2021年数学中考题精编精练《一元二次方程》

这是一份2021年数学中考题精编精练《一元二次方程》，共35页。试卷主要包含了有以下结论，76万人．，5元，【答案】B，【答案】D，【答案】A等内容，欢迎下载使用。

2021年数学中考题精选：?一元二次方程?
1. (2021·四川省宜宾市)假设m、n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，那么m2+4m+n的值是(    )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 12
2. (2021·湖北省襄阳市)随着生产技术的进步，某制药厂生产本钱逐年下降.两年前生产一吨药的本钱是5000元，现在生产一吨药的本钱是4050元.设生产本钱的年平均下降率为x，下面所列方程正确的选项是(    )
A. 5000(1+x)2=4050 B. 4050(1+x)2=5000
C. 5000(1−x)2=4050 D. 4050(1−x)2=5000
3. (2021·湖南省邵阳市)在平面直角坐标系中，假设直线y=−x+m不经过第一象限，那么关于x的方程mx2+x+1=0的实数根的个数为(    )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1或2个
4. (2021·湖北省黄石市)二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的局部对应值如下表：
x
…
−1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x=32时，对应的函数值y<0.有以下结论：
①abc>0；②m+n<−203；③关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在−12和0之间；④P1(t−1,y1)和P2(t+1,y2)在该二次函数的图象上，那么当实数t>13时，y1>y2．
其中正确的结论是(    )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
5. (2021·广西壮族自治区贵港市)某蔬菜种植基地2021年的蔬菜产量为800吨，2021年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，那么年平均增长率x应满足的方程为(    )
A. 800(1−x)2=968 B. 800(1+x)2=968
C. 968(1−x)2=800 D. 968(1+x)2=800
6. (2021·河南省)假设方程x2−2x+m=0没有实数根，那么m的值可以是(    )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 3
7. (2021·福建省)某市2021年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山〞的开展理念，该市大力开展植树造林活动，2021年底森林覆盖率到达68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是(    )
A. 0.63(1+x)=0.68 B. 0.63(1+x)2=0.68
C. 0.63(1+2x)=0.68 D. 0.63(1+2x)2=0.68
8. (2021·吉林省长春市)关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的值可能是(    )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
9. (2021·内蒙古自治区通辽市)关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0的根的情况，以下说法正确的选项是(    )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
10. (2021·内蒙古自治区通辽市)随着互联网技术的开展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2021年到2021年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2021年到2021年快递业务量的年平均增长率为x，那么可列方程为(    )
A. 507(1+2x)=833.6
B. 507×2(1+x)=833.6
C. 507(1+x)2=833.6
D. 507+507(1+x)+507(1+x)2=833.6
11. (2021·山东省济宁市)m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，那么代数式m2+2m+n的值等于(    )
A. 2021 B. 2021 C. 2021 D. 2022
12. (2021·广西壮族自治区玉林市)关于x的一元二次方程：x2−2x+m=0有两个不相等的实数根x1，x2，那么(    )
A. x1+x2<0 B. x1x2<0 C. x1x2>−1 D. x1x2<1
13. (2021·湖北省武汉市)a，b是方程x2−3x−5=0的两根，那么代数式2a3−6a2+b2+7b+1的值是(    )
A. −25 B. −24 C. 35 D. 36
14. (2021·天津市)抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)，(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1.有以下结论：
①abc>0；
②关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；
③a+b+c>7．
其中，正确结论的个数是(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
15. (2021·四川省广安市)关于x的一元二次方程(a+2)x2−3x+1=0有实数根，那么a的取值范围是(    )
A. a≤14且a≠−2 B. a≤14
C. a<14且a≠−2 D. a<14
16. (2021·四川省南充市)方程x2−2021x+1=0的两根分别为x1，x2，那么x12−2021x2的值为(    )
A. 1 B. −1 C. 2021 D. −2021
17. (2021·四川省眉山市)一元二次方程x2−3x+1=0的两根为x1，x2，那么x12−5x1−2x2的值为(    )
A. −7 B. −3 C. 2 D. 5
18. (2021·云南省)假设一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是(    )
A. a<1 B. a≤1 C. a≤1且a≠0 D. a<1且a≠0
19. (2021·浙江省丽水市)用配方法解方程x2+4x+1=0时，配方结果正确的选项是(    )
A. (x−2)2=5 B. (x−2)2=3 C. (x+2)2=5 D. (x+2)2=3
20. (2021·黑龙江省大庆市)函数y=ax2−(a+1)x+1，那么以下说法不正确的个数是(    )
①假设该函数图像与x轴只有一个交点，那么a=1；
②方程ax2−(a+1)x+1=0至少有一个整数根；
③假设1a ④不存在实数a，使得ax2−(a+1)x+1≤0对任意实数x都成立．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
21. (2021·山东省枣庄市)假设等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2−6x+n=0的两个根，那么n的值为______ ．
22. (2021·吉林省)假设关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，那么c的值为______ ．
23. (2021·江苏省南京市)设x1，x2是关于x的方程x2−3x+k=0的两个根，且x1=2x2，那么k= ______ ．
24. (2021·湖北省鄂州市)实数a、b满足a−2+|b+3|=0，假设关于x的一元二次方程x2−ax+b=0的两个实数根分别为x1、x2，那么1x1+1x2= ______ ．
25. (2021·江苏省盐城市)劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克.设平均每年增产的百分率为x，那么可列方程为______ ．
26. (2021·青海省)m是一元二次方程x2+x−6=0的一个根，那么代数式m2+m的值等于______ ．
27. (2021·湖北省十堰市)对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b=a2+b2−ab，假设x⊗(x−1)=3，那么x的值为______ ．
28. (2021·湖北省随州市)关于x的方程x2−(k+4)x+4k=0(k≠0)的两实数根为x1，x2，假设2x1+2x2=3，那么k= ______ ．
29. (2021·山东省济宁市)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x=1.下面结论：
①abc<0；
②2a+b=0；
③3a+c>0；
④方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于−1且小于0．
其中正确的选项是______ .(只填序号)
30. (2021·湖南省岳阳市)关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值为______ ．
31. (2021·湖北省武汉市)抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数)，a+b+c=0.以下四个结论：
①假设抛物线经过点(−3,0)，那么b=2a；
②假设b=c，那么方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线上，假设0y2．
其中正确的选项是______ (填写序号)．
32. (2021·湖南省长沙市)假设关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，那么k的值为______ ．
33. (2021·江西省)x1，x2是一元二次方程x2−4x+3=0的两根，那么x1+x1−x1x2= ______ ．
34. (2021·四川省成都市)假设m，n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，那么m2+4m+2n的值是______ ．
35. (2021·辽宁省本溪市)假设关于x的一元二次方程3x2−2x−k=0有两个相等的实数根，那么k的值为______ ．
36. (2021·甘肃省庆阳市)关于x的方程x2−2x+k=0有两个相等的实数根，那么k的值是______ 。
37. (2021·浙江省湖州市)今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．
(1)求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；
(2)假设该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A和B
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原方案购置甲种门票的游客和400人原方案购置乙种门票的游客改为购置丙种门票．
①假设丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？







38. (2021·山东省东营市)“杂交水稻之父〞--袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
(2)按照(1)中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量到达1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．







39. (2021·黑龙江省齐齐哈尔市)解方程：x(x−7)=8(7−x)．







40. (2021·湖北省黄石市)关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)假设该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=12，求m的值．







41. (2021·山东省烟台市)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款本钱价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)假设日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，那么该商品至少需打几折销售？







42. (2021·湖南省张家界市)2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路〞主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆〞成为重要的活动基地.据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
(1)求这两个月参观人数的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？







43. (2021·北京市)关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)假设m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．







44. (2021·湖北省荆门市)某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W(元)的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)假设该商品进价a(元/件)，售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
(3)因疫情期间，该商品进价提高了m(元/件)(m>0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55(元/件)，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系，假设周销售最大利润是4050元，求m的值．







45. (2021·湖北省荆州市)：a是不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0．







46. (2021·四川省南充市)关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．
(1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与x1x2都为整数，求k所有可能的值．







47. (2021·重庆市)某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出.A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
(2)随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速开展时期.今年，该工厂方案依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间.预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的根底上增加a%；B产品产量将在去年的根底上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%.那么今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的根底上增加2925a%.求a的值．







48. (2021·山西省)2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如下图)，假设圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答)．








49. (2021·辽宁省本溪市)某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
(1)请直接写出y(个)与x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
(3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？







50. (2021·四川省乐山市)关于x的一元二次方程x2+x−m=0．
(1)假设方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)二次函数y=x2+x−m的局部图象如下图，求一元二次方程x2+x−m=0的解．











答案和解析
1.【答案】C

【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，
∴m+n=−3，mn=−9，
∵m是x2+3x−9=0的一个根，
∴m2+3m−9=0，
∴m2+3m=9，
∴m2+4m+n=m2+3m+m+n=9+(m+n)=9−3=6．
应选：C．
由于m、n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2+3m−9=0，即m2+3m=9，那么m2+4m+n=m2+3m+m+n，再把m2+3m、m+n的值整体代入计算即可．
此题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1、x2之间的关系：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
2.【答案】C

【解析】解：设这种药品本钱的年平均下降率是x，根据题意得：
5000(1−x)2=4050，
应选：C．
等量关系为：2年前的生产本钱×(1−下降率)2=现在的生产本钱，把相关数值代入计算即可．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
3.【答案】D

【解析】解：∵直线y=−x+m不经过第一象限，
∴m≤0，
当m=0时，方程mx2+x+1=0是一次方程，有一个根，
当m<0时，
∵关于x的方程mx2+x+1=0，
∴△=12−4m>0，
∴关于x的方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根，
应选：D．
由直线解析式求得m≤0，然后确定△的符号即可．
此题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
4.【答案】B

【解析】解：将(0,2)，(1,2)代入y=ax2+bx+c得：
2=c2=a+b+c，解得b=−ac=2，
∴二次函数为：y=ax2−ax+2，
∵当x=32时，对应的函数值y<0，
∴94a−32a+2<0，
∴a<−83，
∴−a>83，即b>83，
∴a<0，b>0，c>0，
∴abc<0，故①不正确；
∵x=−1时y=m，x=2时y=n，
∴m=a+a+2=2a+2，n=4a−2a+2=2a+2，
∴m+n=4a+4，
∵a<−83，
∴m+n<−203，故②正确；
∵抛物线过(0,2)，(1,2)，
∴抛物线对称轴为x=12，
又∵当x=32时，对应的函数值y<0，
∴根据对称性：当x=−12时，对应的函数值y<0，
而x=0时y=2>0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在−12和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在−12和0之间，故③正确；
∵P1(t−1,y1)和P2(t+1,y2)在该二次函数的图象上，
∴y1=a(t−1)2−a(t−1)+2，y2=a(t+1)2−a(t+1)+2，
假设y1>y2，那么a(t−1)2−a(t−1)+2>a(t+1)2−a(t+1)+2，
即a(t−1)2−a(t−1)>a(t+1)2−a(t+1)，
∵a<0，
∴(t−1)2−(t−1)<(t+1)2−(t+1)，
解得t>12，故④不正确，
应选：B．
将(0,2)，(1,2)代入y=ax2+bx+c得b=−ac=2，可得二次函数为：y=ax2−ax+2，根据当x=32时，对应的函数值y<0，有a<−83，b>83，即得a<0，b>0，c>0，故①不正确；由m=2a+2，n=2a+2，结合a<−83，可得m+n<−203，故②正确；由抛物线过(0,2)，(1,2)，得抛物线对称轴为x=12，而当x=32时，对应的函数值y<0，可知当x=−12时，对应的函数值y<0，关于x的方程ax2+bx+c=0的负实数根在−12和0之间，故③正确；由y1=a(t−1)2−a(t−1)+2，y2=a(t+1)2−a(t+1)+2，知a(t−1)2−a(t−1)+2>a(t+1)2−a(t+1)+2时，t>12，故④不正确，
此题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数根本性质及图象特征，根据列方程或不等式．
5.【答案】B

【解析】解：依题意得：800(1+x)2=968．
应选：B．
根据该种植基地2021年及2021年的蔬菜产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】D

【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+m=0没有实数根，
∴△=(−2)2−4×1×m=4−4m<0，
解得：m>1，
∴m只能为3，
应选：D．
根据根的判别式和条件得出△=(−2)2−4×1×m=4−4m<0，求出不等式的解集，再得出答案即可．
此题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，①当△=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，②当△=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根，③当△=b2−4ac<0时，方程没有实数根．
7.【答案】B

【解析】解：设从2021年起全市森林覆盖率的年平均增长率为x，
根据题意得：0.63(1+x)2=0.68．
应选：B．
设从2021年起全市森林覆盖率的年平均增长率为x，根据2021年及2021年的全市森林覆盖率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】A

【解析】解：根据题意得△=(−6)2−4m>0，
解得m<9．
应选：A．
根据判别式的意义得到△=(−6)2−4m>0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
此题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
9.【答案】A

【解析】解：△=[−(k−3)]2−4(−k+1)
=k2−6k+9−4+4k
=k2−2k+5
=(k−1)2+4，
∵(k−1)2≥0，
∴(k−1)2+4>0，即△>0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
应选：A．
先计算判别式，再配方得到△=(k−1)2+4，然后根据非负数的性质得到△>0，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
此题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
10.【答案】C

【解析】解：设我国2021年至2021年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：507(1+x)2=833.6，
应选：C．
根据题意可得等量关系：2021年的快递业务量×(1+增长率)2=2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，假设设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，那么经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
11.【答案】B

【解析】解：∵m是一元二次方程x2+x−2021=0的实数根，
∴m2+m−2021=0，
∴m2+m=2021，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，
∴m+n=−1，
∴m2+2m+n=2021−1=2020．
应选：B．
根据一元二次方程根的定义得到m2+m=2021，那么m2+2m+n=2021+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n=−1，然后利用整体代入的方法计算．
此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．
12.【答案】D

【解析】解：根据题意得△=(−2)2−4m>0，解得m<1，
所以x1+x2=2，x1x2=m<1．
应选：D．
根据判别式的意义得到△=(−2)2−4m>0，解得m<1，再利用根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=m，然后对各选项进行判断．
此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.利用判别式的意义求出m的范围是解决问题的关键．
13.【答案】D

【解析】解：∵a，b是方程x2−3x−5=0的两根，
∴a2−3a−5=0，b2−3b−5=0，a+b=3，
∴a2−3a=5，b2=3b+5，
∴2a3−6a2+b2+7b+1
=2a(a2−3a)+3b+5+7b+1
=10a+10b+6
=10(a+b)+6
=10×3+6
=36．
应选：D．
根据一元二次方程解的定义得到a2−3a−5=0，b2−3b−5=0，即a2=3a+5，b2=3b+5，根据根与系数的关系得到a+b=3，然后整体代入变形后的代数式即可求得．
此题考查了根与系数的关系的知识，解答此题要掌握假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.也考查了一元二次方程解的定义．
14.【答案】D

【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)，(0,1)，
∴c=1，a−b+c=−1，
∴a=b−2，
∵当x=−2时，与其对应的函数值y>1．
∴4a−2b+1>1，
∴4(b−2)−2b+1>1，解得：b>4，
∴a=b−2>0，
，∴abc>0，故①正确；
②∵a=b−2，c=1，
∴(b−2)x2+bx+1−3=0，即∴(b−2)x2+bx−2=0，
∴△=b2−4×(−2)×(b−2)=b2+8b−16=b(b+8)−16，
∵b>4，
∴△>0，
∴关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根，故②正确；
③∵a=b−2，c=1，
∴a+b+c=b−2+b+1=2b−1，
∵b>4，
∴2b−1>7，
∴a+b+c>7．
故③正确；
应选：D．
①当x=0时，c=1，由点(−1,−1)得a=b−2，由x=−2时，与其对应的函数值y>1可得b>4，进而得出abc>0；
②将a=b−2，c=1代入方程，根据根的判别式即可判断；
③将a=b−2，c=1代入a+b+c，求解后即可判断．
此题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
15.【答案】A

【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a+2)x2−3x+1=0有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴(−3)2−4(a+2)×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤14且a≠−2，
应选：A．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共局部即可．
此题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．
16.【答案】B

【解析】解：∵方程x2−2021x+1=0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2=2021，x12−2021x1+1=0，x22−2021x2+1=0，
∵x2≠0，
∴x2−2021+1x2=0，
∴−1x2=x2−2021，
∴−2021x2=2021x2−20212，
∴x12−2021x2=2021x1−1+2021x2−20212
=2021(x1+x2)−1+20212
=20212−1−20212
=−1．
应选：B．
由题意得出x1+x2=2021，x12−2021x1+1=0，x22−2021x2+1=0，将代数式变形后再代入求解即可．
此题考查了根的定义及根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．
17.【答案】A

【解析】解：∵一元二次方程x2−3x+1=0的两根为x1，x2，
∴x12−3x1=−1，x1+x2=3，
∴x12−5x1−2x2=x12−3x1−2(x1+x2)=−1−2×3=−7．
应选：A．
根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出x12−3x1=−1，x1+x2=3，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
此题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一元二次方程的解，找出x12−3x1=−1，x1+x2=3是解题的关键．
18.【答案】D

【解析】解：∵一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，△=b2−4ac=22−4×a×1=4−4a>0，
解得：a<1，
应选：D．
由一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△>0，a≠0，继而可求得a的范围．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比拟简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得△>0．
19.【答案】D

【解析】解：方程x2+4x+1=0，
整理得：x2+4x=−1，
配方得：(x+2)2=3．
应选：D．
方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
20.【答案】C

【解析】解：①当a=0时，y=−x+1，此时函数图象与x轴交点为(1,0)，故①错误；
②当a=0时，−x+1=0，解得x=1；
当a≠0时，ax2−(a+1)x+1=(x−1)(ax−1)=0，
解得x=1或x=1a，
故②正确；
③当a=0时，y=−x+1，假设1a0；
当a>0时，函数图象开口向上，假设1a 当a<0时，函数图象开口向下，假设1a0；
故③错误；
④当a≠0时，y=ax2−(a+1)x+1，Δ=(a−1)2≥0，
此时ax2−(a+1)x+1≤0函数与x至少有一个交点，
不能使ax2−(a+1)x+1≤0对任意实数x都成立；
当a=0时，−x+1≤0，不能使ax2−(a+1)x+1≤0对任意实数x都成立；
故④正确；
应选：C．
①当a=0时，函数图象与x轴只有一个交点；②当a=0时，−x+1=0，解得x=1；③当a=0时，y=−x+1，假设1a0；④当a<0时，y=ax2−(a+1)x+1，Δ=(a−1)2≥0，此时ax2−(a+1)x+1≤0对任意实数x都成立．
此题考查函数与方程的关系；由于a是二次项系数，因此a具有特殊性，那么对a的特殊的讨论是解题的关键．
21.【答案】8或9

【解析】解：当4为腰长时，将x=4代入x2−6x+n=0，得：42−6×4+n=0，
解得：n=8，
当n=8时，原方程为x2−6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4，
∵2+4>4，
∴n=8符合题意；
当4为底边长时，关于x的方程x2−6x+n=0有两个相等的实数根，
∴△=(−6)2−4×1×n=0，
解得：n=9，
当n=9时，原方程为x2−6x+9=0，
解得：x1=x2=3，
∵3+3=6>4，
∴n=9符合题意．
∴n的值为8或9．
故答案为：8或9．
当4为腰长时，将x=4代入原一元二次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=4符合题意；当4为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△=0，解之可得出n值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=9符合题意．
此题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分4为腰长及4为底边长两种情况讨论是解题的关键．
22.【答案】94

【解析】解：∵一元二次方程x2+3x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=32−4c=0，
解得c=94．
故答案为：94．
由判别式△=0求解．
此题考查根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系．
23.【答案】2

【解析】解：根据题意，知x1+x2=3x2=3，那么x2=1，
将其代入关于x的方程x2−3x+k=0，得12−3×1+k=0．
解得k=2．
故答案是：2．
根据根与系数的关系求得x2=1，将其代入方程，列出关于k的方程，解方程即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
24.【答案】23

【解析】解：∵实数a、b满足a−2+|b+3|=0，
∴a=2，b=−3，
∵关于x的一元二次方程x2−ax+b=0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=a=2，x1⋅x2=b=−3，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−23，
故答案为：−23．
根据非负数的性质得出a=2，b=3，根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1⋅x2=3，将1x1+1x2变形为x1+x2x1x2，整体代入即可求得．
此题考查了非负数的性质，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
25.【答案】300(1+x)2=363

【解析】解：第一年的产量为300×(1+x)，
第二年的产量在第一年产量的根底上增加x，为300×(1+x)×(1+x)，
那么列出的方程是300(1+x)2=363．
故答案是：300(1+x)2=363．
可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×(1+增长率)=363，把相应数值代入即可求解．
考查由实际问题抽象出一元二次方程，假设设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，那么经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
26.【答案】6

【解析】解：将x=m代入方程x2+x−6=0，
得m2+m−6=0，
即m2+m=6，
故答案为：6．
将x=m代入原方程即可求m2+m的值．
此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把m2+m当成一个整体，利用了整体的思想．
27.【答案】2或−1

【解析】解：由题意得：
x2+(x−1)2−x(x−1)=3．
整理得：
x2−x−2=0．
即(x−2)(x+1)=0．
解得：x1=2，x2=−1．
故答案为：2或−1．
依据新定义得到关于x的方程，解方程可得结论．
此题主要考查了一元二次方程的解法−因式分解法．此题是新定义型题目，正确理解新定义并准确使用是解题的关键．
28.【答案】45

【解析】解：∵关于x的方程x2−(k+4)x+4k=0(k≠0)的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=k+4，x1⋅x2=4k，
∴2x1+2x2=2(x1+x2)x1⋅x2=2(k+4)4k=3．
解得k=45．
经检验，k=45是原方程的解．
故答案为：45．
根据根与系数的关系得到x1+x2=k+4，x1⋅x2=4k，将其代入等式，列出关于k的方程，解方程即可．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
29.【答案】①②④

【解析】解：由图象可得，
a<0，b>0，c>0，
那么abc<0，故①正确；
∵−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点(2,0)和(3,0)之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点(0,0)和点(−1,0)之间，故④正确；
∴当x−1时，y=a−b+c<0，
∴y=a+2a+c<0，
∴3a+c<0，故③错误；
故答案为：①②④．
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，此题得以解决．
此题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答此题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
30.【答案】9

【解析】解：根据题意，△=62−4k=0，
解得k=9，
故答案为9．
利用判别式的意义得到△=62−4k=0，然后解关于k的方程即可．
此题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根．
31.【答案】①②④

【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数)，a+b+c=0，
∴(1,0)是抛物线与x轴的一个交点．
①∵抛物线经过点(−3,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1+(−3)2=−1，
∴−b2a=−1，即b=2a，即①正确；
②假设b=c，那么二次函数y=cx2+bx+a的对称轴为直线：x=−b2c=−12，
且二次函数y=cx2+bx+a过点(1,0)，
∴1+m2=−12，解得m=−2，
∴y=cx2+bx+a与x轴的另一个交点为(−2,0)，即方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；故②正确；
③△=b2−4ac=(a+c)2−4ac=(a−c)2≥0，
∴抛物线与x轴一定有两个公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；
④由题意可知，抛物线开口向上，且ca>1，
∴(1,0)在对称轴的左侧，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
∴当x1y2.故④正确．
故答案为：①②④．
①由题意可得，抛物线的对称轴为直线x=b2a=1+(−3)2=−1，即b=2a，即①正确；
②假设b=c，那么二次函数y=cx2+bx+a的对称轴为直线：x=−b2c=−12，那么1+m2=−12，解得m=−2，即方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；故②正确；
③△=b2−4ac=(a+c)2−4ac=(a−c)2≥0，那么当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；
④由题意可知，抛物线开口向上，且ca>1，那么当x<1时，y随x的增大而减小，那么当x1y2.故④正确．
此题考查了二次函数图象与系数的关系，根与系数的关系，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题根底..
32.【答案】−1

【解析】解：把x=3代入方程x2−kx−12=0得：9−3k−12=0，
解得：k=−1，
故答案为：−1．
把x=3代入方程得出9−3k−12=0，求出方程的解即可．
此题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．
33.【答案】1

【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−4x+3=0的两根，
∴x1+x2=4，x1x2=3．
那么x1+x2−x1x2=4−3=1．
故答案是：1．
直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
34.【答案】−3

【解析】解：∵m是一元二次方程x2+2x−1=0的根，
∴m2+2m−1=0，
∴m2+2m=1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个根，
∴m+n=−2，
∴m2+4m+2n=m2+2m+2m+2n=1+2×(−2)=−3．
故答案为：−3．
先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m−1=0，那么m2+2m=1，根据根与系数的关系得出m+n=−2，再将其代入整理后的代数式计算即可．
此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．
35.【答案】13

【解析】解：∵一元二次方程3x2−2x−k=0有两个相等的实数根，
∴△=b2−4ac=(−2)2−4×3×(−k)=0，
解得k=13．
故答案为13．
利用判别式的意义得到△=(−2)2−4×3×(−k)=0，然后解关于k的方程即可．
此题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
36.【答案】1

【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=(−2)2−4×1×k=0，
解得：k=1．
故答案为：1．
根据根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
此题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根〞是解题的关键．
37.【答案】解：(1)设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，
由题意，得4(1+x)2=5.76，
解这个方程，得x1=0.2，x2=−2.2(舍去)，
答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；
(2)①由题意，得
100×(2−10×0.06)+80×(3−10×0.04)+(160−10)×(2+10×0.06+10×0.04)=798(万元)．
答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，
由题意，得
W=100(2−0.06m)+80(3−0.04m)+(160−m)(2+0.06m+0.04m)，
化简，得W=−0.1(m−24)2+817.6，
∵−0.1<0，
∴当m=24时，W取最大值，为817.6万元．
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．

【解析】(1)设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，根据增长率问题应用题列出方程，解之即可；
(2)①根据题意丙种门票价格下降10元，列式100×(2−10×0.06)+80×(3−10×0.04)+(160−10)×(2+10×0.06+10×0.04)计算，即可求景区六月份的门票总收入；
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意可得W=100(2−0.06m)+80(3−0.04m)+(160−m)(2+0.06m+0.04m)，化简得W=−0.1(m−24)2+817.6，然后根据二次函数的性质即可得结果．
此题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决此题的关键是掌握二次函数的应用，一元二次方程的应用．
38.【答案】解：(1)设亩产量的平均增长率为x，
依题意得：700(1+x)2=1008，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．
答：亩产量的平均增长率为20%．
(2)1008×(1+20%)=1209.6(公斤)．
∵1209.6>1200，
∴他们的目标能实现．

【解析】(1)设亩产量的平均增长率为x，根据第三阶段水稻亩产量=第一阶段水稻亩产量×(1+增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)利用第四阶段水稻亩产量=第三阶段水稻亩产量×(1+增长率)，可求出第四阶段水稻亩产量，将其与1200公斤比拟后即可得出结论．
此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
39.【答案】解：∵x(x−7)=8(7−x)，
∴x(x−7)+8(x−7)=0，
∴(x−7)(x+8)=0，
∴x=7或x=−8．

【解析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，解题的关键是找准公因式．
40.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(2m)2−4(m2+m)≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
(2)根据题意得x1+x2=−2m，x1x2=m2+m，
∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=12，
∴(−2m)2−2(m2+m)=12，即m2−m−6=0，
解得m1=−2，m2=3(舍去)．
故m的值为−2．

【解析】(1)根据判别式的意义得到Δ=(2m)2−4(m2+m)≥0，然后解关于m的不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=−2m，x1x2=m2+m，利用整体代入的方法得到m2−m−6=0，然后解关于m的方程即可．
此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
41.【答案】(1)解：设售价应定为x元，那么每件的利润为(x−40)元，日销售量为20+10(60−x)5=(140−2x)件，
依题意，得：(x−40)(140−2x)=(60−40)×20，
整理，得：x2−110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60(舍去)．
答：售价应定为50元；
(2)该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5× a10≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．

【解析】(1)根据日利润=每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，那么每件的利润为(x−40)元，日销售量为20+10(60−x)5=(140−2x)件，根据日利润=每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
(2)设该商品需要打x折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．
此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
42.【答案】解：(1)设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
依题意得：10(1+x)2=12.1，
解得：x1=0.1=10%，x1=−2.1(不合题意，舍去)．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
(2)12.1×(1+10%)=13.31(万人)．
答：预计6月份的参观人数为13.31万人．

【解析】(1)设这两个月参观人数的月平均增长率为x，根据5月份该基地接待参观人数=3月份该基地接待参观人数×(1+增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)利用6月份该基地接待参观人数=5月份该基地接待参观人数×(1+增长率)，即可求出结论．
此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
43.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−4m，c=3m2，
∴△=b2−4ac=(−4m)2−4×1×3m2=4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即△≥0，
∴原方程总有两个实数根．
(2)解：∵x2−4mx+3m2=0，即(x−m)(x−3m)=0，
∴x1=m，x2=3m．
∵m>0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m−m=2，
∴m=1．

【解析】(1)根据方程的系数，结合根的判别式可得出△=4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即△≥0，再利用“当△≥0时，方程有两个实数根〞即可证出结论；
(2)利用因式分解法求出x1=m，x2=3m.由题意得出m的方程，解方程那么可得出答案．
此题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有实数根〞；(2)利用因式分解法求出方程的解．
44.【答案】解：(1)设y=kx+b，由题意有：
40k+b=18070k+b=90，
解得k=−3b=300，
所以y关于x的函数解析式为y=−3x+300；
(2)由(1)W=(−3x+300)(x−a)，
又由表知，把x=40，W=3600，代入上式可得关系式
得：3600=(−3×40+300)(40−a)，
∴a=20，
∴W=(−3x+300)(x−20)=−3x2+360x−6000=−3(x−60)2+4800，
所以售价x=60时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
(3)由题意W=−3(x−100)(x−20−m)(x≤55)，
其对称轴x=60+m2>60，
∴0 ∴只有x=55时周销售利润最大，
∴4050=−3(55−100)(55−20−m)，
∴m=5．

【解析】(1)设y=kx+b，把x=40，y=180和x=70，y=90，代入可得解析式．
(2)根据利润=(售价−进价)×数量，得W=(−3x+300)(x−a)，把x=40，W=3600，代入上式可得关系式W=−3(x−60)2+4800，顶点的纵坐标是有最大值．
(3)根据根据利润=(售价−进价)×数量，得W=−3(x−100)(x−20−m)(x≤55)，其对称轴x=60+m2>60，0 此题考查二次函数的应用，解此题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式，
45.【答案】解：解不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7，得a>−3，
∴最小整数解为−2，
将a=−2代入方程x2+2ax+a+1=0，得x2−4x−1=0，
配方，得(x−2)2=5．
直接开平方，得x−2=±5．
解得x1=2+5，x2=2−5．

【解析】解不等式5(a−2)+8<6(a−1)+7，得a>−3，所以最小整数解为−2，于是将a=−2代入方程x2−4x−1=0.利用配方法解方程即可．
此题主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整数解．配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
46.【答案】(1)证明：∵△=[−(2k+1)]2−4×(k2+k)=1>0，
∴无论k取何值，方程有两个不相等的实数根．
(2)解：∵x2−(2k+1)x+k2+k=0，即(x−k)[x−(k+1)]=0，
解得：x=k或x=k+1．
∴一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0的两根为k，k+1，
∴x1x2=k+1k=1+1k或x1x2=kk+1=1−1k+1，
如果1+1k为整数，那么k为1的约数，
∴k=±1，
如果1−1k+1为整数，那么k+1为1的约数，
∴k+1=±1，
那么k为0或−2．
∴整数k的所有可能的值为±1，0或−2．

【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=1>0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
(2)解方程求出方程的两根为k，k+1，得出x1x2=1+1k或x1x2=1−1k+1，然后利用有理数的整除性确定k的整数值；
此题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根〞；(2)利用解方程求出k的整数值．
47.【答案】解：(1)设B产品的销售单价为x元，那么A产品的销售单价为(x+100)元，
依题意得：x+100+x=500，
解得：x=200，
∴x+100=300．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
(2)设去年每个车间生产产品的数量为t件，
依题意得：300(1+a%)t+200(1+3a%)(1−a%)t=500t(1+2925a%)，
设a%=m，那么原方程可化简为5m2−m=0，
解得：m1=15，m2=0(不合题意，舍去)，
∴a=20．
答：a的值为20．

【解析】(1)设B产品的销售单价为x元，那么A产品的销售单价为(x+100)元，根据1件A产品与1件B产品售价和为500元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据总销售额=销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论．
此题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
48.【答案】解：设这个最小数为x，那么最大数为(x+8)，
依题意得：x(x+8)=65，
整理得：x2+8x−65=0，
解得：x1=5，x2=−13(不合题意，舍去)．
答：这个最小数为5．

【解析】设这个最小数为x，那么最大数为(x+8)，根据最小数与最大数的乘积为65，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
49.【答案】解：(1)由题意，得：y=(x−40)[100−2(x−60)]=−2x2+300x−8800，
∴y=−2x2+300x−8800(60≤x≤110)；
(2)令y=2400得：−2x2+300x−8800=2400，
解得：x=70或x=80，
答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；
(3)y=−2x2+300x−8800=−2(x−75)2+2450，
∵−2<0，
∴当x=75时，y有最大值，最大值为245元，
答：每件定价为75元时利润最大，最大利润为2450元．

【解析】(1)依据每个星期的销售利润=每件的利润×销售的件数列方程求解即可；
(2)根据销售利润为2400元列出关于x的一元二次方程，从而可求得售价；
(3)利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值．
此题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出y与x的函数关系式是解题的关键．
50.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2+x−m=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，即1+4m>0，
∴m>−14；
(2)二次函数y=x2+x−m图象的对称轴为直线x=−12，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x=−12对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为(1,0)，
∴另一个交点为(−2,0)，
∴一元二次方程x2+x−m=0的解为x1=1，x2=−2．

【解析】(1)由△>0即可列不等式得到答案；
(2)根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点，即可得到答案．
此题考查一元二次方程及二次函数与二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线的对称性．