初中人教版18.2.1 矩形第1课时同步训练题

18.2 特殊的平行四边形

第1课时 矩形及其性质

基础训练

知识点1 矩形的定义

1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是(　　)

A.AB=CD       B.AD=BC

C.∠AOB=45° D.∠ABC=90°

2.如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化,下列判断错误的是(　　)

A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形

B.BD的长度增大

C.四边形ABCD的面积不变

D.四边形ABCD的周长不变

知识点2 矩形的边角性质

3.(2016·荆门)如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是(　　)

A.△AFD≌△DCE   B.AF=AD

C.AB=AF         D.BE=AD-DF

4.如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论中不正确的是(　　)

A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD

C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC

5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD折叠,得到△EBD,DE与BC交于点F,∠ADB=30°,则EF=(　　)

A.  B.2   C.3 D.3

知识点3 矩形的对角线性质

6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,

 以下说法错误的是(　　)

A.∠ABC=90° B.AC=BD

C.OA=OB D.OA=AD

7.(2016·菏泽)在▱ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有(　　)

①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.

A.①②③　　B.①②④　　C.②③④　　D.①③④

知识点4 直角三角形斜边上中线的性质

8.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为(　　)

A.14 B.16 C.17 D.18

9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB边的中点,连接DE,CE.则下列结论中不一定正确的是(　　)

A.ED∥BC       B.ED⊥AC

C.∠ACE=∠BCE D.AE=CE

10.(2016·丹东模拟)如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,EF过O点且EF⊥AC分别交DC,AB于点F,E,点G是AE的中点,且∠AOG=30°,则下列结论正确的有(　　)

①DC=3OG;②OG=BC;③△OGE是等边三角形;④S△AOE=S矩形ABCD.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

易错点 对题意理解不透彻导致漏解(分类讨论思想)

11.(2016·鄂州)如图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=120°,P是直线l上一点,当△APB为直角三角时,AP=　　　　.

提升训练

考查角度1 利用矩形对角线性质证线段相等

12.如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.

求证:BE=CF.

考查角度2 利用矩形的边角性质求面积

13.(2016·扬州)如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.

(1)求证:四边形AECF是平行四边形;

(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.

探究培优

拔尖角度1 利用矩形的定义探究条件问题(逆向思维法)

14.如图所示,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,连接DE,EF.请回答下列问题:

(1)四边形ADEF是什么四边形?并说明理由.

(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?

拔尖角度2 利用矩形的性质探究动点的位置问题

15.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).             

(1)当t为何值时,△QAP为等腰三角形?

(2)求四边形QAPC的面积,并探索一个与计算结果有关的结论.

参考答案

1.【答案】D　

解：因为四边形ABCD的对角线互相平分,所以四边形ABCD为平行四边形,A,B两选项为平行四边形具有的性质,C选项添加后也不一定是矩形,根据矩形的定义知D可以.故选D.

2.【答案】C　3.【答案】B

4.【答案】A　

解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADO=∠EDO=∠C=90°.∵AD=DE,∴BC=DE.

在△BOC与△EOD中,∠BOC=∠DOE,∠C=∠EDO=90°,

BC=DE,∴△BOC≌△EOD.故B选项正确.

在△AOD和△EOD中,AD=DE,∠ADO=∠EDO=90°,OD=OD,

∴△AOD≌△EOD.故C选项正确.

由B,C知△AOD≌△BOC,故D选项正确.而A选项中两三角形明显不全等.

5.【答案】A　6.【答案】D

7.【答案】B　

解：当▱ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,AC=BD,根据勾股定理求出AC,即可得出结论.

8.【答案】D　9.【答案】C

10.【答案】C　

解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE,再根据等边对等角可得∠OAG=30°,根据直角三角形两锐角互余求出∠GEO=60°,从而判断出△OGE是等边三角形,判断出③正确;设AE=2a,则OE=a,利用勾股定理求出AO的长,从而得到AC的长,再求出BC的长,然后利用勾股定理求出AB=3a,从而判断出①正确,②错误;再根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列式判断出④正确.

11.【答案】3或3或3　

解：当∠APB=90°时,分两种情况讨论.

情况一:如图①,∵O为AB中点,

∴PO=AB,AO=BO.∴PO=BO.

∵∠1=120°,∴∠PBA=30°.

∴AP=AB=3;

情况二:如图②,∵AO=BO,

∠APB=90°,

∴PO=BO.

∵∠1=120°,∴∠BOP=60°.

∴△BOP为等边三角形.

∴BP=AB=3.

∴AP===3.

当∠BAP=90°时,如图③,

∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,

∴∠APO=30°,

∴PO=2AO=6.

∴AP===3.

当∠ABP=90°时,如图④,

∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,

∴∠BPO=30°,

∴PO=2BO=6.

∴BP===3.

∴AP===3.

12.证明:∵四边形ABCD为矩形,

∴AC=BD.∴BO=CO.

∵BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,

∴∠BEO=∠CFO=90°.

又∵∠BOE=∠COF,

∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.

13.(1)证明:由折叠知AM=AB,CN=CD,∠FNC=∠D=90°,∠AME=∠

B=90°,

∴∠ANF=90°,∠CME=90°.

∵四边形ABCD为矩形,

∴AB=CD,AD∥BC.

∴∠FAN=∠ECM,AM=CN.

∴AM-MN=CN-MN,

即AN=CM.

在△ANF和△CME中,

∴△ANF≌△CME(ASA).

∴AF=CE.

又∵AF∥CE,

∴四边形AECF是平行四边形.

(2)解:∵AB=6,AC=10,∴BC=8.

设CE=x,则EM=BE=8-x,CM=10-6=4.

在Rt△CEM中,(8-x)2+42=x2,解得x=5.

∴四边形AECF的面积为CE·AB=5×6=30.

14.解:(1)四边形ADEF是平行四边形.

理由:∵△ABD,△BEC都是等边三角形,

∴BD=AB,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°.

∴∠DBE=60°-∠EBA,∠ABC=60°-∠EBA,

∴∠DBE=∠ABC.

∴△DBE≌△ABC.

∴DE=AC,

又∵△ACF是等边三角形,

∴AC=AF.∴DE=AF.

同理可得△ABC≌△FEC,

∴EF=BA=DA.

∵DE=AF,DA=EF,

∴四边形ADEF为平行四边形.

(2)若四边形ADEF为矩形,则∠DAF=90°,

∵∠DAB=∠FAC=60°,

∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°.

∴当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.

15.解:(1)由题意得DQ=t cm,AP=2t cm,∴AQ=(6-t)cm.若△QAP为等腰三角形,则只能是AQ=AP,于是6-t=2t,∴t=2.故当t=2时,△QAP为等腰三角形.

(2)S四边形QAPC=S矩形ABCD-S△CDQ-S△

BPC=12×6-×12t-×(12-2t)×6=72-6t-36+6t=36(cm2).　

结论:在点P,Q的移动过程中,四边形QAPC的面积始终不变,为36 cm2.