小学数学北师大版四年级下册方程学案及答案

                第五章  函数的应用（二）

               4.5.2 二分法求方程的近似解

1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．

2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．

3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．

重点：用“二分法”求方程的近似解

难点：方程近似解所在初始区间的确定，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

1．函数的零点:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point）

2、零点存在判定法则

提出问题 我们已经知道，函数在区间（２，３）

内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？

   一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．取区间（２，３）的中点2.5，用计算工具算得f（ 2.5 ）≈－0.084．因为f（ 2.5 ）f（３）＜０，所以零点在区间（ 2.5 ，３）内．　

    再取区间（ 2.5 ，３）的中点2.75 ，用计算工具算得f（ 2.75 ≈0.512．因为f（ 2.5 ）f（ 2.75 ）＜０，所以零点在区间（ 2.5 ， 2.75 ）内．

由于（２，３）（2.5，３） （2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小,这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．

概念解析：1．二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·_f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？

连续不断；f(a)·f(b)<0；一分为二；零点

[提示]　二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．

2．二分法求函数零点近似值的步骤

f(a)·f(b)<0；f(c)=0；b=c；(a，c)；f(c)·f(b)<0；(c，b)；|a－b|<ε 

1．思考辨析

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　)

(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　)

(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，

零点必定在右侧区间内．(　　)

2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)

A．|a－b|<0.1         B．|a－b|<0.001     C．|a－b|>0.001       D．|a－b|＝0.001

3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．

4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.

例1.借助信息技术，用二分法求方程+3x=７的近似解（精确度为0.1）．

口  诀：周而复始怎么办? 精确度上来判断.定区间，找中点，中值计算两边看.

同号去，异号算，零点落在异号间.

1．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是(　　)

A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到

B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点

C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点

D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解

2．通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是(　　)

A　　　　               　B 　　　　             C　　　　　            D

3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)

A．[－2,1]　　　　　　　 B．[－1,0]

C．[0,1]   D．[1,2]

4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间).

5．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：

由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)．

用二分法求解方程的近似解：

1、确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε

2、求区间(a,b)的中点x1

3、计算f(x1);   (f(a)>0,f(b)<0)

(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点

(2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1))

(3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))

4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得反复2～4

参考答案：

一、    知识梳理

二、学习过程

1．思考辨析 [答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．B　[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]

3． x3　[∵x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]

4．

例1.解：原方程即+3x=７，令+3x-７，用信息技术画出函数的图象并列出它的对应值表;

观察图或表，可知f（１）f（２）＜０，说明该函数在区间（１，２）内存在零点．取区间（１，２）的中点＝１．５，用信息技术算得f（1.5）≈0.33．因为f（１）f（1.5）＜０，所以∈（１，1.5）．　再取区间（１，1.5）的中点＝1.25，用信息技术算得f（1.25）≈－0.87．因为f（1.25）f（1.5）＜０，所以∈（1.25，1.5）．同理可得，∈（1.375，1.5），∈（ 1.375 ， 1.4375 ）．由于｜ 1.375 － 1.4375 ｜＝0.0625＜0.1，

所以，原方程的近似解可取为1.375 ．

三、达标检测

1． 【答案】D　[二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.]

2． 【答案】C　[在A中，函数无零点．在B和D中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C中的函数能用二分法求其零点．]

3．【答案】A　[∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]

4． 【答案】(2,3)　[因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．]

5． 【答案】因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．