高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.1 条件概率巩固练习

第四章概率与统计

4.1　条件概率与事件的独立性

4.1.1　条件概率

课后篇巩固提升

基础达标练

1.若P(A)=,P(B|A)=,则P(A∩B)等于(　　)

A. B. C. D.

解析由条件概率公式得P(A∩B)=P(A)·P(B|A)=.

答案B

2.把一枚质地均匀的硬币任意抛掷两次,事件A={第一次出现正面},事件B={第二次出现正面},则P(B|A)等于(　　)

A. B. C. D.

解析第一次出现正面的概率是P(A)=,

第一次出现正面且第二次也出现正面的概率P(A∩B)=.所以P(B|A)=.

答案B

3.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A=“第一次取到的是奇数”,B=“第二次取到的是奇数”,则P(B|A)=(　　)

A. B.

C. D.

解析由题意得P(A)=,P(AB)=,

∴P(B|A)=.

答案A

4.已知在10支铅笔中,有8支正品,2支次品,从中任取2支,则在第一次抽的是次品的条件下,第二次抽的是正品的概率是(　　)

A. B.

C. D.

解析记事件A,B分别表示“第一次、第二次抽得正品”,则B表示“第一次抽得次品,第二次抽得正品”.

故P(B|)=.

答案C

5.取集合A={2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数.已知取出的一个数是12,则取出的数构成可约分数的概率是　　　　　. 

解析A={取出的两个数中有一个数为12},B={取出的两个数构成可约分数}.

则n(A)=7,n(AB)=4,

所以P(B|A)=.

答案

6.从1,2,…,15中,甲、乙两人依次任取一数(不放回),在已知甲取到的数是5的倍数的条件下,甲取的数大于乙取的数的概率是　　　　　. 

解析A={甲取的数是5的倍数},B={甲取的数大于乙取的数},P(B|A)=.

答案

7.一批产品中有4%的次品,而合格品中一等品占45%,从这批产品中任取一件,求该产品是一等品的概率.

解设A表示“取出的产品为合格品”,B表示“取出的产品为一等品”,则P(B|A)=45%.

因为P()=4%,P(A)=1-P()=1-4%=96%.

所以P(B)=P(AB)=P(A)·P(B|A)=96%×45%=43.2%.

能力提升练

1.(2019山东高三月考)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“4个人去的景点彼此互不相同”,事件B为“小赵独自去一个景点”,则P(A|B)=(　　)

A. B.

C. D.

解析小赵独自去一个景点,则有4个景点可选,其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择,可能性为3×3×3=27种,所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27=108种.因为4个人去的景点不相同的可能性为4×3×2×1=24种,所以P(A|B)=.故选D.

答案D

2.(2019北京临川学校高三月考)将三枚骰子各掷一次,设事件A为“三个点数都不相同”,事件B为“至少出现一个6点”,则P(A|B)等于(　　)

A. B.

C. D.

解析∵P(A|B)=,P(AB)=,

P(B)=1-P()=1-=1-.

∴P(A|B)=.故选A.

答案A

3.(2019湖南衡阳一中高二期中)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为,则在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为　　　　　. 

解析记“第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,

所以,在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为P(B|A)=.

答案

4.将分别写有A,B,C,D,E的5张卡片排成一排,在第一张是A且第三张是C的条件下,第二张是E的概率为　　　　　;第二张是E的条件下,第一张是A且第三张是C的概率为　　　　　. 

解析A,B,C,D,E 5张卡片排成一排,在第一张是A且第三张是C的条件下,第二张可以是B,D,E,所以第二张是E的概率为;第二张是E的条件下,其余四张的可能性有=24种,其中第一张是A且第三张是C的可能性有=2种,所以所求的概率为.

答案

5.(2019北京高二期末)一个不透明的袋子中,放有大小相同的5个小球,其中3个黑球,2个白球.如果不放回的依次取出2个球.回答下列问题:

(1)第一次取出的是黑球的概率;

(2)第一次取出的是黑球,且第二次取出的是白球的概率;

(3)在第一次取出的是黑球的条件下,第二次取出的是白球的概率.

解依题意,设事件A表示“第一次取出的是黑球”,设事件B表示“第二次取出的是白球”.

(1)黑球有3个,球的总数为5个,所以P(A)=.

(2)第一次取出的是黑球,且第二次取出的是白球的概率为P(AB)=.

(3)在第一次取出的是黑球的条件下,第二次取出的是白球的概率为P(B|A)=.

素养培优练

1.(2020江西高二期末)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛,现采用抽签法决定演讲顺序,在“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为(　　)

A. B. C. D.

解析设事件A为“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”;事件B为“学生丙第一个出场”,

则P(A)=,P(AB)=,

则P(B|A)=.故选A.

答案A

2.甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.

(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;

(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,然后再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.

解(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为=28,这2个产品都是次品的事件数为=3.所以这2个产品都是次品的概率为.

(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”,事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.因为P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,所以P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=.