高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用导学案

空间向量的应用

【要点梳理】

要点一、直线的方向向量和平面的法向量

1.直线的方向向量：

若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。

要点诠释：

（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。

（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。

2. 平面的法向量定义：

已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。

要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。

3.平面的法向量确定通常有两种方法：

（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；

（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

    （i）设出平面的法向量为n=（x，y，z）；

    （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c2）；

    （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；

    （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．

要点二、用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。

（1）线线平行

设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即。

（2）线面平行

线面平行的判定方法一般有三种：

①设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即。

②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。

③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。

（3）面面平行

①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。

②若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明。

要点三、用向量方法判定空间的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。

（1）线线垂直

设直线，的方向向量分别为，，则要证明，只需证明，即。

（2）线面垂直

①设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明。

②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。

（3）面面垂直

①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。

②证明两个平面的法向量互相垂直。

要点四、用向量方法求空间角

（1）求异面直线所成的角

已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，

则

（2）求直线和平面所成的角

设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，

则有。

（3）求二面角

如图，若于A，于B，平面PAB交于E，

则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°。

若分别为面，的法向量，

则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。

①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。

②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。

要点五、  用向量方法求空间距离

1. 求点面距的一般步骤：

①求出该平面的一个法向量；

②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。

即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量。

2. 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

【典型例题】

类型一、求平面的法向量

例1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在BC、DD1上是否存在点E、F，使成为平面ABF的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由．

举一反三：

【变式1】如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，求平面CD1E的一个法向量。

【变式2】已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD。

求证：是平面PDC的法向量。

类型二、利用向量研究平行问题 

例2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．

【解析】 解法一：建立空间直角坐标系，

举一反三：

【变式】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面。

例3.正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4，M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点．

求证：平面AMN∥平面EFBD．

举一反三：

【变式】如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。求证：平面EGF∥平面ABD。

类型三、利用向量研究垂直问题 

例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，

求证：B1O⊥平面PAC。

举一反三：

【变式】如图，M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中点。

求证：A1P⊥平面DMN。

例5．在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB

上的点，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2，求证：平面GEF⊥平面PBC．

举一反三：

【变式】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，

使得平面A1B1P⊥平面C1DE．

类型四、利用向量求空间角 

例6. 如图，在正方体中，点，分别是,的一个四等分点，求与

所成的角的余弦值．

举一反三：

【变式】如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；

（Ⅱ）求直线AF与平面α所成角的正弦值．

例7．四棱锥中，底面为平行四边形，，，，侧面底面．．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

例8.如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，且BE⊥AE。

求二面角的余弦值；

举一反三：

【变式】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，,点是的中点，作⊥交于点．

(1)    求证：⊥平面；

(2)    求二面角的大小．

例9.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，

且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）M到直线PQ的距离；（2）M到平面AB1P的距离。

举一反三：

【变式1】已知直线l的方向向量，点A（1，2，―1）在l上，

则点P（2，―1，2）到l的距离为（    ）

A．      B．4      C．      D．

【变式2】棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求点A1到平面的BDEF的距离

【巩固练习】

一、选择题

1．若直线的方向向量，平面的法向量为，则（    ）

A．      B．      C．      D．与斜交

2．若平面的法向量为，直线的方向向量为v，直线与平面的夹角为，则下列成立的是（    ）

A．    B．    C．    D．

3．已知平面内有一个点A（2，－1，2），的一个法向量为n=（3，1，2），则下列点P中，

在平面内的是（    ）．

    A．（1，－1，1）    B．（1，3，）  C．（1，－3，）    D．（－1，3，）

4．P是二面角棱上的一点，分别在、半平面上引射线PM、PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角的大小为（    ）．

    A．60°    B．70°    C．80°    D．90°

5．已知是棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，点到平面的距离（    ）

A．      B．      C．      D．

6．若向量，，且与的夹角的余弦值为，则x=（    ）

A．3    B．－3    C．―11    D．3或―11

7．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（    ）

A．      B．      C．      D．

二、填空题

8．若平面的一个法向量为n=（3，3，0），直线的一个方向向量为b=（1，1，1），则与所成角的余弦值为________．

9．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m=（－1，2，0），n=（3，0，－2），且m、n都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为________．

10．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是________。

11． 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离               ．

三、解答题

12.如图，正四棱柱中，，点在上且．

求二面角的余弦值．

13. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°,E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC

(Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面AFC

(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值。

14.如图，在三棱台DEF—ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点。

（I）求证：BD∥平面FGH；

（II）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小。