人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形随堂练习题

课后训练

基础巩固

1．若等腰三角形底角为72°，则顶角为 (　　)．

A．108°     B．72°     C．54°     D．36°

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，则∠C＝(　　)．

A．72°     B．60°     C．75°     D．45°

3．若等腰三角形的周长为26 cm，一边为11 cm，则腰长为(　　)．

A．11 cm         B．7.5 cm

C．11 cm或7.5 cm       D．以上都不对

4．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(　　)．

A．①②③         B．①②④

C．①③         D．①②③④

5．如图所示，已知∠1＝∠2，要使BD＝CD，还应增加的条件是(　　)．

①AB＝AC　②∠B＝∠C　③AD⊥BC　④AB＝BC

A．①          B．①②

C．①②③         D．①②③④

6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，若AD＝2，则AB＝__________.

能力提升

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过D点，且EF∥BC，图中等腰三角形共有(　　)．

A．2个         B．3个

C．4个         D．5个

8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是(　　)．

A．6     B．7      C．8      D．9

9．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB＝AC＝BD，则∠1和∠2的关系是(　　)．

A．∠1＝2∠2  B．∠1＋∠2＝90°

C．180°－∠1＝3∠2  D．180°＋∠2＝3∠1

10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝4.2 cm，则AD＝__________.

11．如图，若B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FED＝__________.

12．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O.

(1)求证：AB＝DC；

(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．

13．(综合应用)如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长．

14．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，且∠AEF＝∠AFE.求证：EF⊥BC.

(第14题图)    (第15题图)

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，∠A＝90°，BD是∠ABC的角平分线，CH⊥BD，交BD的延长线于H，求证：BD＝2CH.

16．(实际应用题)如图，某船上午11时30分在A处观测岛B在东偏北30°，该船以10海里/时的速度向东航行到C处，再观测海岛在东偏北60°，且船距海岛40海里．

(1)求船到达C点的时间；

(2)若该船从C点继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？

参考答案

1．D　点拨：等腰三角形两底角相等，所以顶角为36°，故选D.

2．A　点拨：设∠A＝x，由已知可知，∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2∠A＝2x，

因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，

所以x＋2x＋2x＝180°.

解得x＝36°，所以∠C＝72°，故选A.

3．C　点拨：边长为11 cm的边长可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况讨论．一种情况腰长为11 cm；另一种情况底边为11 cm，此时腰长为7.5 cm，两种情况都成立，故选C.

4．D　点拨：①②为判定定理，③每个外角都相等，则都是120°，所以每个内角都是60°，④一腰上的中线也是这条腰上的高，说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线，所以腰等于底，也是等边三角形，四个都成立，故选D.

5．C　点拨：①②说明△ABC为等腰三角形，由“三线合一”可知BD＝CD，由③能得到△ABD≌△ACD，所以BD＝CD，④不能得到BD＝CD，故选C.

6．8　点拨：由题意可知，在Rt△ACD和Rt△ABC中，∠ACD＝∠B＝30°，

所以AC＝2AD，AB＝2AC.

所以AB＝4AD＝4×2＝8.

7．D　点拨：由题意知，AB＝AC，AE＝AF，BE＝DE，CF＝DF，BD＝CD，所以所有的三角形都是等腰三角形，共有5个，故选D.

8．C　点拨：如图，共有8个格点．注意3和8也是，故选C.

9．D　点拨：因为AB＝BD，

所以∠B＝180°－2∠1，∠C＝∠1－∠2.

因为AB＝AC，

所以∠B＝∠C.

所以180°－2∠1＝∠1－∠2，

整理得180°＋∠2＝3∠1，故选D.

10．1.4 cm　点拨：由已知可以推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°，AD＝DC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，所以BD＝2AD.

所以BC＝3DC＝3AD＝4.2(cm)．

所以AD＝1.4 cm.

11．20°　点拨：运用一个外角等于和它不相邻的内角，及等腰三角形两底角相等可求出∠FED＝20°.

12．(1)证明：∵BE＝CF，

∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.

又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，

∴△ABF≌△DCE(AAS)．

∴AB＝DC.

(2)解：△OEF为等腰三角形，

理由如下：

∵△ABF≌△DCE，

∴∠AFB＝∠DEC.∴OE＝OF.

∴△OEF为等腰三角形．

13．解：如图，过P作PE⊥OB，垂足为E.

∵∠AOP＝∠BOP＝15°，PD⊥OA，

∴PD＝PE.

∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP＝15°.

∴∠BCP＝∠BOP＋∠CPO＝30°，

在Rt△CPE中，∠BCP＝30°，

∴PE＝.

∴PD＝PE＝2.

14．证明：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，

∵AB＝AC，

∴∠BAD＝.

∵∠AEF＝∠AFE，

∠BAC＝∠AEF＋∠AFE，

∴∠EFA＝.

∴∠EFA＝∠BAD.

∴EF∥AD，∴EF⊥BC.

15．证明：如图，延长CH、BA交于点E.

∵CH⊥BD，BD是∠ABC的角平分线，

∴∠CHB＝∠EHB＝90°，∠CBH＝∠EBH.

又∵BH＝BH，∴△CBH≌△EBH.

∴CH＝EH.∴CE＝2CH.

∵∠ACB＝45°，∠CAB＝90°，

∴∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB.

∵∠CAB＝∠CAE＝90°，

∴∠E＋∠ECA＝90°.

∵CH⊥BD，∴∠E＋∠EBH＝90°.

∴∠ECA＝∠EBH.∴△ECA≌△DBA.

∴CE＝BD.∴BD＝2CH.

16．解：(1)∵∠A＝30°，∠BCD＝60°，

∴∠ABC＝30°.∴∠A＝∠ABC.

∴AC＝BC＝40(海里),40÷10＝4(小时)．

答：船到达C点的时间是15时30分．

(2)在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，

∴CD＝×40＝20(海里),20÷10＝2(小时)．

答：该船在17时30分到达D处．