2021学年3.2 简单的三角恒等变换教学设计

【新教材】5.5.2 简单的三角恒等变换

教学设计（人教A版）

它位于三角函数与数学变换的结合点上，能较好反应三角函数及变换之间的内在联系和相互转换，本节课内容的地位体现在它的基础性上。作用体现在它的工具性上。前面学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，虽然学生已经具备了一定的推理、运算能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养.

课程目标

1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．

2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．

3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．

数学学科素养

1.逻辑推理： 三角恒等式的证明；

2.数据分析：三角函数式的化简；

3.数学运算：三角函数式的求值.

重点：能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用；

难点：能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

前面已经学习过二倍角公式，那么如何用cos α表示sin2，cos2和tan2？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本225-226页，思考并完成以下问题

1.  半角公式是什么？

2.  辅助角公式是什么？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．半角公式

2．辅助角公式

asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(其中tan θ＝)．

四、典例分析、举一反三

题型一    化简求值问题

例1　设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　)

A．　　 B．

C．－ D．－

【答案】D

【解析】∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.

又cos＝a，∴sin＝－＝－.

解题技巧：（利用半角公式化简求值）

1．化简问题中的“三变”

(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．

(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．

(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．

2．利用半角公式求值的思路

(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．

(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．

(3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用

计算．

提醒：已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．

跟踪训练一

1．已知sin α＝－，π＜α＜，求sin ，cos ，tan 的值．

【答案】sin ＝，cos ＝－，tan ＝－2.

【解析】　∵π＜α＜，sin α＝－，

∴cos α＝－，且＜＜，

∴sin ＝＝，

cos ＝－＝－，

tan ＝＝－2.

题型二  三角恒等式的证明

例2 求证：＝sin 2α.

【答案】证明略.

【解析】证明：　法一：用正弦、余弦公式．

左边＝＝＝＝＝sincoscos α

＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，

∴原式成立．

法二：用正切公式．

左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，

∴原式成立．

解题技巧：(三角恒等式证明的常用方法)

(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；

(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；

(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；

(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；

(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．

跟踪训练二

1.求证：＝.

【答案】证明略.

【解析】　证明：　左边＝

＝＝

＝＝＝＝右边．

所以原等式成立.

题型三   三角恒等变换与三角函数图象性质的综合

例3已知函数f(x)＝coscos－sin xcos x＋.

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

【答案】 　(1)函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.

(2)函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

【解析】　(1)∵f(x)＝coscos－sin 2x＋

＝－sin 2x＋

＝cos2x－sin2x－sin 2x＋

＝－－sin 2x＋

＝(cos 2x－sin 2x)＝cos.

∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.

(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，

得kπ－π≤x≤kπ－，k∈Z.

函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

解题技巧：（应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤）

应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤

运用和、差、倍角公式化简

↓

统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式

↓

跟踪训练三

1．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x－＋1(x∈R)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间；

(3)若x∈，求f(x)的值域．

【答案】(1)最小正周期为T＝π.

(2)函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(3)值域为[0，3]..

【解析】f(x)＝sin 2x＋(2cos2x－1)＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1.

(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，

∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(3)∵x∈，

∴2x＋∈，

∴sin∈.

∴f(x)∈[0，3].

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本228页习题5.5.

本节课通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认知，关注每名学生的个体差异和不同的学习需求，爱护学生的好奇心，求知欲、创设和谐、融洽、欢快的人为氛围，让学生自主地学，在学习中展现个性、表现个性、培养个性、塑造个性.