人教版六年级下册数的运算学案

                第四章  指数函数与对数函数

                    4.3.2 对数的运算

1.理解对数的运算性质．(重点)

2. 能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)

3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)

重点：对数的运算性质

难点：对数的运算性质的探究是教学的难点，突破这个难点的关键是抓住指数式与对数式之间的联系，启发学生进行转化。

1．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a的范围是________________.

2.运算性质

3.换底公式

(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．

问题提出：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？

我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？

探究一：对数的运算性质

回顾指数幂的运算性质：

，，．

把指对数互化的式子具体化：

设，，

于是有．

根据对数的定义有：，，．

于是有对数的运算性质：

如果，且时，M>0，N>0，那么：

（1）            ；（积的对数等于两对数的和）

（2）               ；（商的对数等于两对数的差）

（3）               ；（）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）

1．思考辨析

(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　)

(2)loga(xy)＝logax·logay.(　　)

(3)log2(－3)2＝2log2(－3)．(　　)

例1．求下列各式的值

（1）log84＋log82；（2）log510－log52  （3）log2（47×25）

跟踪训练1 计算下列各式的值：

(1)lg －lg ＋lg ；

(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；

(3).

探究二：换底公式

问题1：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或为底的对数？

把问题一般化，能否把以为底转化为以为底？

探究：设，则，对此等式两边取以为底的对数，得到：

，根据对数的性质，有：，所以．

即．其中，且，，且．

公式          ；称为换底公式．

用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．

问题2：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 2 的值。

例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为

2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？

跟踪训练2求值：

(1)log23·log35·log516；  (2)(log32＋log92)(log43＋log83)．

1．计算：log153－log62＋log155－log63＝(　　)

A．－2　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．2

2．计算log92·log43＝(　　)

A．4        B．2          C.         D.

3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)

A.          B.      C．ab     D．a＋b

4． log816＝________.

5．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；

(2)log2＋log212－log242－1.

1.对数的运算法则。

2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。

3.对数运算法则的应用。

4.换底公式的证明及应用。

参考答案：

二、学习过程

思考辨析 1. [答案]　(1)√　(2)×　(3)×

例1.解：（1）log84＋log82＝log88＝1.

（2）log510－log52＝log55＝1

(3) log2（47×25）= log2219 =19

跟踪训练1[解]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)

＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5

＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

(3)原式＝＝＝＝.

例2.[解]

问题2：换底公式可得2=，

利用计算工具，可得=，

由此可得，大约经过7年，B地景区的

游客人次就达到2001年的2倍，类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，:…所需要的年数。

例3解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E1和E2

设里利用计算工具可得，

虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出的能量却是后者的约32倍。

跟踪训练2.[解]　(1)原式＝··＝＝＝4.

(2)原式＝

＝＝·＝..

三、达标检测

1.【答案】B　[原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.]

2.【答案】D　[log92·log43＝·＝.]

3.【答案】B　[∵10a＝2，∴lg 2＝a，

∴log26＝＝＝.]

4.【答案】　[log816＝log2324＝.]

5【答案】(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5

＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.

(2)原式＝log2＋log212－log2－log22

＝log2＝log2＝log22＝－.