高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.5 正态分布练习

课时分层作业(十九)　正态分布

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知变量ξ～N(μ，σ2)，那么下面服从标准正态分布的是(　　)

A．ξ　　　　　 B．ξ－μ

C．   D.

D　[设Z＝，则E(Z)＝E＝0，

D(Z)＝＝＝1，∴Z＝～N(0,1)，故选D.]

2．如果随机变量ξ～N(0,1)，标准正态分布表中相应x0的值为Φ(x0)，则(　　)

A．P(ξ＝x0)＝Φ(x0) B．P(ξ＞x0)＝Φ(x0)

C．P(|ξ|＜x0)＝Φ(x0) D．P(ξ＜x0)＝Φ(x0)

D　[根据标准正态求概率的定义，∴P(ξ＜x0)＝Φ(x0)，故选D.]

3．某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　)

A．甲科总体的标准差最小

B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的标准差及平均数都居中

D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同

A　[由题中图像可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越尖陡．

故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．

故选A.]

4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.022 5)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为(　　)

A．上、下午生产情况均为正常

B．上、下午生产情况均为异常

C．上午生产情况正常，下午生产情况异常

D．上午生产情况异常，下午生产情况正常

C　[根据3σ原则，在[8－3×0.15,8＋3×0.15]即[7.55,8.45]之外时为异常．结合已知，可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．]

5．设随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，若P(ξ＞m)＝a，则P(ξ＞6－m)＝(　　)

A．a B．1－2a

C．2a D．1－a

D　[由直线ξ＝m与直线ξ＝6－m关于直线ξ＝3对称，得P(ξ＞m)＝P(ξ＜6－m)＝a，则P(ξ＞6－m)＝1－a.]

二、填空题

6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．

0.2　[由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.]

7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．

1　[正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义是数学期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.]

8．某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在________分(已知Φ(0.25)＝0.6)．

505　[∵平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，∴X～N(480,1002)．设重点录取分数线可能划在f分，则P(X≥f)＝1－P(X＜f)＝1－Φ.

又Φ(0.25)＝0.6，∴＝0.25，∴f＝505分．]

三、解答题

9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]内取值的概率为0.2，求：

(1)X在(0,4]内取值的概率；

(2)P(X>4)．

[解]　(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图．

因为P(0<X≤2)＝P(2<X≤4)，所以P(0<X≤4)＝2P(0<X≤2)＝2×0.2＝0.4.

(2)P(X>4)＝[1－P(0<X≤4)]＝(1－0.4)＝0.3.

10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的长度时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？

[解]　由于X～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在[8－3×2,8＋3×2]之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在[2,14]内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．

11．(多选题)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝e－(x∈R)，则下列正确的是(　　)

A．该市这次考试的数学平均成绩为80分

B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D．该市这次考试的数学标准差为10

ACD　[∵其密度函数为f(x)＝e－(x∈R)，

∴该市这次考试的数学平均成绩为80分，

该市这次考试的数学标准差为10.

从图形上看，它关于直线x＝80对称，

且50与110也关于直线x＝80对称，

故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同．故选ACD.

]

12．用Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(10,0.12)，则概率P(|ξ－10|＜0.1)等于(　　)

A．Φ(－9.9) B．Φ(10.1)－Φ(9.9)

C．Φ(1)－Φ(－1) D．2Φ(10.1)

C　[若随机变量ξ服从正态分布N(10,0.12)，则Z＝～N(0,1)．

又Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，所以P(|ξ－10|＜0.1)＝P

＝P(－1＜Z＜1)＝Φ(1)－Φ(－1)，故选C.]

13．(一题两空)已知随机变量X～N(2,22)，且aX＋b服从标准正态分布N(0,1)，则a＝________，b＝________.

±　±1　[∵ 随机变量X～N(2,22)，

∴E(X)＝2，D(X)＝22＝4.

∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝2a＋b＝0，

D(aX＋b)＝a2D(X)＝4a2＝1，

∴a＝±，b＝±1.]

14．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．(填序号)

①P(|ξ|<a)＝P(ξ<a)＋P(ξ>－a)(a>0)；

②P(|ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1(a>0)；

③P(|ξ|<a)＝1－2P(ξ<a)(a>0)；

④P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)．

②④　[因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)，所以①不正确；

因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝P(ξ<a)－P(ξ>a)＝P(ξ<a)－(1－P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－1，所以②正确，③不正确；

因为P(|ξ|<a)＋P(|ξ|>a)＝1，

所以P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)，所以④正确．]

15．某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表)；

(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝，则Y～N(0,1)，且P(X≤a)＝P(Y≤)．

利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)．

②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望．

参考数据：≈，0.773 419≈0.0076.若Y～N(0,1)，则P(Y≤0.75)＝0.773 4.

[解]　(1)＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，

s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78.

(2)①由(1)知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N(9,1.78)，

σ＝＝≈.

∴P(X≤10)＝P＝P(Y≤0.75)＝0.773 4.

②由①知P(X＞10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，

可得Z～B(20,0.226 6)，

P(Z≥2)＝1－P(Z＝0)－P(Z＝1)

＝1－0.773 420－C×0.226 6×0.773 419

＝1－(0.773 4＋20×0.226 6)×0.007 6

≈0.959 7.

∴Z的数学期望E(Z)＝20×0.226 6＝4.532.