人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.5 正态分布课时练习

4.2.5　正态分布

课后篇巩固提升

基础达标练

1.正态曲线关于y轴对称,当且仅当它所对应的随机变量的期望为(　　)

A.1 B.-1

C.0 D.不确定

解析因为X=μ为其对称轴,

所以μ=0.

答案C

2.设X~N(10,0.64),则D(X)等于(　　)

A.0.8 B.0.64 

C.0.642 D.6.4

解析因为X~N(10,0.64),

所以D(X)=0.64.

答案B

3.(多选)设两个正态分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函数曲线如图所示,则有(　　)

A.μ1<μ2 B.μ1>μ2

C.σ1<σ2 D.σ1>σ2

解析μ是期望,σ2是方差,μ是密度函数图像的对称轴与x轴交点的位置,所以μ1<μ2.图像越“瘦高”,数据越集中,σ2越小,所以σ1<σ2.故选AC.

答案AC

4.若随机变量X~N(μ,σ2),则Y=aX+b服从(　　)

A.N(aμ,σ2) 

B.N(0,1)

C.N 

D.N(aμ+b,a2σ2)

解析因为X~N(μ,σ2),所以E(X)=μ,D(X)=σ2.

所以E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=aμ+b,

D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2σ2.

从而Y~N(aμ+b,a2σ2).

答案D

5.为弘扬我国优秀的传统文化,市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试,经过大数据分析,发现本次听写测试成绩服从正态分布N(78,16).试根据正态分布的相关知识估计测试成绩大于90的学生所占的百分比为(　　)

A.0.15% B.1.5% 

C.3% D.3.3%

解析由题意,μ=78,σ=4,在区间[66,90]的概率为0.997,成绩大于90的学生所占的百分比为(1-0.997)=0.15%,故选A.

答案A

6.已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是f(x)=,x∈R.给出以下四个命题:

①对任意x∈R,f(μ+x)=f(μ-x)成立;

②如果随机变量X服从N(μ,σ2),且F(x)=P(X<x),那么F(x)是R上的增函数;

③如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是100;

④随机变量X服从N(μ,σ2),P(X<1)=,P(X≥2)=p,则P(0<X<2)=1-2p.

其中,真命题的序号是　　　　. 

解析如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是10,故③是假命题,其余都是真命题.

答案①②④

7.灯泡厂生产的某种灯泡的寿命为X(单位:小时),已知X~N(1 000,302),要使这种灯泡的平均寿命为1 000小时的概率约为99.7%,问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上?

解因为X~N(1 000,302),所以μ=1 000,σ=30.

所以P(1 000-3×30≤X≤1 000+3×30)=P(910≤X≤1 090)≈99.7%.

所以灯泡的最低寿命应控制在910小时以上.

8.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布N(90,100).

(1)试求考生成绩X位于区间[70,110]内的概率;

(2)若这次考试共有2 000名考生参加,试估计成绩在[80,100]内的考生大约有多少人?

解因为X~N(90,100),

所以μ=90,σ==10.

(1)由于正态分布N(μ,σ2)在区间[μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率约是0.954,而在该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考生成绩X位于区间[70,110]内的概率约为0.954.

(2)由于μ=90,σ=10,

所以μ-σ=90-10=80,μ+σ=90+10=100.

由于正态分布N(μ,σ2)在区间[μ-σ,μ+σ]内取值的概率约为0.683,所以考生成绩X位于区间[80,100]内的概率约是0.683.

一共有2 000名考生,成绩在[80,100]内的概率约为0.683,所以在这2 000名考生中,成绩在[80,100]内的人数大约为2 000×0.683=1 366.

能力提升练

1.(2019天津南开中学高二期末)设随机变量X~N(3,1.52),P(X<4)=0.7,则P(X≤2)=(　　)

A.0.3 B.0.4

C.0.2 D.0.1

解析由于P(X<4)=0.7,故P(X≥4)=0.3,

则P(X≤2)=P(X≥4)=0.3,故选A.

答案A

2.(2020山东高三期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)=(　　)

A.0.2 B.0.3

C.0.4 D.0.6

解析由题意可知μ=1,正态分布曲线关于x=1对称,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1,

根据对称性可知,P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,

P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.

故选C.

答案C

3.(多选)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)

A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小

D.乙类水果的质量服从正态分布的参数δ2=1.99

解析由图像可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8 kg,故A,C正确;

甲图像比乙图像更高瘦,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;

乙类水果的质量服从的正态分布的最大值为1.99,即=1.99,δ2≠1.99,故D不正确.

故选ABC.

答案ABC

4.(2019山东高三月考)某班有48名学生,一次考试后的数学成绩服从正态分布(注:P(μ-σ,μ+σ)=0.683),平均分为110,标准差为10,理论上说在110分到120分的人数是(　　)

A.8 B.16 C.20 D.32

解析∵数学成绩近似地服从正态分布N(110,102),P(|X-u|<σ)=0.683,

∴P(|X-110|<10)=0.683,

根据正态曲线的对称性知,位于110分到120分之间的概率是位于100分到120分之间的概率的一半,

∴理论上说在110分到120分的人数是×0.683×48≈16.

故选B.

答案B

5.(2019陕西高三月考)若随机变量ξ服从正态分布N(9,16),则μ+σ=　　　　　,P(-3<ξ≤13)=　　　　　. 

参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.997 3.

解析依题意,ξ~N(9,42),其中μ=9,σ=4,∴μ+σ=13,

故P(-3<ξ≤13)=P(μ-3σ<ξ≤μ+σ)

=

==0.84.

答案13　0.84

6.(2019广东高三开学考试)研究某市农科奇观的某种作物,其单株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.1,从中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,假设X服从二项分布,则X的方差为　　　　　. 

解析因为x~N(90,σ2),所以P(90≤x≤110)=-P(x>110),而P(x>110)=P(x<70)=0.1.

所以P(90≤x≤110)=0.4,

而X~B(10,0.4),

所以D(X)=10×0.4×0.6=2.4.

答案2.4

7.(2019海南枫叶国际学校高二期末)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).

(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;

(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,试用所学知识说明上述监控生产过程方法的合理性.

附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4,0.997 416≈0.959 2.

解(1)由题可知尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,则落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为1-0.997 4=0.002 6,因为P(X=0)=×(1-0.997 4)0×0.997 416≈0.959 2,

所以P(X≥1)=1-P(X=0)=0.040 8,

又因为X~B(16,0.002 6),

所以E(X)=16×0.002 6=0.041 6.

(2)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.

8.(2019山东夏津第一中学高三月考)2019年6月25日,《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议,草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出,国家推行生活垃圾分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识,某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1 000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如表所示:

(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表),请利用正态分布的知识求P(36<Z<79.5);

(2)在(1)的条件下,市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:

①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费;

②每次获赠的随机话费和对应的概率为:

现市民小王要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列及数学期望.

附:①≈14.5;②若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4.

解(1)根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件,可以求得μ=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65.又36≈65-2,79.5≈65+,所以P(36<Z<79.5)=×0.954 5+×0.682 6=0.818 55.

(2)根据题意可以得出所得话费的可能值有20,40,60,80元,得20元的情况为低于平均值,概率P=,得40元的情况有一次机会获得40元,两次机会获得2个20元,概率P=,得60元的情况为两次机会,一次40元,一次20元,概率P=×2×,得80元的情况为两次机会,都是40元,概率P=,

所以变量X的分布列为

所以E(X)=20×+40×+60×+80×=40.

素养培优练

(2019山东高考模拟)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);

(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.

①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤.利用直方图得到的正态分布,求P(X≤10);

②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望.

参考数据:,0.773 419≈0.007 6.若Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0.773 4.

解(1)=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,

s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78.

(2)①由(1)知μ=9,σ2=1.78,

∴X~N(9,1.78),σ=.

∴P(X≤10)=PY≤=P(Y≤0.75)=0.773 4.

②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6,

可得Z~B(20,0.226 6),P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)=1-0.773 420-×0.226 6×0.773 419=1-(0.773 4+20×0.226 6)×0.007 6≈0.959 7.

∴E(Z)=20×0.226 6=4.532.