2020-2021学年第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式导学案

第二章　一元二次函数、方程和不等式

2.2 基本不等式（共2课时）

（第1课时）

1. 推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当两个数相等；

2. 通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式等号成立条件,

掌握运用基本不等式求最值；

1.从不同角度探索不等式的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；

2.基本不等式等号成立条件；

一、情境导学

（1）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

思考1：这图案中含有怎样的几何图形？

思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？

（2）探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a,b（a≠b）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为．

由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，

我们就得到了一个不等式：．

问题1.思考证明：你能给出它的证明吗？

二、新知探究

基本不等式：如果a>0,b>0,我们用、分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：基本不等式（a>0,b>0)（当且仅当a=b时，取等号）

（1）在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。

探究1.从不等式的性质推导基本不等式

如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。

分析法证明：证明不等式

探究2.理解基本不等式的几何意义

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．

你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

(1)AB表示什么?   (2)表示哪个线段？  (3)对应哪个线段呢？

（4）OD与CD的大小关系如何？

典例解析：

利用基本不等式求最值

例1.

基本不等式的使用条件

跟踪训练

1．下列不等式中，正确的是(　　)

A．a＋≥4　　　　　　B．a2＋b2≥4ab  C.≥           D．x2＋≥2

2．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)

A．2    B．a       C.      D．3

3．若a，b都是正数，则的最小值为(　　)

A．7       B．8     C．9    D．10

4．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．

我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；基本不等式；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).

参考答案：

问题1.证明：因为    

，， 当且仅当a=b时等号成立

探究1：证明：要证

只要证      只要证    只要证   显然，

是成立的．当且仅当a=b时，（3）中的等号成立．

探究2：易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.

这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，

其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”

例1（1）解析：

（2）解析：

例2.

（3）.解: ∵   ,

当且仅当 2x=(1-2x), 即时, 取“=”号. ∴当时,  函数 y=x(1-2x) 的最大值是.

跟踪训练 （1）

达标检测

1.解析：选D.a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．

2.解析：选D.a＞1，所以a－1＞0，

所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.　当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．

3.解析：选C.因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当b＝2a＞0时取等号．

4.解析：x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2＝10＋6＝16.

2.2基本不等式（第2课时）

1. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；

2. 围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心,发展数学抽象和数学建模的核心素养。

重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值；

难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件

一、小试牛刀

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．(　　)

(2)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.(　　)

(3)函数f(x)＝x2＋的最小值为2－1.(　　)

2．已知x＋y＝1且x>0，y>0，则＋的最小值是(　　)

A．2　　　  　B．3         C．4        D．6

二、新知探究

问题1.用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、  宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

结论1：             

问题2.用段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

结论2：             

（三）典例解析  

均值不等式在实际问题中的应用

例1、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800深为3 m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？

跟踪训练1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000 m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．

(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；

(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？

2.某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格为每件x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价应定为多少元？

【归纳总结】

利用基本不等式证明简单的不等式

例2 已知a,b都是正数,且a+b=1,

求证≥9.

跟踪训练3.已知：a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋c.

1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　)

A.10                  B．25              C．5           D．2

2．小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　)

A．a<v<                   B．v＝

C．<v<                D．v＝

3．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

4.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：

①仓库面积S的最大允许值是多少？

②为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

5.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证≥9.

1.利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值

2.利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：先建目标函数，再用基本不等式求函数的最值，从而得出实际问题的解。

参考答案：

一、小试牛刀

1.答案：（1） ×   （2）×   （3） √

2.解析：法一：＋＝＝≥＝4，

当且仅当x＝y＝时取等号，

法二：＋＝＋＝2＋＋≥4，当且仅当x＝y＝时取等号．

答案：C

二、探究新知

问题1.解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则

篱笆的长为2（）m

由  ，

可得  ，2（）

等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，

所用篱笆最短，最短篱笆为40m

问题2.解：设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，

矩形菜园的面积为，

由   

可得    ,

可得等号当且仅当            

因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81

三、典例解析

例1.解：设底面的长为 m,宽为 m, 水池总造价为 元，

根据题意，有 

由容积为4800可得  

由基本不等式与不等式性质，可得

即    ， 

可得等号当且仅当

所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低,最低造价为297600元

跟踪训练1 [解析]　(1)由已知xy＝3 000,2a＋6＝y，

则y＝(6<x<500)，

S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x－(6<x<500)．

(2)S＝3 030－6x－≤3 030－2＝3 030－2×300＝2 430．

当且仅当6x＝，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60，

Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2 430 m2．

跟踪训练2.解析：方法一：设当销售价格为每件x元时，获得的利润为y，由题意知，y＝(x－50)·

＝(x－50)·

＝.

∵x－50≥0，∴x－50＋≥20，

∴y≤＝2 500，

当且仅当x－50＝，即x＝60或x＝40(舍去)时，等号成立，ymax＝2 500.

方法二：由题意知，y＝(x－50)·，

令x－50＝t，x＝t＋50(t≥0)，

则y＝＝＝≤＝2 500，

当且仅当t＝，即t＝10时，等号成立，

此时x＝60，ymax＝2 500.

答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多，最多利润为2 500元．

例2.:结合条件a+b=1,将不等式左边进行适当变形,然后利用基本不等式进行证明即可.

证明:因为a>0,b>0,a+b=1,

所

同

5+≥5++4=9.

所

跟踪训练3.证明：由基本不等式：＋≥2 ＝2c，

同理：＋≥2a，＋≥2b.

三式相加即得：＋＋≥a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．

达标检测

1.[解析]　a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，∴选D．

2.[解析]　设从甲地到乙地的路程为s，则

v＝＝＝<＝．

∵a<b，∴v－a＝－a＝>0，∴v>a．

∴a<v<.故选A．

3.解析：本题考查基本不等式及其应用．

设总费用为y万元，则y＝×6＋4x＝4≥240.

当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立．

答案：30

4.解：①设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S＝xy，

依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，

由基本不等式得3 200≥2＋20xy

＝120＋20xy，＝120＋20S.

所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，

故≤10，从而S≤100，

所以S的最大允许值是100平方米，

②取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，

求得x＝15，即铁栅的长是15米．

5.证明:因为a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,

所a+b+c)

=≥3+2+2+2=9.

当且仅当a=b=c,等号成立.≥9.