2020-2021学年2.2 基本不等式学案及答案

【新教材】2.2 基本不等式

学案（人教A版）

1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。

2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。

3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。

重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；

难点：基本不等式的推导以及证明过程．

一、 预习导入

阅读课本44-45页，填写。

1.重要不等式

2.基本不等式

(1)基本不等式成立的条件:_____________.

(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.

注意：一正二定三等.

3.几个重要的不等式

(1)a2+b2≥______(a,b∈R).

(2)       ≥____(a,b同号).

(3)   (a,b∈R).

(4)               (a,b∈R).

4. 设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为___________,几何平均

 数为______，基本不等式可叙述为：_____________________.

1.已知x>0，求x+的最小值.

 2. 已知x，y都是正数，求证：

（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；

（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.

题型一    利用基本不等式求最值

例1 求下列各题的最值.

（1）已知x>0,y>0,xy=10,求          的最小值；

（2）x>0,求          的最小值；

（3）x<3，求             的最大值；

跟踪训练一

（1）已知x>0,y>0，且 求x+y 的最小值；

（2）已知x< 求函数 的最大值;

（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.

题型二   利用基本不等式解决实际问题

例2　（ １ ） 用篱笆围一个面积为１００的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？

（ ２ ） 用一段长为 ３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？

跟踪训练二

1. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.

（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？

（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.

1．已知，且，则最大值为                                （  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．函数的最小值为(   )

A．6 B．7 C．8 D．9

3．已知，则的最小值是（　　）

A． B． C．5 D．4

4．若函数在处取最小值，则等于（     ）

A．3 B． C． D．4

5．已知正数、满足，则的最大值为__________．

6．当时，的最大值为__________.

7．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

答案

小试牛刀

1．【答案】见解析

【解析】因为x>0，所以 ≥2

当且仅当x=，即=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.

2．【答案】见证明

【解析】证明：因为x，y都是正数，所以 ≥

（1）当积xy等于定值P时， ≥，

所以x+y ≥ 2，

当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2.

（2）当和x+y等于定值S时，，

所以  xy ，

当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，积xy有最大值.

自主探究

例1 【答案】见解析

【解析】（1）  由x>0,y>0,xy=10.

当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.

(2)∵x>0,

等号成立的条件是        即x=2,

∴f(x)的最小值是12.

(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,

当且仅当即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.

跟踪训练一

【答案】见解析

【解析】

例2　【答案】见解析

【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，篱笆的长度为m.

(1)由已知

由 ≥，可得

所以,

当且仅当=10时，上式等号成立.

(2)由已知得，矩形菜园的面积为

由 = = 9,可得81，

当且仅当=9时，上式等号成立.

跟踪训练二

1.【答案】见解析

【解析】（1）设的长为米，则米

由矩形的面积大于得：

又，得：，解得：或

即长的取值范围为：

（2）由（1）知：矩形花坛的面积为：

当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值

故的长为米时，矩形的面积最小，最小值为平方米

当堂检测 

1-4．DCAA

5．5

6.-3

7．【答案】（1） ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大

【解析】（1）由题意可知，当时， （万件），

所以，所以，所以，

每件产品的销售价格为 （万元），

所以年利润

所以，其中.

（2）因为时，，即

所以，当且仅当，即 （万元）时，  （万元）.

所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.