数学选择性必修 第一册3.2 双曲线学案设计

双曲线的性质

要点一、双曲线的简单几何性质

1.双曲线的定义：

平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹叫双曲线.

2.弦长公式

1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A（x1,y1）B（x2,y2）两点，则

  k为直线斜率

2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长.

3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解

3.等轴双曲线

（a＞0，b＞0）当时称双曲线为等轴双曲线

1.；   2.离心率；      3.两渐近线互相垂直，分别为y=；

4.等轴双曲线的方程，；

4.直线与双曲线的位置关系

代数法：设直线，双曲线联立解得：

（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；

，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；

（2）时，

存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若，

时，，直线与双曲线相交于两点；

时，，直线与双曲线相离，没有交点；

时，直线与双曲线有一个交点；相切

不存在，时，直线与双曲线没有交点；

  直线与双曲线相交于两点；

5.双曲线与切线方程

1、双曲线上一点处的切线方程是。

2、过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是。

3、双曲线与直线相切的条件是。

6.双曲线与渐近线的关系

1、若双曲线方程为渐近线方程：

2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：   

3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，

4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）

7. 离心率与渐近线之间的关系

1.

2.                  3.  

8.面积公式

双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为双曲线焦点三角形，

解：在中，设，，，由余弦定理得：

∴，即，

∴．

9.双曲线中点弦的斜率公式：

设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有

证明：设，，则有，  两式相减得：

整理得：，即，因为是弦的中点，

所以： ， 所以

要点二、双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征：

双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞b＞0，

c＞a＞0，且c2=b2+a2。

双曲线，如图：

（1）实轴长，虚轴长,焦距，

（2）离心率：；

（3）顶点到焦点的距离：，；

（4）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系.

【典型例题】

类型一：双曲线的简单几何性质

例1．求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.

举一反三：

【变式1】双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)

A．      B．－4      C．4      D.

【变式2】已知双曲线8kx2－ky2=2的一个焦点为，则k的值等于（    ）

A．－2      B．1      C．－1      D．

例2．方程表示双曲线，求实数m的取值范围。

举一反三：

【变式1】设双曲线的渐近线方程为，则的值为

A．4      B．3      C．2      D．1

【变式2】双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝_______________．

类型二：双曲线的渐近线

例3. 根据下列条件，求双曲线方程。

（1) 与双曲线有共同的渐近线，且过点；

（2）一渐近线方程为，且双曲线过点

举一反三：

【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（     ）

A、          B、    

C、        D、

【变式2】与双曲线有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为（     ）

A.     B.     C.       D.

【变式3】双曲线与有相同的（    ）

A．实轴      B．焦点        C．渐近线         D．以上都不对

类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围

例4. 已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。

举一反三：【变式1】

(1) 已知双曲线的离心率，过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为，求双曲线的方程.

(2) 求过点(-1,3)，且和双曲线有共同渐近线的双曲线方程.

【变式2】已知双曲线=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为(0，b)，

且AB⊥BF，则双曲线的离心率为（     ）

A、      B、      C、      D、

【变式3】过双曲线=1 (a＞0,b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为            .

例5.已知双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，

且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________．

举一反三：

【变式1】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0无实根，则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A．1<e<－2      B．1<e<2

C．1<e<3           D．1<e<2＋

【变式2】已知过双曲线右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．

类型五：双曲线的焦点三角形

例6．若F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

举一反三：

【变式】已知双曲线，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求的面积。

【巩固练习】

一、选择题

1．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，双曲线的方程应是(　　)

A.         B.      C．      D．

2.双曲线与椭圆有相同的焦点,它的一条渐近线方程为,则双曲线的方程为(    )

A.      B.       C.       D.

3．过双曲线=1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若PF1Q=90，

则双曲线的离心率是（     ）

A.      B.1+      C.2+      D.

4. 已知双曲线＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x      B．y＝±x      C．y＝±x      D．y＝±3x

5．与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点(-3，2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（    ）

A.8      B.4      C.2      D.1

6.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（   ）

A．      B．      C．      D．

二、填空题

7．双曲线的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是________．

8．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线=1 (a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B．若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是　　   ．

9．双曲线以椭圆的焦点为焦点，离心率是椭圆离心率的2倍，求双曲线的方程为         ．

10．已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，

当△APF周长最小时，该三角形的面积为         ．

三、解答题

11.设F1，F2分别为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．

12．设双曲线=1（0<a<b）的半焦距为c，直线过(a,0)，(0,b)两点.

已知原点到直线的距离为c，求双曲线的离心率.

13．已知双曲线(a>0，b>0)过点，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为.求此双曲线方程．

14．已知双曲线的两个焦点分别为，点P在双曲线上且满足，求的面积.

15．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点。

(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

(2)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率.