高中数学人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换教案设计

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本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》5.5.2节《简单的三角恒等变换》属于新授课.本节的内容是简单的三角恒等变换，主要内容是利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，本节的内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等属性思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
教学重点：体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．
教学难点：了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角
恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
多媒体
课程目标
学科素养
1．能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．
2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
3．体会知识之间的内在联系，培养学生的思考归纳能力，提高其思维灵活性.
a.数学抽象：公式的应用；
b.逻辑推理：公式之间的联系；
c.数学运算：运用公式求值；
d.直观想象：公式的灵活运用；
e.数学建模：运用三角公式解决实际问题；
教学过程
设计意图
核心教学素养目标
（一）创设问题情境
提出问题
学习了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ，从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更加丰富 ．
例７ 试以csα表示 sin2α2, cs2α2, tan2α2
解：α是α2的二倍角．在倍角公式cs2α=1-2sin2α中，以α代替2α，以α2代替α，
得csα=1-2sin2α2,
所以sin2α2=1-csα2, ①
在倍角公式cs2α=2cs2α-1中，以α代替2α，以α2代替α，
得csα=2cs2α2-1,
所以cs2α2=1+csα2, ②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2α2=1-csα1+csα.
例7的结果还可以表示为
sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))cseq \f(α,2)＝_____±eq \r(\f(1＋cs α,2))_，taneq \f(α,2)＝__± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))
并称为半角公式，符号由eq \f(α,2)所在的象限决定。
归纳总结
因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式．这是三角恒等变换的一个重要特点．
例８ 求证：
（1）sinαcsβ=12[sinα+β+sinα-β],
(2) sinθ+csφ=2sinθ+φ2csθ-φ2.
这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
证明：（１）因为
sinα+β= sinαcsβ+ csαsinβ,
sinα-β= sinαcsβ-csαsinβ,
将以上两式的左右两边分别相加，得
sinα+β+sinα-β= 2sinαcsβ ①
即sinαcsβ=12[sinα+β+sinα-β]
（2）由（1）可得sinα+β+sinα-β= 2sinαcsβ
设α=θ+φ2，β=θ-φ2.
把α，β代入①，即得sinθ+csφ=2sinθ+φ2csθ-φ2
如果不用（１）的结果，如何证明？
归纳总结
例８的证明用到了换元的方法．如把α+β看作θ，α-β看作φ，从而把包含α,β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式．或者，把sinαcsβ看作x，csαsinβ看作y，把等式看作x ， y的方程，则原问题转化为解方程（组）求x ．它们都体现了化归思想．
例９ 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（１） y=sinx+3csx； （２） y=3sinx+4csx．
分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y=Asin(x+φ) ,利用和角公式将其展开，可化为） y=asinx+bcsx的形式．反之，利用和（差）角公式，可将 y=asinx+bcsx转化为y=Asin(x+φ) 的形式，进而就可以求得其周期和最值了．
解：（1）y=sinx+3csx= 2（12sinx+32csx）①
=2（sinxcsπ3+csxsinπ3）=2sinx+π3
因此，所求周期为2π，最大值为２，最小值为－２．
你能说说①这一步变形的理由吗？
（２）设y=3sinx+4csx=Asinx+φ ,
则3sinx+4csx=Asinxcsφ+Acsxsinφ
于是Acsφ=3．Asinφ=4
于是 A2cs2φ+A2sin2φ=25
所以A2=25.
取A＝５，则csφ=35, sinφ=45．
由y=5sinx+φ
可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5
例10 如图5.5-2，已知OPQ是半径为１，圆心角为π2的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分二步进行.
①找出S与之间的函数关系;
②由得出的函数关系,求S的最大值.
解：在中,,.
在中,,
所以, ,
所以, .
设矩形的面积为,则
.
对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围:
由 , 得 .
所以当 , 即时,
因此,当时, 矩形的面积最大,最大面积为.
注：（1）在求解最大值时，要特别注意 “”这一隐含条件;
（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题.
通过三角变换把形如y=asinx+bcsx的函数转化为形如y=Asin(x+)的函数,从而使问题得到简化。化归思想
通过开门见山，提出问题，利用三角解决证明问题，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。
通过对三角公式的灵活运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；
通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；
三、当堂达标
1．若cs α＝eq \f(2,3)，α∈(0，π)，则cs eq \f(α,2)的值为( )
A．eq \f(\r(6),6) B．－eq \f(\r(6),6) C．eq \f(\r(30),6) D．－eq \f(\r(30),6)
【解析】 由题意知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs eq \f(α,2)>0，cs eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cs α,2))＝eq \f(\r(30),6).
【答案】 C
2．已知cs α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，则sin eq \f(α,2)等于( )
A．eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5) C．eq \f(4,5) D．eq \f(2\r(5),5)
【解析】 由题知eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，∴sin eq \f(α,2)>0，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(\r(5),5).
【答案】 A
3．已知sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，则sin 2α的值等于( )
A．eq \f(7,16) B．－eq \f(7,16) C．－eq \f(9,16) D．eq \f(9,16)
【解析】 由sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝1－sin 2α＝eq \f(25,16)，所以sin 2α＝－eq \f(9,16).
【答案】 C
4．函数y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x的最小正周期为________．
【解析】 ∵y＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋cs2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
∴函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
【答案】 π
5．求证：4sin θcs2eq \f(θ,2)＝2sin θ＋sin 2θ.
【证明】 法一：左边＝2sin θ·2cs2eq \f(θ,2)＝2sin θ(1＋cs θ)
＝2sin θ＋2sin θcs θ＝2sin θ＋sin 2θ＝右边，
所以原式成立．
法二：右边＝2sin θ＋2sin θcs θ＝2sin θ(1＋cs θ)
＝2sin θ·2cs2 eq \f(θ,2)＝4sin θcs2eq \f(θ,2)＝左边，
所以原式成立．
6、如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
【精彩点拨】 eq \x(设∠AOB＝α)→eq \x(建立周长lα)→eq \x(求l的最大值)
【解答】 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，
则AB＝Rsin α，OB＝Rcs α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcs α
＝R(sin α＋cs α)＋R＝eq \r(2)Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＋R.
∵0<α∴l的最大值为eq \r(2)R＋R＝(eq \r(2)＋1)R，此时，α＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,4)，
即当α＝eq \f(π,4)时，△OAB的周长最大．
通过练习巩固本节所学知识，巩固对三角公式运用，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
四、小结
1．知识：如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现. 如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题．
2．思想：本节课通过由特殊到一般方式把关系式化成的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力. 通过探究如何选择自变量建立数学关系式，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识．[来源:学科
五、作业
1. 课时练 2. 预习下节课内容
学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；