2021年全国中考真题分类精编精练--方程与不等式---一元二次方程

这是一份2021年全国中考真题分类精编精练--方程与不等式---一元二次方程，共32页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021全国中考真题分类汇编〔方程与不等式〕
----一元二次方程

一、选择题
1. 〔2021•湖北省武汉市〕a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，那么代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是〔　　〕
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
2. 〔2021•怀化市〕对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，那么它根的情况为〔　　〕
3. 〔2021•山东省聊城市〕 关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，那么k值为〔 〕
A. 2或4 B. 0或4 C. ﹣2或0 D. ﹣2或2
4. 〔2021•山东省临沂市〕方程x2﹣x＝56的根是〔　　〕
A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8
C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8
5. 〔2021•山东省泰安市〕关于x的一元二次方程kx2﹣〔2k﹣1〕x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围是〔　　〕
A．k＞- B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
6. 〔2021•山东省菏泽市〕关于x的方程〔k﹣1〕2x2+〔2k+1〕x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是〔　　〕
A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k＞ D．k≥
6. 〔2021•泸州市〕 关于x的一元二次方程的两实数根，满足，那么的值是〔 〕
A. 8 B. 16 C. 32 D. 16或40
7. 〔2021•四川省眉山市〕一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，那么x12﹣5x1﹣2x2的值为〔　　〕
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
8. 〔2021•新疆〕关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为〔　　〕
A. x1=﹣1，x2=3 B. x1=1，x2=﹣3 C. x1=1，x2=3 D. x1=﹣1，x2=﹣3
9. 〔2021•浙江省丽水市〕用配方法解方程时，配方结果正确的选项是〔 〕
A. B.
C. D.
10. 〔2021•湖南省张家界市〕对于实数，定义运算“☆〞如下：☆=，例如3☆2=，那么方程1☆=2的根的情况为〔 〕
没有实数根 只有一个实数根
有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根
11. 〔2021•福建省〕某市2021年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山〞的开展理念，该市大力开展植树造林活动，2021年底森林覆盖率到达68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是〔　　〕
A．0.63〔1+x B．0.63〔1+x〕2
C．0.63〔1+2x D．0.63〔1+2x〕2
12. 〔2021•广西玉林市〕关于一元二次方程：有两个不相等的实数根，，那么〔 〕
A. B.
C. D.
13. 〔2021•云南省〕假设一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是〔　　〕
A．a＜1 B．a≤1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
14. 〔2021•内蒙古通辽市〕关于x的一元二次方程x2﹣〔k﹣3〕x﹣k+1＝0的根的情况，以下说法正确的选项是〔　　〕
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
15.〔2021•襄阳市〕 随着生产技术的进步，某制药厂生产本钱逐年下降．两年前生产一吨药的本钱是5000元，现在生产一吨药的本钱是4050元．设生产本钱的年平均下降率为，下面所列方程正确的选项是〔 〕
A. B.
C. D.
16. 〔2021•黑龙江省龙东地区〕 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，那么每轮传染中平均一个人传染的人数是〔 〕
A. 14 B. 11 C. 10 D. 9
二．填空题
1. 〔2021•甘肃省定西市〕关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 　　。
2. 〔2021•湖北省黄冈市〕假设关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的值可以是 　　．〔写出一个即可〕
3. 〔2021•岳阳市〕?九章算术?是我国古代数学名著，书中有以下问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？〞其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？〔1丈＝10尺，1尺＝10寸〕如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．

4. 〔2021•长沙市〕假设关于的方程的一个根为3，那么的值为______．
5. 〔2021•江苏省南京市〕 设是关于x的方程的两个根，且，那么_______．
6. 〔2021•江西省〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，那么x1+x1﹣x1x2＝　1　．
7. 〔2021•上海市〕假设一元二次方程无解，那么c的取值范围为_________．
8. 〔2021•湖北省随州市〕关于的方程〔〕的两实数根为，，假设，那么______．
9. 〔2021•四川省南充市〕如果x2＝4，那么x＝　　．
10. 〔2021•遂宁市〕如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．


11. 〔2021•江苏省盐城市〕劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，那么可列方程为 　　．
12. 〔2021•湖北省十堰市〕对于任意实数a、b，定义一种运算：，假设，那么x的值为________．
13. 〔2021•湖南省娄底市〕，那么________．
三、解答题
1. 〔2021•江苏省无锡市〕解方程：〔x+1〕2﹣4＝0；


2. 〔2021•齐齐哈尔市〕解方程：．



3. 〔2021•湖南省常德市〕解方程：



4. 〔2021•上海市〕解方程组：




5. 〔2021•浙江省嘉兴市〕小敏与小霞两位同学解方程3〔x﹣3〕＝〔x﹣3〕2的过程如下框：
小敏：
两边同除以〔x﹣3〕，得
3＝x﹣3，
那么x＝6．
小霞：
移项，得3〔x﹣3〕﹣〔x﹣3〕2＝0，
提取公因式，得〔x﹣3〕〔3﹣x﹣3〕＝0．
那么x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？假设正确请在框内打“√〞；假设错误请在框内打“×〞，并写出你的解答过程．




6.〔2021•四川省南充市〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+k＝0．
〔1〕求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
〔2〕如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．






7. 〔2021•湖北省荆门市〕关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
〔1〕假设x1＝1，求x2及m的值；
〔2〕是否存在实数m，满足〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕＝？假设存在，求出实数m的值；假设不存在，请说明理由．





8.〔2021•北京市〕关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
〔1〕求证：该方程总有两个实数根；
〔2〕假设m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．





9.〔2021•湖北省黄石市〕关于的一元二次方程有实数根．
〔1〕求的取值范围；
〔2〕假设该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．





10. 〔2021•湖北省十堰市〕关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
〔1〕求实数m的取值范围；
〔2〕假设该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．




11．〔2021•山西省中考〕2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数〔如下图〕，假设圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数〔请用方程知识解答〕．






12. 〔2021•湖北省宜昌市〕随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
〔1〕请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
〔2〕今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少m%，求m的值．
〔3〕节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在〔2〕的情况下，假设每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？





13. 〔2021•山东省菏泽市〕列方程〔组〕解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；假设每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？





14.〔2021•重庆市A〕 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
〔1〕A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
〔2〕随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速开展时期．今年，该工厂方案依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的根底上增加a%；B产品产量将在去年的根底上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．那么今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的根底上增加%．求a的值．





15. 〔2021•湖南省张家界市〕2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路〞主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆〞成为重要的活动基地.据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人.
〔1〕求这两个月参观人数的月平均增长率；
〔2〕按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？






16. 〔2021•深圳〕探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
〔1〕假设该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？
__________〔填“存在〞或“不存在〞〕．
〔2〕继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，那么依题意，，
联立得，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，

a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，假设存在，用图像表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．


















答案

一、选择题
1. 〔2021•湖北省武汉市〕a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，那么代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是〔　　〕
A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36
【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，即a2＝3a+5，b2＝3b+5，根据根与系数的关系得到a+b＝3,然后整体代入变形后的代数式即可求得．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣7＝0的两根，
∴a2﹣4a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝3，a+b＝3,
∴a2﹣4a＝5，b2＝3b+5，
∴2a2﹣6a2+b2+7b+1
＝2a〔a2﹣3a)+3b+5+7b+1
＝10a+10b+6
＝10(a+b)+6
＝10×3+6
＝36．
应选：D．
2. 〔2021•怀化市〕对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，那么它根的情况为〔　　〕
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根〔假设方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项〕．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝4，
∴△＝b2﹣4ac＝〔﹣3〕2﹣4×2×4＝﹣23＜0，
∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根．
应选：A．
3. 〔2021•山东省聊城市〕 关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，那么k值为〔 〕
A. 2或4 B. 0或4 C. ﹣2或0 D. ﹣2或2
【答案】B
【解析】
【分析】把x=-2代入方程即可求得k的值；
【详解】解：将x=-2代入原方程得到：，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
应选：B．
4. 〔2021•山东省临沂市〕方程x2﹣x＝56的根是〔　　〕
A．x1＝7，x2＝8 B．x1＝7，x2＝﹣8
C．x1＝﹣7，x2＝8 D．x1＝﹣7，x2＝﹣8
【分析】利用因式分解法求解即可。
【解答】解：∵x2﹣x＝56，
∴x2﹣x﹣56＝0，
那么〔x﹣8〕〔x+7〕＝0，
∴x﹣8＝0或x+7＝0，
解得x1＝﹣7，x2＝8，
应选：C．
5. 〔2021•山东省泰安市〕关于x的一元二次方程kx2﹣〔2k﹣1〕x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围是〔　　〕
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△＝〔2k﹣1〕2﹣4k•〔k﹣2〕＞0，然后其出两个不等式的公共局部即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且△＝〔2k﹣1〕2﹣4k•〔k﹣2〕＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
应选：C．
6. 〔2021•山东省菏泽市〕关于x的方程〔k﹣1〕2x2+〔2k+1〕x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是〔　　〕
A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥
【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程〔k﹣1〕2x2+〔2k+1〕x+1＝0有实数根，
∴△＝〔2k+1〕2﹣4×〔k﹣1〕2×1＝12k﹣3≥0，
解得k≥；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是k≥，
应选：D．
6. 〔2021•泸州市〕 关于x的一元二次方程的两实数根，满足，那么的值是〔 〕
A. 8 B. 16 C. 32 D. 16或40
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得或，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可．
【详解】解：一元二次方程




或
当时，
原一元二次方程为
，
，



当时，原一元二次方程为

原方程无解，不符合题意，舍去，
应选：C．
7. 〔2021•四川省眉山市〕一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，那么x12﹣5x1﹣2x2的值为〔　　〕
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2〔x1+x2〕＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
应选：A．
8. 〔2021•新疆〕关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为〔　　〕
A. x1=﹣1，x2=3 B. x1=1，x2=﹣3 C. x1=1，x2=3 D. x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】C
9. 〔2021•浙江省丽水市〕用配方法解方程时，配方结果正确的选项是〔 〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．
【详解】解：，
，
，
，
应选：D．
10. 〔2021•湖南省张家界市〕对于实数，定义运算“☆〞如下：☆=，例如3☆2=，
那么方程1☆=2的根的情况为〔 D 〕
没有实数根 只有一个实数根
有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根
11. 〔2021•福建省〕某市2021年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山〞的开展理念，该市大力开展植树造林活动，2021年底森林覆盖率到达68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是〔　　〕
A．0.63〔1+x B．0.63〔1+x〕2
C．0.63〔1+2x D．0.63〔1+2x〕2
12. 〔2021•广西玉林市〕关于一元二次方程：有两个不相等的实数根，，那么〔 〕
A. B.
C. D.
【答案】D
13. 〔2021•云南省〕假设一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么实数a的取值范围是〔　　〕
A．a＜1 B．a≤1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
14. 〔2021•内蒙古通辽市〕关于x的一元二次方程x2﹣〔k﹣3〕x﹣k+1＝0的根的情况，以下说法正确的选项是〔　　〕
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】先计算判别式，再配方得到△＝〔k﹣1〕2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再根据判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
【解答】解：△＝[﹣〔k﹣3〕]2﹣4〔﹣k+1〕
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝〔k﹣1〕2+4，
∵〔k﹣1〕2≥0，
∴〔k﹣1〕2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
应选：A．

15.〔2021•襄阳市〕 随着生产技术的进步，某制药厂生产本钱逐年下降．两年前生产一吨药的本钱是5000元，现在生产一吨药的本钱是4050元．设生产本钱的年平均下降率为，下面所列方程正确的选项是〔 〕
A. B.
C. D.
【答案】C
16. 〔2021•黑龙江省龙东地区〕 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，那么每轮传染中平均一个人传染的人数是〔 〕
A. 14 B. 11 C. 10 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得：〔舍去〕，
应选B．
二．填空题
1. 〔2021•甘肃省定西市〕关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 　1　。
【分析】根据根的判别式△＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝(﹣2)2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
2. 〔2021•湖北省黄冈市〕假设关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的值可以是 　﹣1　．〔写出一个即可〕
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，在m的范围内选一个即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根，
∴△＝(﹣2)2﹣8×1•m＝4﹣7m＞0，
解得：m＜1，
取m＝﹣2，
故答案为：﹣1．

3. 〔2021•岳阳市〕?九章算术?是我国古代数学名著，书中有以下问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？〞其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？〔1丈＝10尺，1尺＝10寸〕如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．

【答案】

4. 〔2021•长沙市〕假设关于的方程的一个根为3，那么的值为______．
【答案】
5. 〔2021•江苏省南京市〕 设是关于x的方程的两个根，且，那么_______．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．
【详解】解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
故答案为：2．
6. 〔2021•江西省〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，那么x1+x1﹣x1x2＝　1　．
【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝3．
那么x1+x2﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案是：1．
7. 〔2021•上海市〕假设一元二次方程无解，那么c的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围．
【详解】解：关于x的一元二次方程无解，
∵，，，
∴，
解得，
∴的取值范围是．
故答案为：．
8. 〔2021•湖北省随州市〕关于的方程〔〕的两实数根为，，假设，那么______．
9. 〔2021•四川省南充市〕如果x2＝4，那么x＝　±2　．
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：x2＝4，
开平方得x＝±2；
故答案为：±2．

10. 〔2021•遂宁市〕如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．

【答案】20
【解析】
【分析】根据图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．
【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，
第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，
第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，
第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，
……
∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=，
当共有210个小球时，
，
解得：或(不合题意，舍去)，
∴第个图形共有210个小球．
故答案为：．

11. 〔2021•江苏省盐城市〕劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，那么可列方程为 　300〔1+x〕2＝363　．
【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量×〔1+增长率〕＝363，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一年的产量为300×〔1+x〕，
第二年的产量在第一年产量的根底上增加x，为300×〔1+x〕×〔1+x〕，
那么列出的方程是300〔1+x〕2＝363．
故答案是：300〔1+x〕2＝363．
12. 〔2021•湖北省十堰市〕对于任意实数a、b，定义一种运算：，假设，那么x的值为________．
【答案】或2
【解析】
【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．
【详解】解：根据新定义内容可得：，
整理可得，
解得，，
故答案为：或2．
13. 〔2021•湖南省娄底市〕，那么________．
【答案】3．
【解析】
【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用方程进行求解即可．
【详解】解：，
又∵，
∴，
那么，
故答案为：3．
三、解答题
1. 〔2021•江苏省无锡市〕解方程：〔x+1〕2﹣4＝0；
解：〔1〕∵〔x+1〕2﹣4＝0，
∴〔x+1〕2＝4，
∴x+1＝±2，
解得：x1＝1，x2＝﹣3．
2. 〔2021•齐齐哈尔市〕解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，．
3. 〔2021•湖南省常德市〕解方程：
【答案】，
【解析】
【详解】分析：利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程．
详解：由原方程，得：
〔x+1〕〔x﹣2〕=0，
解得：x1=2，x2=﹣1．
4. 〔2021•上海市〕解方程组：
【答案】和
【解析】
【分析】由第一个方程得到，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出，再回代第一个方程中即可求出．
【详解】解：由题意：，
由方程(1)得到：，再代入方程(2)中：
得到：，
进一步整理为：或，
解得，，
再回代方程(1)中，解得对应的，，
故方程组的解为：和．
5. 〔2021•浙江省嘉兴市〕小敏与小霞两位同学解方程3〔x﹣3〕＝〔x﹣3〕2的过程如下框：
小敏：
两边同除以〔x﹣3〕，得
3＝x﹣3，
那么x＝6．
小霞：
移项，得3〔x﹣3〕﹣〔x﹣3〕2＝0，
提取公因式，得〔x﹣3〕〔3﹣x﹣3〕＝0．
那么x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？假设正确请在框内打“√〞；假设错误请在框内打“×〞，并写出你的解答过程．
【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3〔x﹣3〕﹣〔x﹣3〕2＝0，
提取公因式，得〔x﹣3〕〔3﹣x+3〕＝0．
那么x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
6.〔2021•四川省南充市〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+k＝0．
〔1〕求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
〔2〕如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【分析】〔1〕根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝1＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
(2)解方程求出方程的两根为k,k+1,得出＝1+或＝1﹣,然后利用有理数的整除性确定k的整数值；
【解答】〔1〕证明：∵△＝[﹣〔2k+1〕]2﹣4×〔k2+k〕＝1＞0，
∴无论k取何值,方程有两个不相等的实数根．
(2)解:∵x2﹣〔2k+1〕x+k2+k＝0，即〔x﹣k〕[x﹣〔k+1〕]＝0，
解得：x＝k或x＝k+1．
∴一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+k＝0的两根为k,k+1,
∴或,
如果1+为整数,那么k为1的约数,
∴k＝±1,
如果1﹣为整数,那么k+1为1的约数,
∴k+1＝±1,
那么k为0或﹣2．
∴整数k的所有可能的值为±1,0或﹣2．

7. 〔2021•湖北省荆门市〕关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
〔1〕假设x1＝1，求x2及m的值；
〔2〕是否存在实数m，满足〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕＝？假设存在，求出实数m的值；假设不存在，请说明理由．
【分析】〔1〕先利用判别式的意义得到m≤5，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；
〔2〕利用〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕＝得到2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范围确定m的值．
【解答】解：〔1〕根据题意得△＝〔﹣6〕2﹣4〔2m﹣1〕≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
〔2〕存在．
∵〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕＝，
∴x1x2﹣〔x1+x2〕+1＝，
即2m﹣1﹣6＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
8.〔2021•北京市〕关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
〔1〕求证：该方程总有两个实数根；
〔2〕假设m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【答案】〔1〕见详解；〔2〕
【解析】
【分析】〔1〕由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
〔2〕设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．
【详解】〔1〕证明：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
〔2〕解：设关于的一元二次方程的两实数根为，那么有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
9.〔2021•湖北省黄石市〕关于的一元二次方程有实数根．
〔1〕求的取值范围；
〔2〕假设该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【答案】〔1〕；〔2〕
【解析】
【分析】〔1〕根据方程有实数根的条件，即求解即可；
〔2〕由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案．
【详解】〔1〕由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是．
〔2〕由可得：
∵；
∴
解得：或
∵
∴
即值为-2．
10. 〔2021•湖北省十堰市〕关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
〔1〕求实数m的取值范围；
〔2〕假设该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．
【答案】〔1〕；〔2〕1
【解析】
【分析】〔1〕直接利用根的判别式即可求解；
〔2〕根据韦达定理可得，，得到，根据两个根和m都是整数，进行分类讨论即可求解．
【详解】解：〔1〕∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
〔2〕设该方程的两个根为、，
∵该方程的两个根都是符号相同的整数，
∴，，
∴，
∴m的值为1或2，
当时，方程两个根为、；
当时，方程两个根与不是整数；
∴m的值为1．
11．〔2021•山西省中考〕2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数〔如下图〕，假设圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数〔请用方程知识解答〕．

【分析】
根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，那么最大数为，结合，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．
【详解】
解：设这个最小数为．
根据题意，得．
解得，〔不符合题意，舍去〕．
答：这个最小数为5．
12. 〔2021•湖北省宜昌市〕随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
〔1〕请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
〔2〕今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少m%，求m的值．
〔3〕节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元，在〔2〕的情况下，假设每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【分析】〔1〕设漫灌方式每亩用水x吨，那么100x+100×30%x+100×20%x＝15000，解得x＝100，可得结论；
〔2〕由“今年的灌溉用水量比去年减少m%〞可列出等式，进而求出m的值；
〔3〕分别计算去年因用水量减少所节省的水费和今天的两项投入之和，再进行比拟即可．
【解答】解：〔1〕设漫灌方式每亩用水x吨，那么
100x+100×30%x+100×20%x＝15000，
解得x＝100，
∴漫灌用水：100×100＝10000吨，
喷灌用水：30%×10000＝3000吨，
滴灌用水：20%×10000＝2000吨，
∴漫灌方式每亩用水100吨，漫灌试验田用水10000吨，喷灌试验田用水3000吨，滴灌试验田用水2000吨．
〔2〕由题意可得，100×〔1﹣2m%〕×100×〔1﹣m%〕+100×〔1+m%〕×30×〔1﹣m%〕+100×〔1+m%〕×20×〔1﹣m%〕＝15000×〔1﹣m%〕，
解得m＝0〔舍〕，或m＝20，
∴m＝20．
〔3〕节省水费：15000×m%×2.5＝13500元，
维修投入：300×30＝9000元，
新增设备：100×2m%×100＝4000元，
13500＞9000+4000，
∴节省水费大于两项投入之和．
13. 〔2021•山东省菏泽市〕列方程〔组〕解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；假设每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【分析】设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
【解答】解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
〔38﹣x﹣22〕〔160+×120〕＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．

14.〔2021•重庆市A〕 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
〔1〕A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
〔2〕随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速开展时期．今年，该工厂方案依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的根底上增加a%；B产品产量将在去年的根底上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．那么今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的根底上增加%．求a的值．
【答案】〔1〕A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；〔2〕20
【解析】
【分析】〔1〕设B产品的销售单价为x元，那么A产品的销售单价为〔x+100〕元，根据题意列出方程解出即可；
〔2〕设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意根据题意列出方程解出即可；
【详解】解：〔1〕设B产品的销售单价为x元，那么A产品的销售单价为〔x+100〕元．
根据题意，得
．
解这个方程，得．
那么．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
〔2〕设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得

设a%=m，那么原方程可化简为．
解这个方程，得〔舍去〕．
∴a=20．
答：a的值是20．
15. 〔2021•湖南省张家界市〕2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路〞主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆〞成为重要的活动基地.据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人.
〔1〕求这两个月参观人数的月平均增长率；
〔2〕按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？

〔1〕解：设这两个月参观人数的月平均增长率为,
由题意得：
解得：，〔不合题意，舍去〕
答：这两个月参观人数的月平均增长率为
〔2〕万人
答：六月份的参观人数为13.31万人.
16. 〔2021•深圳〕探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
〔1〕假设该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？
__________〔填“存在〞或“不存在〞〕．
〔2〕继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，那么依题意，，
联立得，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，

a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，假设存在，用图像表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．

【解答】〔1〕不存在；
〔2〕①存在；
∵的判别式，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看，：，：在第一象限有两个交点，故存在；
②设新矩形长和宽为x、y，那么依题意，，联立得，
因为，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看，：，：在第一象限无交点，故不存在；
〔3〕；
设新矩形长和宽为x和y，那么由题意，，
联立得，，故．