高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.4 随机变量的数字特征习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是( )
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和(1－p)p
D [由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．]
2．已知随机变量X的分布列为
设Y＝2X＋3，则D(Y)＝( )
A.eq \f(8,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,3)
A [∵E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,3)＝1，
∴D(X)＝(0－1)2×eq \f(1,3)＋(1－1)2×eq \f(1,3)＋(2－1)2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，
∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝eq \f(8,3).]
3．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝( )
A.eq \f(15,8) B.eq \f(15,4)
C.eq \f(5,2)D．5
A [两枚硬币同时出现反面的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，故ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(1,4)))，
因此D(ξ)＝10×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(15,8).故选A.]
4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(n－k)，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为( )
A．8 B．12
C.eq \f(2,9)D．16
A [由题意可知ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(2,3)))，
∴eq \f(2,3)n＝E(ξ)＝24，∴n＝36.
又D(ξ)＝n×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(2,9)×36＝8.]
5．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq \f(2,3)，P(X＝x2)＝eq \f(1,3)，且x1＜x2，又已知E(X)＝eq \f(4,3)，D(X)＝eq \f(2,9)，则x1＋x2的值为( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(7,3) C．3 D.eq \f(11,3)
C [∵E(X)＝eq \f(2,3)x1＋eq \f(1,3)x2＝eq \f(4,3).∴x2＝4－2x1，
D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－x1))eq \s\up12(2)×eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)－x2))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9).
∵x1＜x2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝1，,x2＝2，))∴x1＋x2＝3.]
二、填空题
6．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．
乙 [因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．]
7．一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)＝________.
0．196 [因为随机变量ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.]
8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq \f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
eq \f(2,5) [设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))
所以D(ξ)＝eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)×0＋eq \f(1,5)×1＝eq \f(2,5).]
三、解答题
9．海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下．
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．
[解] ∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．
∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5；
D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
∴D(X1)