第1.6讲 反比例函数的综合题-备战中考数学热点难点突破（学生版）

【备战中考数学热点、难点突破】

考纲要求:

1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的关系式.

①借助实际问题情景建立反比例函数关系式，体会反比例函数的意义；

②能根据实际问题中数量关系直接列出反比例函数关系式.

③在给定已知条件下，能够确定反比例函数关系式.

2. 能画出反比例函数的图象，根据图象和关系式探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况.[来源:]

①通过具体的关系式引导学生选取一定数量的对应点，用描点法画反比例函数在某一象限内的图象；

②通过具体的反比例函数图象，结合关系式引导学生能从反比例函数关系式取值特征来分析反比例函数图象的特征；

③通过画图实验探索并理解k＞0或k＜0时，图象的变化情况，掌握用图象、文字和符号语言三种方式表示反比例函数的性质，并能实现三种语言的相互转化，从 “形”与“数”两个角度说明在每一象限内反比例函数的增减性；

④通过具体的图象引导学生根据双曲线位置确定k＞0或k＜0；

⑤结合反比例函数的图象理解反比例函数关系式中k的几何意义.

基础知识回顾:

（一）反比例函数的概念

1．可以写成的形式，注意自变量的指数为在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

2．也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数的自变量，故函数图象与坐标轴无交点．

（二）反比例函数的图象及性质
在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量的取值不能为0，且应对称取点（关于原点对称）．

1．函数解析式： .

2．自变量的取值范围：.

3．图象:

（1）图象的形状：双曲线．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，当k＞0时，图象的两支分别位于第一、三象限；在每个象限内，随的增大而减小.

当k＜0时，图象的两支分别位于第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大.

4. 反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

5．的几何意义

如图，设点是双曲线上任意一点，作轴于A点，轴于B点，则矩形PBOA的面积是.和的面积都是

应用举例:

招数一、反比例函数与一次函数的综合.

【例1】如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是__．

招数二、反比例函数与四边形的综合

【例2】．以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为___．

[来源:ZXXK]

招数三、反比例函数与旋转

【例3】如图，在平面直角坐标中，矩形OABC的顶点AC分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=8，tan∠DOE=，则BN的长为_____．

招数五、反比例函数上点的坐标特征

【例4】若与是同类项，点P（m，n）在双曲线上，则a的值为      ．

【例5】如图，菱形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，边BC在x轴上，且BC=5，sin∠ABC=，反比例函数（x>0）的图象分别与AD，CD交于点M、点N，点N的坐标是（3，n），连接OM，MC.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求证：△OMC是等腰三角形.

招数五、反比例函数的应用

【例6】A，B两城间的距离为15千米，一人行路的平均速度每小时不少于3千米，也不多于5千米，则表示此人由A到B的行路速度x（千米/小时）与所用时间y（小时）的关系y=的函数图象是（　　）

A．    B．    C． D．

方法、规律归纳:

归纳 1：反比例函数的概念

基础知识归纳： 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．

基本方法归纳：判断一个函数是否是反比例函数关键是看它的横纵坐标的乘积k是否为一个非零常数．

注意问题归纳：当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑k0及指数为-1．

归纳 2：反比例函数的性质

基础知识归纳：当k＞0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限．在每个象限内，y随x 的增大而减小．当k＜0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限．在每个象限内，随x 的增大而增大．

基本方法归纳：关键是熟练掌握反比例函数的性质．

注意问题归纳：准确抓住“在每个象限内”是解答关键．

归纳 3：反比例函数图象上点的坐标与方程的关系

基础知识归纳：反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等都等于k．

基本方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合．[来源:Z&X&X&K]

注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．

归纳 4：反比例函数与一次函数的综合运用

基础知识归纳：一次函数与反比例函数的交点坐标为对应方程组的解[来源:Zxxk.Com]

基本方法归纳：列方程组是关键．

注意问题归纳：坐标要准确，利用增减性时要分象限考虑．[来源:Z§X§X§K]

归纳 5：反比例函数的图象和k的几何意义

基础知识归纳：主要涉及到与三角形、四边形面积问题，线段长度和坐标．

基本方法归纳：数形结合思想，坐标线段间的相互转化．

注意问题归纳：在确定k的值时一定要注意符号问题．

实战演练:

1、在同一平面直角坐标系中，反比例函数y（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致是（　　）

A．    B．C．    D．

2. 如图，∠AOB=90°，且OA、OB分别与反比例函数y=（x＞0）、y=﹣（x＜0）的图象交于A、B两点，则tan∠OAB的值是（　　）

A．    B．    C．1    D．

3. 已知四个点的坐标分别是（－1，1），（2，2），（，），（－5，－），从中随机选一个点，在反比例函数图象上的概率是         ．

4. （2017黑龙江省齐齐哈尔市）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于      ．

5. （2017云南省）已知点A（a，b）在双曲线上，若a、b都是正整数，则图象经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为      ．

6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（4，6）、（5，4），且AB平行于x轴，将矩形ABCD向左平移，得到矩形A′B′C′D′．若点A′、C′同时落在函数的图象上，则k的值为（　　）

A．6    B．8    C．10    D．12

7.在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．

（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．

①求y关于x的函数表达式；

②当y≥3时，求x的取值范围；

（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？

8.如图，直线y=x+m与双曲线y=相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为_____．

9.已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数图象的两个交点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）观察图象，直接写出不等式的解集．

10. 如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．

（1）当m=4，n=20时．

①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．

②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．