人教版新课标A必修4第三章 三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换导学案

第五章  三角函数

5.5.2  简单的三角恒等变换

1．能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．

2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．

重点：能用二倍角公式导出半角公式及进行简单的应用．

难点：能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．

1． 你能填写出下面我们学习了的公式吗？

                                    ；

                                    ；

                                   。

提出问题

学习了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ，从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更加丰富 ．

例７　试以表示 , ,

例８　求证：

（1）,

 (2)

    例８的证明用到了换元的方法．如把看作θ，看作，从而把包含的三角函数式转化为θ，的三角函数式．或者，把看作，cos看作，把等式看作， 的方程，则原问题转化为解方程（组）求．它们都体现了化归思想．

例９ 求下列函数的周期，最大值和最小值：

（１） ；　　　（２） ．

例10　如图5.5-2，已知OPQ是半径为１，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　)

A．　　　　　B．－        C．        D．－

2．已知cos α＝，α∈，则sin 等于(　　)

A．            B．－          C．        D．

3．已知sin α－cos α＝－，则sin 2α的值等于(　　)

A．           B．－         C．－              D．

4．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．

5．求证：4sin θcos2＝2sin θ＋sin 2θ.

6、如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？

1．知识：如何采用两角和或差的正余弦公式进行合角,借助三角函数的相关性质求值.其中三角函数最值问题是对三角函数的概念、图像和性质,以及诱导公式、同角三角函数基本关系、和(差)角公式的综合应用,也是函数思想的具体体现. 如何科学的把实际问题转化成数学问题,如何选择自变量建立数学关系式;求解三角函数在某一区间的最值问题．

2．思想：本节课通过由特殊到一般方式把关系式化成的形式，可以很好地培养学生探究、归纳、类比的能力. 通过探究如何选择自变量建立数学关系式，可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识，进一步培养学生的建模意识．[来源:学

参考答案：

一、    知识梳理

二、    学习过程

例７　解：是的二倍角．在倍角公式中，以代替，以代替，

得,

所以=,                        ①

在倍角公式-1中，以代替，以代替，

得-1,

所以=,                 ②

将①②两个等式的左右两边分别相除，得=

例８　证明：（１）因为

= +

=

将以上两式的左右两边分别相加，得

+= ①

即

（2）由（1）可得+=

设，

把，代入①，即得

例９ 分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是,利用和角公式将其展开，可化为） 的形式．反之，利用和（差）角公式，可将 转化为 的形式，进而就可以求得其周期和最值了．

解：（1）= 2（）①

=2（）=2

因此，所求周期为2，最大值为２，最小值为－２．

你能说说①这一步变形的理由吗？

（２）设 ,

则=

．

于是　

所以=25.

取A＝５，则, ．

由

可知，所求周期为2，最大值为5，最小值为－5

例10　分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分二步进行.

①找出S与之间的函数关系;

②由得出的函数关系,求S的最大值.

解：在中,,.

在中,,

所以,   ,

所以,   .

设矩形的面积为,则

.

对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围:

由  ,  得   .

所以当     , 即时,

因此,当时, 矩形的面积最大,最大面积为.

注：（1）在求解最大值时，要特别注意 “”这一隐含条件;

（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题.

三、达标检测

1．【解析】　由题意知∈，∴cos >0，cos ＝＝.

【答案】　C

2．【解析】　由题知∈，∴sin >0，sin ＝＝.

【答案】　A

3．【解析】　由sin α－cos α＝－，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，

所以sin 2α＝－.

【答案】　C

4．【解析】　∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，

∴函数的最小正周期T＝＝π.

【答案】　π

5．【证明】　法一：左边＝2sin θ·2cos2＝2sin θ(1＋cos θ)

＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ＋sin 2θ＝右边，

所以原式成立．

法二：右边＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(1＋cos θ)

＝2sin θ·2cos2 ＝4sin θcos2＝左边，

所以原式成立．

6、【精彩点拨】　→→

【解答】　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，

则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，

∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α

＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin＋R.

∵0<α<，∴<α＋<，

∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，

即当α＝时，△OAB的周长最大．