高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 对数的概念教案设计

课程目标

学科素养

1、理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化；

2、了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算。

3、通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力。

a.数学抽象：对数的概念；

b.逻辑推理：指数式与对数式的转化；

c.数学运算：对数的运算；

d.直观想象：指数与对数的关系；

e.数学建模：在实际问题中建立对数概念；

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）、创设问题情境

问题提出：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过4年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？

上述问题实际上就是从2=1.11x ，3=1.11x ， 4=1.11x ，…

中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．

    对数的发明：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。

（二）、探索新知

1．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a的范围是________________.

2．常用对数与自然对数

3．对数的基本性质

(1)负数和零没有对数．(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．

思考：为什么零和负数没有对数？

[提示]　由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，

不存在N≤0的情况．

1．思考辨析

(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)

(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)

(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　)

A．log2M＝a　　　　　B．logaM＝2

C．log22＝M          D．log2a＝M

B　[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]

（三）典例解析

例1　将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式：

(1) 54＝625;   (2)2－7＝；    (3)  ( )m＝5.73

(4)log32＝－5；(5)lg 1 000＝3； (6)ln 10＝2.303

[解]　(1) 由54＝625，可得log5625＝4.

(2)由2－7＝，可得log2＝－7.

(3) 由( )m＝5.73 ，可得log 5.73＝m，

(4)由log 32＝－5，可得－5＝32.

(5)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.

(6)由ln 10＝2.303，可得e2.303＝10.

[规律方法]　指数式与对数式互化的方法

将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；

将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式；

1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)3－2＝；　(2)－2＝16；(3)log27＝－3;  (4)log64＝－6.

[解]　(1)log3＝－2；(2)log 16＝－2；

(3)－3＝27；(4)()－6＝64.

例2　求下列各式中的x的值：

(1)log64x＝－；    (2)logx 8＝6；

(3)lg 100＝x;      (4)－ln e2＝x.

[解]　(1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝.

(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23) ＝2＝.

(3)10x＝100＝102，于是x＝2.

(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，

所以x＝－2.

规律方法：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。

[探究问题]

1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？

提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.

2．如何解方程log4(log3x)＝0?

提示：借助对数的性质求解，由log4(log3x)＝log41，得log3x＝1，∴x＝3.

例3　设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于(　　)

A．10     B．13     C．100         D．±100

(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________.

思路探究：(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；

(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．

(1)B　(2)10　[(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.

(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]

开门见山，通过对上节问题的提问和引伸，提出新问题，从而引出对数的概念。培养和发展逻辑推理和数学运算的核心素养。

通过对对数概念的解析，理解对数与指数的关系，进而理解对数的概念，发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养；

通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉指数式与对数式的转化。深化对对数概念的理解。

通过问题探究进一步理解对数的概念，并推出对数的相关性质，发展学生数学运算和逻辑推理核心素养；

三、当堂达标

1．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(　　)

A．R　　　　　　B．(0，＋∞)   C．(－∞，1)    D．(1，＋∞)

【答案】D　[由m－1>0得m>1，故选D.]

2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)

A．100＝1与lg 1＝0     B．27＝与log27＝－

C．log39＝2与9＝3      D．log55＝1与51＝5

【答案】C　[C不正确，由log39＝2可得32＝9.]

3．若log2(logx9)＝1，则x＝________.

【答案】3　[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]

4． log33＋3log32＝________.

【答案】3　[log33＋3log32＝1＋2＝3.]

5．求下列各式中的x值：

(1)logx27＝；　　(2)log2 x＝－；

(3)x＝log27；  (4)x＝log16.

【答案】(1)由logx27＝，可得x＝27，

∴x＝27＝(33)＝32＝9.

(2)由log2x＝－，可得x＝2，∴x＝＝＝.

(3)由x＝log27，可得27x＝，∴33x＝3－2，∴x＝－.

(4)由x＝log16，可得x＝16，∴2－x＝24，∴x＝－4.

通过练习巩固本节所学知识，巩固对数的概念及其性质，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。

四、小结

1、对数的概念，指数式与对数式的转化；

2、对数的性质及运用；

五、作业

1. 课时练   2. 预习下节课内容

学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；