北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念学案

                第四章  指数函数与对数函数

                   4. 2.1 指数函数的概念

1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点)

2.理解指数函数增长变化迅速的特点(难点)

重点：理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．

难点：理解指数函数增长变化迅速的特点；

指数函数的概念

一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___.

思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?

[提示]　规定a大于0且不等于1的理由：

(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．

(2)如果a<0，如y＝(－2)x，对于x＝，，…时在实数范围内函数值不存在．

(3)如果a＝1，y＝1x是一个常量，对它无研究价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.

（一）、提出问题

对于幂 ，我们已经把指数 的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数．

（二）、探索新知

问题１　随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量．

比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图

问题２　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

指数函数的概念

一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___.

思考：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?

1．思考辨析

(1)y＝x2是指数函数．(　　)

(2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　)

(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．(　　)

（三）典例解析

例1．已知指数函数设f(x)＝ax(a>0, 且a≠1),且f(3)=π

求f(0)，f(1)，f(-3)的值；

跟踪训练1：已知函数f(x)为指数函数，且，

则f(－2)＝________.

 [规律方法]　

1．在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点：

(1)底数是大于0且不等于1的常数；

(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；

(3)ax的系数必须为1.

2．求指数函数的解析式常用待定系数法

例２（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．

1．下列函数一定是指数函数的是(　　)

A．y＝2x＋1 B．y＝x3

C．y＝3·2x   D．y＝3－x

2.下列图象中，有可能表示指数函数的是（　　）．

3．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．

4．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.

1、指数函数概念

函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R .

参考答案：

二、学习过程

（一）问题探究

问题1：观察图象和表格，可以发现，Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次）；Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．

我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．

从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到

做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．

结果表明，Ｂ 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数

像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：

１年后，游客人次是２００１年的1.111倍；

２年后，游客人次是２００１年的1.112倍；

３年后，游客人次是２００１年的1.113倍；

……

x年后，游客人次是２００１年的1.11x倍．

如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么

y＝ 1.11x （x∈[０，＋∞））． ①

这是一个函数，其中指数x是自变量．

 问题2： 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么；死亡1年后，生物体内碳１４含量为（1-p)1；

死亡2年后，生物体内碳１４含量为（1-p)2 ；

死亡3年后，生物体内碳１４含量为（1-p)3 ；……

死亡5730年后，生物体内碳１４含量为（1-p)5730 ．

根据已知条件， （1-p)5730＝,从而1-p=,所以p=1-．

设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x ，

即, （x∈[０，＋∞））． 这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳１４含量每年都以1-减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减．

如果用字母a代替上述①②两式中的底数1.11和

，那么函数y＝ 1.11x  和

可以表示为的形式，

（二）探究新知

思考辨析[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

（三）典例解析

例1.分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值；

解：因为 f(x)＝ax ,且 f(3)=π,则 = π，解得 = ,

      于是f(x)＝，所以f(0)==1，f(1)==，f(-3)==

跟踪训练1 解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f ＝得a＝，

所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.

例2.解：（１）设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为f（x）和g（x），

则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x．

利用计算工具可得，

当x=0时，f（０）－g（０）＝412000．

当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）．

结合图可知：

当x＜10.22时，f（x）＞g（x），

当x＞10.22时，f（x）＜g（x）．

当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303．

这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x），

这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．

三、达标检测

1【答案】D　[由指数函数的定义可知D正确．]

2【答案】C　[由指数函数的增长速度及定义，可知C正确．]

3【答案】∪(1，＋∞)  [由题意可知解得a>，且a≠1，

所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]

4【答案】x　[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(2)＝a2＝2，

∴a＝(a＝－舍去)，∴f(x)＝x.]