第4章 4.3 4.3.2　独立性检验-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义

这是一份第4章 4.3 4.3.2　独立性检验-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义，共3页。

一则“双黄连口服液可抑制新冠病毒”消息热传后，引起部分市民抢购．人民日报官微称，抑制不等于预防和治疗，勿自行服用．上海专家称是否有效还在研究中．
问题：如何判断其有效？如何收集数据？收集哪些数据？
1．2×2列联表
(1)定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式．
因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表．
(2)χ2计算公式：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
2．独立性检验
任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05,0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ2＜k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量．( )
(2)事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．( )
(3)应用独立性检验对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”( )
A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710
C．χ2＝3.765D．χ2＝5.014
D [∵5.014>3.841，故D正确．]
3．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过__________的前提下认为两个变量之间有关系．
5% [查阅χ2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系，故在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为两个变量之间有关系．]
4．(一题两空)下面是2×2列联表．
则表中a＝________，b＝________.
52 54 [a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54.]
【例1】 在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用.
[思路点拨] 独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判断．
[解] 假设感冒与是否使用该种血清没有关系．
由列联表中的数据，求得
χ2＝eq \f(1 000×258×284－242×2162,474×526×500×500)≈7.075.
χ2＝7.075＞6.635，P(χ2≥6.635)＝0.01，
故我们在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用．
独立性检验的具体做法
1．根据实际问题的需要确定允许推断“事件A与B有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k.
2．利用公式χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)计算随机变量χ2.
3．如果χ2≥k推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”．
eq \([跟进训练])
1．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：
根据以上数据，能否有99%的把握判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关？
[解] 由公式得χ2＝eq \f(54060×200－260×202,320×220×80×460)≈9.638.
∵9.638>6.635，
∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．
[探究问题]
1．利用χ2进行独立性检验，估计值的准确度与样本容量有关吗？
[提示] 利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很小，那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性．
2．在χ2运算后，得到χ2的值为29.78，在判断变量相关时，P(χ2≥6.635)＝0.01和P(χ2≥7.879)＝0.005，哪种说法是正确的？
[提示] 两种说法均正确．P(χ2≥6.635)＝0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P(χ2≥7.879)＝0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关．
【例2】 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为eq \f(2,3).
(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．
[思路点拨] (1)由古典概型的概率求得2×2列联表．
(2)计算χ2，判断P(x2＞3.841)＝0.05是否成立．
(3)结合超几何分布求解．
[解] (1)列联表补充如下：
(2)由χ2＝eq \f(48×220－602,28×20×32×16)≈4.286.
因为4.286>3.841，所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．
(3)喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0,1,2.
其概率分别为
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,10),C\\al(2,20))＝eq \f(9,38)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,10)C\\al(1,10),C\\al(2,20))＝eq \f(10,19)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,10),C\\al(2,20))＝eq \f(9,38)，
故X的分布列为
X的均值为E(X)＝0＋eq \f(10,19)＋eq \f(9,19)＝1.
1．检验两个变量是否相互独立，主要依据是计算χ2的值，再利用该值与分位数k进行比较作出判断．
2．χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心．
3．统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性质．因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系．
eq \([跟进训练])
2．某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练，对提高‘数学应用题’得分率的作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．
(1)试分析估计两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，根据以上数据，能否有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助？
参考公式及数据：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
[解] (1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，
甲班优秀人数为30人，优秀率为eq \f(30,50)＝60%，
乙班优秀人数为25人，优秀率为eq \f(25,50)＝50%，
所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.
(2)
因为χ2＝eq \f(10025×30－25×202,55×45×50×50)≈1.010<3.841，
所以由参考数据知，没有95%的把握认为加强“语文阅读理解”训练对提高“数学应用题”得分率有帮助．
1．χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，该公式较准确的刻画了两个变量相关性的可靠程度．
2．χ2越大说明“两个变量之间有关系”的可能性越大，反之越小．
1．利用独立性检验来考查两个变量A，B是否有关系，当随机变量χ2的值( )
A．越大，“A与B有关系”成立的可能性越大
B．越大，“A与B有关系”成立的可能性越小
C．越小，“A与B有关系”成立的可能性越大
D．与“A与B有关系”成立的可能性无关
A [用独立性检验来考查两个分类是否有关系时，算出的随机变量χ2的值越大，说明“A与B有关系”成立的可能性越大，由此可知A正确．故选A.]
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
经计算得
χ2＝eq \f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.
则正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C [根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.]
3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2＝13.097，认为“两个变量有关系”犯错误的概率不超过________．
0.001 [如果χ2>10.828时，认为“两变量有关系”犯错误的概率不超过0.001.]
4．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是______________________________．
男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数 [由研究的问题可知，需收集的数据应为男正教授人数，女正教授人数，男副教授人数，女副教授人数．]
5．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据．
(1)计算a，b，c的值；
(2)文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？
[解] (1)由478＋a＝490，得a＝12.
由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36.
由b＋c＝913，得b＝913－36＝877.
(2) χ2＝eq \f(913×478×24－399×122,490×423×877×36)≈6.233>3.841，
因为P(χ2≥3.841)＝0.05，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系．学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．(重点)
2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．(难点)
1．通过2×2列联表统计意义的学习，体会数学抽象的素养．
2．借助χ2计算公式进行独立性检验，培养数学运算和数据分析的素养.
A
eq \(A,\s\up6(－))
总计
B
a
b
a＋b
eq \(B,\s\up8(－))
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
y1
y2
合计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
合计
b
46
100
由χ2进行独立性检验
未感冒
感冒
合计
使用血清
258
242
500
未使用血清
216
284
500
合计
474
526
1 000
患胃病
未患胃病
合计
生活不规律
60
260
320
生活有规律
20
200
220
合计
80
460
540
独立性检验的综合应用
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
6
女生
10
合计
48
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
22
6
28
女生
10
10
20
合计
32
16
48
X
0
1
2
P
eq \f(9,38)
eq \f(10,19)
eq \f(9,38)
60分以下
61～70分
71～80分
81～90分
91～100分
甲班(人数)
3
11
6
12
18
乙班(人数)
7
8
10
10
15
优秀人数
非优秀人数
合计
甲班
乙班
合计
P(χ2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
优秀人数
非优秀人数
合计
甲班
30
20
50
乙班
25
25
50
合计
55
45
100
男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
总成绩好
总成绩不好
总计
数学成绩好
478
a
490
数学成绩不好
399
24
423
总计
b
c
913