沪科版八年级下册19.2 平行四边形课后作业题

19.2特殊的平行四边形课时练

课时一矩形

1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（         ）

A.对边相等    B.对角相等    C.对角互补    D.对角线平分

2.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（       ）

A.26    B.13     C.8.5     D.6.5

3.矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，AB=5则△ABO的周长为等于

             .

4. 如图所示，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，

使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，

则AF等于 （　　）

A.　     B.　　 C.  D.８　　  

5. 如图所示，矩形的对角线和相交于点，

过点的直线分别交和于点E、F，，

则图中阴影部分的面积为　　　　　．

6.已知矩形的周长为40，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长

的差为8，则较大的边长为             .

7. 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，于E，于F。

    求证BE=CF。

8. 如图所示，E为□ABCD外，AE⊥CE,BE⊥DE，

求证：□ABCD为矩形

9.已知矩形ABCD和点P，当点P在图1中的位置时，则有结论：S△PBC=S△PAC+S△PCD理由：过点P作EF垂直BC，分别交AD、BC于E、F两点．

图l

∵ S△PBC+S△PAD=BC·PF+AD·PE=BC（PF+PE）=BC·EF=S矩形ABCD

又∵ S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD

∴ S△PBC+S△PAD= S△PAC+S△PCD+S△PAD．

∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD．

    请你参考上述信息，当点P分别在图2、图3中的位置时，S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．

图2                 图3

10. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.

(1)求证：EO=FO

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

课时一答案：

1.C；2.D，提示：由勾股定理求得斜边为：，斜边的中线长为；3.18，提示：AB=5,BC=12,AC=13,；4. A，提示：DE=3,AB=AE=6,在直角三角形ADE中，∠DAE=30，由折叠的性质得∠BAF=∠EAF=30,设BF=，则AF=2，；5.3；6.14；

7证明：∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD,BO=CO,

∵,,∴∠BEO=∠CFO=90,又∵∠BOE=∠COF

∴BE=CF

8.连接AC、BD，AC与BD相交于点O，连接OE

在□ABCD中，AO=OC,BO=DO. 在中，OE=,

在中，OE=,∴BD=AC, ∴□ABCD为矩形.

9. 猜想结果：图2结论S△PBC=S△PAC+S△PCD；  图3结论S△PBC=S△PAC-S△PCD

证明：如图2，过点P作EF垂直AD，分别交AD、BC于E、F两点．

      ∵ S△PBC=BC·PF=BC·PE+BC·EF

=AD·PE+BC·EF=S△PAD+S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD

∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD

10. (1)证明：∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEO又∵∠BCE=∠ECO

∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC,同理OC=OF，∴OE=OF

(2)当O为AC中点时，AECF为矩形，∵EO=OF(已证)，OA=OC

∴AECF为平行四边形，又∵CE、CF为△ABC内外角的平分线

∴∠EOF=90°，∴四边形AECF为矩形

课时二菱形

1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的

中点，则下列式子中一定成立的是（　　　）

A．AC=2OE                   B．BC=2OE     

C．AD=OE                    D．OB=OE

2. 如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（　　）

A.四边形ABCD是平行四边形 

B.AC⊥BD

C.△ABD是等边三角形 

D.∠CAB＝∠CAD

3. 如图，如果要使成为一个菱形，

需要添加一个条件，那么你添加的条件是          ．

4. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为          。

5.□ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①AC⊥BD；②AB=BC;③AC平分∠BAD；④AO=DO，使得□ABCD是菱形的条件有（       ）

A.1个    B.2个    C.3个     D.4个

6.菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为          .

7. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从(1)AB=CD；(2)AB∥CD；(3)OA=OC；(4)OB=OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形。如(1)(2)(5)ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________ABCD是菱形；________ABCD是菱形。

8. 如图所示，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.

9..□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？

10.. 已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

课时二答案：

1. B；2. C; 3.答案不唯一：等；4.5；5.C；6.24，提示：由已知得菱形一边长为5，由菱形的对角线互相平分且垂直，所以另一条对角线的长为，∴S菱=；7.①②⑥或③④⑤或③④⑥；

8.四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAF，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAE＝∠DAF，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=ED.

又∵DE∥AC，DF∥AB

∴四边形AEDF是平行四边形，∴平行四边形AEDF是菱形.

9. □AFCE是菱形，△AOE≌△COF，四边形AFCE是平行四边形，EF⊥AC

10.. 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵点E 、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB ，CF＝CD ．

∴AE＝CF ．∴△ADE≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形．

∵四边形 BEDF 是菱形，

∴DE＝BE ．∵AE＝BE ，

∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四边形AGBD是矩形．

课时三正方形

1. 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（    ）

A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BD          B.AB∥CD，AC=BD

C.AD∥BC，∠A=∠C                 D.OA=OC，OB=OD，AB=BC

2. 在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（    ）

A.12+12  B.12+6      C.12+  D.24+6

3. 已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).

4. 下列命题中的假命题是(    )．

    A．一组邻边相等的平行四边形是菱形

    B．一组邻边相等的矩形是正方形

    c  一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

5. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.

6. 如图，依次连结一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去， 则第六个正方形的面积是       ．

7. 如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC＝___度．

8. 已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，

F为BC延长线上一点，CE=CF.

(1)求证：△BEC≌△DFC；

(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.

9如图所示，.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．

（1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，

并证明你的猜想．

10. 把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段相等吗？

请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

11.如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．

    （1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；

    （2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比．

    （3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）；

（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题（根据提出的问题给附加分，最多4分，计入总分，但总分不超过120分）．

课时三答案：

1.A；2.A; 3.∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°中的任一条件即可;4. D；5. 3；

6. ;7.105;

8.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC，∠BCD=90°

在Rt△BCE和Rt△DCF中，BC=DC，CE=CF,∴Rt△BCE≌Rt△DCF

(2)∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE,∴∠CFE=(180°－90°)=45°

∵Rt△BCE≌Rt△DCF,∴∠CFD=∠BEC=60°

∴∠EFD=∠DFC－∠EFC=15°

9. (1) 证明： 如图，∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90o，              

又 ∠CDG=90o +∠ADG=∠ADE， 

∴ △ADE≌△CDG． ∴ AE=CG．  

（2）猜想： AE⊥CG．

证明： 如图，

设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N．    

∵ △ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG．  　

又∵ ∠ANM=∠CND， ∴ △AMN∽△CDN． 

∴ ∠AMN=∠ADC=90o．∴ AE⊥CG．     

10. 解：．

证法1：连结，

四边形，都是正方形．

．

由题意知，又．

，

．

证法2：连结．

四边形都是正方形，

．

由题意知．

．

．

．

 11. 解：（1）如图1，连结DF．

    因为点E为CD的中点，所以．

    据题意可证△FEC∽△FBA，所以．   （2分）

    因为S△DEF=S△CEF，S△=S．                   （2分）

    所以．      

    （2）如图2，连结DF．

   与（1）同理可知，=，S△DEF=S△CEF，，

    所以=．          

    （3）当CE：ED=3：1时，=．    

    当CE：ED=n：1时， =（=）．       

    （4）提问举例：①当点E运动到CE：ED=5：1时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少？

    ②当点E运动到CE：ED=2：3时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少？

    ③当点E运动到CE：ED=m：n（m，n是正整数）时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少？