2021年全国各省市中考真题精编精练：锐角三角函数解答

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2021年全国各省市中考真题汇总：锐角三角函数解答

1．〔2021•吉林〕数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
〔1〕在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
〔2〕如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．假设∠AOB＝44°，那么以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；
〔3〕参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，
所以∠B＝∠AOB＝44°〔 　 　〕〔填推理依据〕，
因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
BK＝OB×　 　〔填“sinB〞或“cosB〞〕．
所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．
＝2×3×6400×　 　〔填相应的三角形函数值〕
≈　 　〔km〕〔结果取整数〕．





2．〔2021•永州〕锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．

〔1〕如图1，假设a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；
〔2〕某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD〔如图2所示〕，假设CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．



3．〔2021•枣庄〕2021年7月23日，我国首次火星探测“天问一号〞探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．〔结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414〕




4．〔2021•襄阳〕如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度〔结果保存小数点后一位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.41〕．




5．〔2021•呼和浩特〕如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度〔EF与MN之间的距离〕，河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，〔用非特殊角的三角函数或根式表示即可〕







6．〔2021•本溪〕如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，方案打通一条东西方向的隧道AB．无机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
〔1〕求无人机的高度AC〔结果保存根号〕；
〔2〕求AB的长度〔结果精确到1m〕．
〔参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73〕



7．〔2021•绥化〕一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？〔用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732〕




8．〔2021•威海〕在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为10°，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为27°．假设测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度〔结果精确到0.1米〕．
〔参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin27°＝0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51〕





9．〔2021•铜仁市〕如图，在一座山的前方有一栋住宅，山高AB＝120m，楼高CD＝99m，某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外．在点A处测得点E的俯角∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠FAM＝60°，每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？〔≈1.73〕




10．〔2021•大庆〕小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D°方向，求A，Ckm．参数数据≈1.732〕





11．〔2021•通辽〕如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度〔结果取整数，参考数据：≈1.732〕



12．〔2021•贺州〕如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．


13．〔2021•张家界〕张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为30°，60°，测得BC长为320米，求观测点A到桥面BC的距离．〔结果保存整数，参考数据：≈1.73〕




14．〔2021•宜宾〕全国历史文化名城宜宾有许多名胜古迹，始建于明朝的白塔是其中之一．如图，为了测量白塔的高度AB，在C处测得塔顶A的仰角为45°，再向白塔方向前进15米到达D处，又测得塔顶A的仰角为60°，点B、D、C在同一水平线上，求白塔的高度AB．〔≈1.7，精确到1米〕





15．〔2021•安顺〕随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如下图，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在Am，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，假设小星的身高BEm，EA＝50m〔点A，E，B，C在同一平面内〕．
〔1〕求仰角α的正弦值；
〔2〕求B，C两点之间的距离〔结果精确到1m〕．
〔sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51〕




16．〔2021•广东〕如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
〔1〕假设AE＝1，求△ABD的周长；
〔2〕假设AD＝BD，求tan∠ABC的值．





17．〔2021•柳州〕在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
〔1〕求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离〔结果保存根号〕；
〔2〕求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．




18．〔2021•海南〕如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C与塔底B的距离BC＝8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN＝60°，CE＝4米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC〔点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内〕．
〔1〕填空：∠BCD＝　 　度，∠AEC＝　 　度；
〔2〕求信号塔的高度AB〔结果保存根号〕．






19．〔2021•南京〕如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．
〔参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．〕





20．〔2021•盐城〕某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．
〔1〕如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
〔2〕在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长〔如图3〕，此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．〔结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84〕

21．〔2021•娄底〕我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与PB处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度．〔结果精确到1m/s，取＝1.732，＝1.414〕

22．〔2021•河南〕开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上．佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C°，求佛像BDm°≈°≈°≈0.77〕．

23．〔2021•鄂州〕在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
〔1〕求A地与信号发射塔P之间的距离；
〔2〕求C地与信号发射塔P之间的距离．〔计算结果保存根号〕

24．〔2021•山西〕某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践〞活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如下图，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EFcm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41〕．

25．〔2021•青海〕如图1是某中学教学楼的推拉门，门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同〔即AB＝CD〕，将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离〔结果保存一位小数〕．〔参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4〕

26．〔2021•株洲〕将一物体〔视为边长为米的正方形ABCD〕从地面PQ上挪到货车车厢内．如下图，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B〔E〕按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置〔此时点B2与点G重合〕，最后将物体移到车厢平台面MG上．MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米．
〔1〕求线段FG的长度；
〔2〕求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程．

27．〔2021•荆门〕某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10〔3+〕海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
〔1〕求A，P之间的距离AP；
〔2〕假设海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能平安通过这一海域？

28．〔2021•聊城〕时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离〔精确到1米〕．〔参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14〕

29．〔2021•宿迁〕一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度〔结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732〕．

30．〔2021•菏泽〕某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？


参考答案
1．解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，
所以∠B＝∠AOB＝44°〔 两直线平行，内错角相等〕〔填推理依据〕，
因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
BK＝OB×cosB〔填“sinB〞或“cosB〞〕．
所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．
＝2×3×6400×0.72〔填相应的三角形函数值〕
≈27648〔km〕〔结果取整数〕．
故答案为：两直线平行，内错角相等；cosB；0.72；27648．
2．解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠A＝60°，
∵＝＝，
∴＝，
∴b＝2；
〔2〕∵＝，
∴＝，
∴sinB＝，
∴∠B＝60°，
∴tanB＝＝，
∴BD＝CD，
∵AC2＝CD2+AD2，
∴196＝CD2+〔10﹣CD〕2，
∴CD＝8，CD＝﹣3〔舍去〕，
∴CD的长度为8米．
3．解：由题意得，AD＝4000米，∠ADO＝30°，CD＝460米，∠BCO＝45°，
在Rt△AOD中，
∵AD＝4000米，∠ADO＝30°，
∴OA＝AD＝2000〔米〕，OD＝AD＝2000〔米〕，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝OD﹣CD＝〔2000﹣460〕米，
∴AB＝OB﹣OA＝2000﹣460﹣2000≈1004〔米〕，
∴火箭的速度为1004÷3≈335〔米/秒〕，
答：火箭的速度约为335米/秒．
4．解：在Rt△BCD中，∵tan∠BDC＝，
∴BC＝CD•tan∠BDC＝20×tan45°＝20〔m〕，
在Rt△ACD中，∵tan∠ADC＝，
∴AC＝CD•tan∠ADC＝20×tan52°≈20×1.28＝25.6〔m〕，
∴AB＝AC﹣BC＝56〔m〕．
答：旗杆AB的度约为56m．

5．解：如图，

过C、D分别作CP⊥MN、DQ⊥MN垂足为P、Q，设河宽为x米．
由题意知，△ACP为等腰直角三角形，
∴AP＝CP＝x〔米〕，BP＝x﹣20〔米〕，
在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，
∴，
∴tan55°⋅x＝x+40，
∴〔tan55°﹣1〕⋅x＝40，
∴，
所以河宽为米．
答：河宽为米．
6．解：〔1〕由题意，CD＝8×15＝120〔m〕，
在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，
∴AC＝CD•tan∠ADC＝CD•tan60°＝120×＝120〔m〕，
答：无人机的高度AC是120米；

〔2〕过点B作BF⊥CD于点F，那么四边形ABFC是矩形，
∴BF＝AC＝120，AB＝CF，
在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，
∴EF＝＝≈276.8〔m〕，
∵CE＝8×〔15+50〕＝520〔m〕，
∴AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣276.8＝243〔米〕，
答：随道AB的长度约为243米．

7．解：方法一：如图1，过点D作DM⊥EF于M，过点D作DN⊥BA交BA延长线于N，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32〔cm〕，
∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16〔cm〕，
∵DC＝84〔cm〕，
∴BD＝DC+BC＝84+16＝100〔cm〕，
∵∠F＝90°，∠DMF＝90°，
∴DM∥FN，
∴∠MDB＝∠ABC＝60°，
在Rt△BDN中，sin∠DBN＝sin60°＝，
∴DN＝×100＝50〔cm〕，
∵∠F＝90°，∠N＝90°，∠DMF＝90°，
∴四边形MFND是矩形，
∴DN＝MF＝50，
∵∠BDE＝75°，∠MDB＝60°，
∴∠EDM＝∠BDE﹣∠MDB＝75°﹣60°＝15°，
∵DE＝70〔cm〕，
∴ME＝DE•sin∠EDM＝70×sin15°≈18.2〔cm〕，
∴EF＝ME+MF＝50≈≈105〔cm〕，
答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．
方法二：如图2，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，过点E作EG⊥HD延长线于G，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32〔cm〕，
∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16〔cm〕，
∵DC＝84〔cm〕，
∴BD＝DC+BC＝84+16＝100〔cm〕，
同方法一得，DH＝BD•sin60°＝50，
∵在Rt△BDH中，∠DBH＝60°，
∴∠BDH＝30°，
∵∠BDE＝75°，
∴∠EDG＝180°﹣∠BDH﹣∠BDE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠DEG＝90°﹣75°＝15°，
∴DG＝DE•sin15°≈18.2〔cm〕，
∴GH＝DG+DH＝18.2+50≈≈105〔cm〕，
∵∠F＝90°，∠H＝90°，∠G＝90°，
∴EF＝EG≈105〔cm〕，
答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．


8．解：过点A作AF⊥MN于点F，交PQ于点E，

设CE＝x，
在Rt△DPE中，PE＝x•tan27°≈x，
∵BD＝10米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，
∴AE＝〔x+10〕米，AF＝2〔x+10〕米，
在Rt△AMF中，MF＝2〔x+10〕•tan10°≈0.36〔x+10〕米，
∵MF＝PE，
∴x＝0.36〔x+10〕，解得：x＝24，
∴PE≈×24＝12.24〔米〕，
∴PQ＝PE+EQ＝PE+AB≈13.4〔米〕，
答：路灯的高度约为13.4米．
9．解：根据题意可知：
四边形ABDM是矩形，
∴AB＝MD＝120m，
在Rt△AME中，ME＝AMtan45°＝AM，
在Rt△AMF中，MF＝AMtan60°＝AM，
∵EF＝MF﹣ME＝40m，
∴AM﹣AM＝40，
∴AM≈54.6〔m〕，
∴MF≈×≈94.46〔m〕，
∴DF＝120﹣94.46＝25.54〔m〕，
÷3≈8.5，
∴至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．
10．解：过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，
∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，
∴∠NAC＝75°，
∴∠CAM＝15°，
∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，
∴∠MAB＝45°，
∴∠MBA＝45°，
∵C点在B点的北偏西45°方向，
∴∠CBM＝45°，
∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，
∵C点在D°方向，
∴∠PDC°，
∴∠DCB°，
∴∠BDC＝180°﹣°﹣45°°，
∴BD＝BC，
由题可得DB＝2km，
∴BC＝2km，
在Rt△ABC中，∠CAB＝15°+45°＝60°，BC＝2，
∴AC＝≈km．

11．解：如图，作AD⊥BC于D．
由题意可知：BC×40＝60〔m〕，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，
∴AD＝CD，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，
∴BD＝，
∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60〔m〕，
∴AD＝30〔+1〕≈82〔m〕，
答：此段河面的宽度约82m．

12．解：延长CB交AD于点D，那么∠ADB＝90°，
由题意可知∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴AD＝BD，
在Rt△ABD中，
∵AB＝60海里，sin∠DAB＝，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝60×＝60〔海里〕，
∵BC＝20海里，
∴DC＝60+20＝80〔海里〕，
在Rt△ADC中，
由勾股定理得，AC＝＝＝100〔海里〕，
答：AC的距离为100海里．

13．解：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图，
根据题意得∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝320m，
∵∠CAB＝∠CAM﹣∠BAM＝60°﹣30°＝30°，
∴∠B＝∠BAC，
∴CA＝CB＝320m，
在Rt△ACD中，∠DCA＝60°，
∴sin∠ACD＝，
即sin∠60°＝，
∴AD＝320×＝160≈277〔m〕．
答．观测点A到桥面BC的距离是277米．

14．解：设塔高AB＝x米，
根据题意得∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，CD＝15米，
在Rt△ABC中，∵∠C＝45°，
∴BC＝BA＝x米，
在Rt△ABD中，∵tan∠BDA＝，
∴BD＝＝＝，
∵BD+CD＝BC，
∴x+15＝x，解得x＝≈35〔米〕．
答：白塔的高度AB为35米．
15．解：〔1〕如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，
∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，
∴四边形BDFE为矩形，
∴EF＝BD，DF＝BEm，
∴AF＝AD﹣DF﹣1.6＝40〔m〕，
在Rt△AEF中，sin∠AEF＝＝＝，
即sinα＝．
答：仰角α的正弦值为；
〔2〕在Rt△AEF中，EF＝＝＝30〔m〕，
在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6，
∵tan∠ACD＝，
∴CD＝＝≈21.22〔m〕，
∴BC＝BD+CD≈51〔m〕．
答：B，C两点之间的距离约为51m．

16．解：〔1〕如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，
∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
＝AB+AD+DC
＝AB+AC，
∵AB＝CE，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，
故△ABD的周长为1．
〔2〕设AD＝x，
∴BD＝3x，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝4x，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．
∴tan∠ABC＝＝＝．

17．解：〔1〕作PC⊥AB于C，如下图：
那么∠PCA＝∠PCB＝90°，
由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，
在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，
∴PC＝PA＝60海里，
在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠BCP＝，
∴PB＝＝＝60〔海里〕，
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；
〔2〕∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为＝3〔小时〕，救助船B所用的时间为＝2〔小时〕，
∵3＞2，
∴救助船B先到达．

18．解：〔1〕∵BC∥DK，
∴∠BCD+∠D＝180°，
又∵∠D＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣30°＝150°，
∵NE∥KD，
∴∠CEN＝∠D＝30°，
又∵∠AEN＝60°，
∴∠ACE＝∠AEN﹣∠CEN＝60°﹣30°＝30°，
故答案为：150，30；
〔2〕如图，过点C作CG⊥EN，垂足为G，延长AB角EN于点F，
在Rt△CEG中，∵∠CEG＝30°，CE＝4m，
∴CG＝CE＝2〔m〕＝BK，
∴EG＝CG＝2〔m〕，
设AB＝x，那么AF＝〔x+2〕m，
EF＝BC+EG＝〔8+2〕m，
在Rt△AEF中，∵∠AEN＝60°，
∴BF＝EF，
即x+2＝〔8+2〕，
x＝〔4+8〕m，
即信号塔的高度AB为〔4+8〕m．

19．解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：

∵∠BCD＝45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
设CE＝x，那么BE＝x，
∵CD＝80m，
∴DE＝〔80﹣x〕m，
Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，
∴tan56°19'＝，即＝1.5，
解得x＝48〔m〕，
∴BE＝CE＝48m，
Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，
∴tan19°17'＝，即＝0.35，
解得AC＝28m，
∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，
∴四边形ACEF是矩形，
∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，
∴BF＝BE﹣EF＝20m，
Rt△ABF中，AB＝＝＝52〔m〕，
答：A，B两点之间的距离是52m．
20．解：〔1〕过点D作DF⊥BC于F，

∵∠FCD＝60°，∠CFD＝90°，
∴FC＝CD×cos60°＝50×＝25〔cm〕，
∴FA＝AB+BC﹣CF＝84+54﹣25＝113〔cm〕，
答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为113cm；
〔2〕如图3，过点C作CG垂直于地面于点G，过点B作BN⊥CG于N，过点D作DM⊥CG于M，

∵BC＝54cm，
∴CN＝BC×cos20°＝54×0.94＝50.76〔cm〕，
∴MN＝CN+MG﹣CG＝50.76+90﹣﹣84＝6〔cm〕，
∴CM＝CN﹣MN＝44.76〔cm〕，
∴CD＝＝≈58〔cm〕，
答：CD的长为58cm．
21．解：由题意可得：∠APD＝30°，∠BPD＝45°，AP＝6km，∠BDP＝90°，
在Rt△BPD中，∵∠APD＝30°，AP＝6km，∠ADP＝90°，cos∠APD＝cos30°＝，
∴AD＝AP＝3km，PD＝PA•cos30°＝6×＝3〔km〕，
在Rt△APD中，
∵∠BPD＝45°，PD＝3km，∠BDP＝90°，tan∠BPD＝tan45°＝，
∴BD＝PDtan45°＝3〔km〕，
故AB＝BD﹣AD＝3﹣3≈﹣3＝2.196〔km〕＝2196m，
那么天舟二号从A处到B处的平均速度约为：2196÷≈293〔m/s〕，
答：天舟二号从A处到B处的平均速度约为293m/s．
22．解：根据题意可知：∠DAB＝45°，
∴BD＝AD，
在Rt△ADC中，DC＝BD﹣BC＝〔AD﹣4〕m，∠DAC°，
∵tan∠DAC＝，
∴°＝≈0.77，
解得AD≈m，
答：佛像的高度约为17.4 m．
23．解：〔1〕依题意知：∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
过点B作BD⊥AP于D点，

∵∠DAB＝45°，，
∴AD＝BD＝4，
∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，
∴∠PBD＝60°，
∵BD＝4，
∴，
∴PA＝〔4+4〕〔km〕；
〔2〕∵∠PBD＝60°，BD＝4，
∴PB＝8，
过点P作PE⊥BC于E，
∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
∴∠PBE＝60°，
∵PB＝8，
∴BE＝4，，
∵BC＝12，
∴CE＝8，
∴PC＝4〔km〕．
24．解：过点A作AH⊥EF于点H，交直线DG于点M，过点B作BN⊥DG于点N，BP⊥AH于点P，那么四边形BNMP和四边形DEHM均为矩形，如下图：

∴PM＝BN，MH＝DE＝5cm，
∴BP∥DG，
∴∠CBP＝∠BCD＝75°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠CBP＝120°﹣75°＝45°，
在Rt△ABP中，∠APB＝90°，sin45°＝，
∴AP＝AB•sin45°＝100×＝50cm，
在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，sin75°＝，
∴BN＝BC•sin75°≈80×cm，
∴PM＝BNcm，
∴AH＝AP+PM+MH＝5077.6+5≈cm．
答：指示牌最高点A到地面EFcm．
25．解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，

∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，
∴AB＝CD＝1，
在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，
∴BE＝AB•sin∠A＝1×sin35°≈0.6，
∴AE＝AB•cos∠A＝1×cos35°≈0.8，
在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，
∴CF＝CD•sin∠D＝1×sin45°≈0.7，
∴DF＝CD•cos∠D＝1×cos45°≈0.7，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE＝CM，
∴四边形BEMC是平行四边形，
∴BC＝EM，
在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝0.5，
∴EM＝＝≈1.4，
答：B与C之间的距离约为1.4米．
26．解：〔1〕∵GM∥PA，
∴∠FGH＝∠FBP＝30°，
∵FH⊥GM，
∴∠FHG＝90°，
∴FG＝2FH＝〔米〕．

〔2〕∵EF＝4米，FG＝米．
∴EG＝EF﹣FG＝4﹣＝〔米〕，
∵∠ABA1＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BA＝米，
∴点A运动至点A2所经过的路程＝+＝4〔米〕．
27．解：〔1〕过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，
设PC＝x，那么BC＝x，
在Rt△PAC中，
∵tan30°＝＝＝，
∴x＝10+10，
∴PA＝2x＝20+20，
答：A，P之间的距离AP为〔20+20〕海里；
〔2〕因为PC﹣10〔3+〕＝10+10﹣30﹣10＝10〔+1〕〔﹣〕＜0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P到BD的距离PE＝10〔3+〕海里时，
有sin∠PBE＝＝＝，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°
即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能平安通过这一海域．

28．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如下图：
由题意得：∠CDF＝37°，CD＝200米，
在Rt△CDF中，sin∠CDF＝＝sin37°≈0.60，cos∠CDF＝＝cos37°≈0.80，
∴CF≈200×0.60＝120〔米〕，DF≈200×0.80＝160〔米〕，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B＝∠DFB＝∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∴BF＝DE，BE＝DF＝160米，
∴AE＝AB﹣BE＝300﹣160＝140〔米〕，
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝tan65°≈2.14，
∴DE≈AE×2.14＝140×2.14＝299.60〔米〕，
∴BF＝DE≈299.60〔米〕，
∴BC＝BF+CF＝299.60+120≈420〔米〕，
答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．

29．解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如下图：
设AC＝x米，
由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，
在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan30°＝，
∴PC＝AC＝x〔米〕，
在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan45°＝1，
∴QC＝BC＝AC+AB＝〔x+3〕米，
∵PC﹣QC＝PQ＝5米，
∴x﹣〔x+3〕＝5，
解得：x＝4〔+1〕，
∴BC＝4〔+1〕+3＝4+7≈14〔米〕，
答：无人机飞行的高度约为14米．

30．解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．
由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200〔海里〕．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100〔海里〕．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200〔海里〕．
故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里．