2021年各地中考真题精编精练几何证明类
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2021年各地中考真题汇编几何证明类3(2021·山西省·历年真题)综合与实践
问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图,在▱ABCD中,,垂足为E,F为CD的中点,连接EF,BF,试猜测EF与BF的数量关系,并加以证明.
独立思考:请解答老师提出的问题;
实践探究:希望小组受此问题的启发,将▱ABCD沿着为CD的中点所在直线折叠,如图,点C的对应点为,连接并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系,并加以证明.
问题解决:智慧小组突发奇想,将▱ABCD沿过点B的直线折叠,如图,点A的对应点为,使于点H,折痕交AD于点M,连接,交CD于点该小组提出一个问题:假设此▱ABCD的面积为20,边长,,求图中阴影局部四边形的面积请你思考此问题,直接写出结果.
(2021·浙江省杭州市·历年真题)如图,在中,的平分线BD交AC边于点D,于点,.
求证:;
假设,求的面积.
(2021·湖南省怀化市·历年真题):如图,四边形ABCD为平行四边形,点E、A、C、F在同一直线上,.
求证:≌;
.
(2021·湖北省武汉市·历年真题)问题提出
如图,在和中,,,,点E在内部,直线AD与BE于点线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系?
问题探究
先将问题特殊化如图,当点D,F重合时,直接写出一个等式,表示AF,BF,CF之间的数量关系;
再探究一般情形如图,当点D,F不重合时,证明中的结论仍然成立.
问题拓展
如图,在和中,,,是常数,点E在内部,直线AD与BE交于点直接写出一个等式,表示线段AF,BF,CF之间的数量关系.
(2021·湖南省常德市·历年真题)如图1,在中,,N是BC边上的一点,D为AN的中点,过点A作BC的平行线交CD的延长线于T,且,连接BT.
求证:;
在图1中AN上取一点O,使,作N关于边AC的对称点M,连接MT、MO、OC、OT、CM得图2.
求证:∽;
设TM与AC相交于点P,求证:,.
(2021·湖北省黄冈市·历年真题)如图,在和中,,.
求证:∽;
假设::9,,求EC的长.
(2021·浙江省宁波市·历年真题)【证明体验】
如图1,AD为的角平分线,,点E在AB上,求证:DE平分.
【思考探究】
如图2,在的条件下,F为AB上一点,连结FC交AD于点假设,,,求BD的长.
【拓展延伸】
如图3,在四边形ABCD中,对角线AC平分,,点E在AC上,假设,,,求AC的长.
(2021·四川省达州市·历年真题)某数学兴趣小组在数学课外活动中,对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:
【现察与猜测】
如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,AD上的两点,连接DE,CF,,那么的值为______ ;
如图2,在矩形ABCD中,,,点E是AD上的一点,连接CE,BD,且,那么的值为______ ;
【类比探究】
如图3,在四边形ABCD中,,点E为AB上一点,连接DE,过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F,求证:;
【拓展延伸】
如图4,在中,,,,将沿BD翻折,点A落在点C处得,点E,F分别在边AB,AD上,连接DE,CF,.
求的值;
连接BF,假设,直接写出BF的长度.
(2021·湖南省岳阳市·历年真题)如图,在中,,,点D为AB的中点,连接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转得到线段ED,且ED交线段BC于点G,的平分线DM交BC于点H.
如图1,假设,那么线段ED与BD的数量关系是______ , ______ ;
如图2,在的条件下,过点C作交DM于点F,连接EF,BE.
试判断四边形CDEF的形状,并说明理由;
求证:;
如图3,假设,,过点C作交DM于点F,连接EF,BE,请直接写出的值用含m的式子表示.
(2021·浙江省台州市·历年真题)如图,在四边形ABCD中,,.
求证:≌;
当时,求的度数.
(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,是等边三角形,.
求证:▱ABCD是矩形;
求AD的长.
(2021·江西省·历年真题)课本再现
在证明“三角形内角和定理〞时,小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明,其中与相等的角是______ ;
类比迁移
如图2,在四边形ABCD中,与互余,小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比中思路进行拼合:先作,再过点C作于点E,连接AE,发现AD,DE,AE之间的数量关系是______ ;
方法运用
如图3,在四边形ABCD中,连接AC,,点O是两边垂直平分线的交点,连接OA,.
求证:;
连接BD,如图4,,,,求BD的长用含m,n的式子表示.
(2021·江苏省苏州市·历年真题)如图,在矩形ABCD中,线段EF、GH分别平行于AD、AB,它们相交于点P,点、分别在线段PF、PH上,,,连接H、,与相交于点AG:::2,设,.
四边形EBHP的面积______ 四边形GPFD的面积填“〞、“〞或“〞
求证:∽;
设四边形的面积为,四边形CFQH的面积为,求的值.
(2021·四川省资阳市·历年真题),在中,,.
如图1,点D在BC边上,,,连结试探究BD与CE的关系;
如图2,点D在BC下方,,,连结假设,,,AD交BC于点F,求AF的长;
如图3,点D在BC下方,连结AD、BD、假设,,,,求的值.
(2021·甘肃省庆阳市·历年真题)问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,,于点G.
求证:四边形ABCD是正方形;
延长CB到点H,使得,判断的形状,并说明理由.
类比迁移:如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,,,,,求DE的长.
(2021·四川省南充市·历年真题)如图,点E在正方形ABCD边AD上,点F是线段AB上的动点不与点A重合,DF交AC于点G,于点H,,.
求;
设,,试探究y与x的函数关系式写出x的取值范围;
当时,判断EG与AC的位置关系并说明理由.
(2021·江苏省扬州市·历年真题)如图,在中,的角平分线交BC于点D,,.
试判断四边形AFDE的形状,并说明理由;
假设,且,求四边形AFDE的面积.
参考答案1解:结论:.
理由:如图1中,如图,作交BE于H.
四边形ABCD是平行四边形,
,
,
,
,
,
,
,,
,
.
结论:.
理由:连接.
是由翻折得到,
,,
,
,
,
,
,
,
四边形DFBG是平行四边形,
,
,,
,
.
如图3中,过点D作于J,过点M作于T.
,
,
四边形ABCD是平行四边形,
,,
,
,,
,
四边形DJBH是矩形,
,
,
,
设,那么,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
2.证明:平分,,
,
,
,
,
;
解:由题意得,,,
,
.
3.证明:四边形ABCD为平行四边形,
,,
,
,,
,
在和中,
,
≌;
由知,≌,
,
.
4.解:如图,,,
,
,,
≌,
,,
故为等腰直角三角形,
故DE,
那么;
即;
如图,由知,≌,
,,
过点C作交BF于点G,
,,
,
,,
≌,
,,
故为等腰直角三角形,那么,
那么,
即;
由知,,
而,,
即,
∽,
,
过点C作交BF于点G,
由知,,
∽,
,
那么,,
在中,,
那么,
即.
5.证明:,
,
点D是AN的中点,
,
在和中,
,
≌,
,,
,
;
,,
四边形ATBN是平行四边形,
,,
,
平行四边形ATBN是矩形,
,
点M,点N关于AC对称,
,,
,
,
,
,
,
,
又,,
≌,
,,
,,
∽;
如图2,将CM绕点M顺时针旋转,使点C落在点E上,连接AM,TE,
,
,
,
,
,
,
又,
,
,
四边形ATEM是平行四边形,
,
又,
,.
6.证明:.
,
,
又,
∽;
∽;
,
又,
.
7证明:如图1,平分,
,
,,
≌,
,
,
,
平分.
如图2,,
;
,
∽,
;
≌,
,
,
.
如图3,在AB上取一点F,使,连结CF.
平分,
,
,
≌,
,,,
,
,
即,
,即,
∽,
,,
,,
;
,,
,
公共角,
∽,
,
,,
.
8.解:如图1,设DE与CF交于点G,
四边形ABCD是正方形,
,,
,
,
,,
,
在和中,
,
≌,
,
;
如图2,设DB与CE交于点G,
四边形ABCD是矩形,
,
,
,
,,
,
,
∽,
,
故答案为:.
证明:如图3,过点C作交AF的延长线于点H,
,
,
四边形ABCH为矩形,
,,
,,
∽,
,
,
;
如图4,过点C作于点G,连接AC交BD于点H,CG与DE相交于点O,
,,
,
,,
∽,
,
在中,,,
,
在中,,
,
设,那么,
,
,
负值舍去,
,,
,
,
,
,
;
,,,
,
,,
,
,
,
又,
∽,
,
又,,
,
,
.
9证明:四边形ABCD是矩形,
,,,,
,
在和中,
,
≌,
,
,
,
又,
四边形AEFD是平行四边形.
9解:在中,,点D为AB的中点,
,
,
,是等边三角形,
,
,
,
.
线段CD绕点D顺时针旋转得到线段ED,
,
故答案为:;.
四边形CDEF是正方形,理由如下,
平分,,
,
,
,
,
,
四边形CDEF是菱形,
,
菱形CDEF是正方形.
由可知,,,,
,,
,
,
,,
,
,
由知,,
,
,,
∽,
,
,,
.
如图3,过点D作于点N,
,
,
是等边三角形,,
,,
,,
,
,
,
,,
,
,
,
,
平分,,
,
,
,,
,
,
,,
∽,
,
,,
.
10解:证明:在和中,
,
≌;
过点B作于点E,如下图,
,,
,
,
又在中,,,
,
又≌,
.
11证明:为等边三角形,
,,
四边形ABCD是平行四边形
,,
,
▱ABCD是矩形;
解:▱ABCD是矩形,
,
,
,
.
12.解:如图1中,由图形的拼剪可知,,
故答案为:.
解:如图2中,
,,
,
.
故答案为:.
证明:如图3中,连接OC,作的外接圆.
点O是两边垂直平分线的交点
点O是的外心,
,
,
,
,,
,
.
解:如图4中,在射线DC的下方作,过点C作于T.
,,
∽,
,,
,
∽,
,
,
,
,
,,,
,
.
13.解:四边形ABCD为矩形,
,
,
,,
,
,
四边形PFCH为矩形,
同理可得,四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形,
,,AG:::2,
,,,,
四边形EBHP的面积,四边形GPFD的面积,
故答案为:;
,,
由知,,
,
即,
又,
∽,
,
,
∽;
连接、FH,
,,
,
,
∽,
,,
由中∽,得,
,
,
∽,
,
,,
,
.
分别用含a,b的代数式表示出四边形EBHP和四边形GPFD的面积作比拟即可;
由得边的比例关系,先证∽得,得再根据对顶角相等即可得出∽;
连接,FH,先证∽得出线段比例关系,从而得面积比例关系,再证∽,得出面积比例关系,最后根据面积关系得出值即可.
此题主要考查形似三角形的判定和性质,矩形的性质等知识点,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
14.解:,,
,
,,
≌,
,,
,
且;
延长BD和CE交于点H,
由知,即,,
而,,
故四边形ADHE为矩形,
而,
故四边形ADHE为正方形,
在中,,
那么,,
在中,,
在中,,
故AF;
作,使,连结CE,延长EC和BD交于点H,连接DE,
由且,即,
由作图知,为等腰直角三角形,
设,
在中,,,
那么,,
那么,,
那么,
即,
解得舍去或1,
即,
过点D作于点N,
在中,,,,
那么,,
那么,
那么,
那么.
15证明:四边形ABCD是矩形,
,
,
,
,,
,
,
≌,
,
四边形ABCD是矩形,
四边形ABCD是正方形;
解:是等腰三角形,
理由:四边形ABCD是矩形,
,,
,
≌,
,
,
,
是等腰三角形;
解:延长CB到点H,使,连接AH,
四边形ABCD是菱形,
,,
,
,
≌,
,,
,
,
是等边三角形,
,
.
16.解:过点E作于点M,
,
四边形ABCD是边长为1的正方形,,
,,
,,
,
;
,,
,
∽,
,
,
,
;
当时,,
理由如下:
,
,
,,
,
,
,
,
又,
点G与点M重合,
.
17.解:四边形AFDE是菱形,理由是:
,,
四边形AFDE是平行四边形,
平分,
,
,
,
,
,
平行四边形AFDE是菱形;
,
四边形AFDE是正方形,
,
,
四边形AFDE的面积为.
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