b).因为OB⊥OC,
∴OB·OC=-2a2+b2=0,
即2a2=b2,b=±2a,所以双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x.
答案y=±2x
6.已知点A(-3,0)和B(3,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D、E两点,求线段DE的长.
解(1)∵点A(-3,0)和B(3,0),
动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2.
|AB|=23>2,
∴点C的轨迹方程是以A(-3,0)和B(3,0)为焦点的双曲线,
且a=1,c=3,
∴点C的轨迹方程是x2-y22=1.
(2)∵点C的轨迹方程是2x2-y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2.
∴联立2x2-y2=2,y=x-2,得x2+4x-6=0,
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6,
∴|DE|=(1+1)[(-4)2-4×(-6)]=45.
故线段DE的长为45.
素养培优练
已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0)有相同的左、右焦点F1,F2,若点P是C1与C2在第一象限内的交点,且|F1F2|=4|PF2|,设C1与C2的离心率分别为e1,e2,则e2-e1的取值范围是( )
A.13,+∞
B.13,1
C.12,+∞
D.12,2
解析设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a1,由双曲线的定义可得m-n=2a2,
解得m=a1+a2,n=a1-a2,由|F1F2|=4|PF2|,可得n=12c,即a1-a2=12c,
由e1=ca1,e2=ca2,可得1e1-1e2=12,
由01,
可得1e2>12,即1则e2-e1=e2-2e22+e2=e222+e2,
可设2+e2=t(3由于函数f(t)=t+4t-4在3所以f(t)∈13,1,即e2-e1∈13,1.
答案B