数学必修 第一册2.2 全称量词与存在量词导学案

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【新教材】1.5 全称量词与存在量词学案（人教A版）1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.一、 预习导入阅读课本24-29页，填写。1.全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做_________,并用符号“∀”表示.(2)含有全称量词的命题,叫做_____________. (3)全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:_____________,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.(4)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个∈M,使得p()不成立即可.2.存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_____________,并用符号“∃”表示.(2)含有存在量词的命题,叫做_____________.(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:_____________,读作“存在M中的元素,使p()成立”.(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个,使得命题p()成立即可;否则这一命题就是假命题.3.全称命题与特称命题的否定命题类型全称量词命题存在量词命题形式∀x∈M,p(x)∃∈M,p()否定  结论全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题的否定是全称量词命题4.点拨：（1）常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.（2）常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有特称量词所表达的含义,就是存在量词命题.（3）写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.（4）全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反. 1.给出下列命题:①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.其中全称命题的个数为(　　)A.0      B.1     C.2     D.32.给出下列命题,①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x∈R,总有|sin x|≤1.其中特称命题的个数是 (　　) A.0     B.1     C.2     D.33.命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为(　　)A.存在一个三角形的内角和等于180°B.所有三角形的内角和都等于180°C.所有三角形的内角和都不等于180°D.很多三角形的内角和不等于180°4.命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是________.　 题型一    全称量词命题与存在量词命题的辨析例1  判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:(1)负数没有对数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;(3)∀x∈{x|x是无理数},是无理数;(4) 是无理数}，是无理数.解题技巧：（判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法）(1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题.(2)当命题中不含量词时,要注意根据命题的含义进行判断.(3)全称量词命题有时会省略全称量词,但存在量词命题的量词一般不能省略.跟踪训练一1.下列命题中,是全称量词命题的是_____,是存在量词命题的是_______.(填序号) ①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.题型二   全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2　 判断下列命题的真假1.所有的素数都是奇数；2.3.有一个实数   ，使4.平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。解题技巧：(全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧) (1)全称量词命题:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词 命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.(2)存在量词命题:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.跟踪训练二2．给出下列命题:①有一个实数x,使tan x无意义;②∀x∈R,3-x+1>2;③所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.其中真命题的个数是(　　)A.1 B.2   C.3     D.0题型三    全称量词命题与存在量词命题的否定例3 　写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)有些质数是奇数;(2)菱形的对角线互相垂直; (4)不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根.解题技巧：（含有一个量词的命题的否定方法）(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论.(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.跟踪训练三3．写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)p:∀x∈R,x2-x+≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为(　　)A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数3．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(－1,1) D．(－1,1]4．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．5．下列命题是真命题的有________．(1)∀x∈{1,3,5},5x＋2是奇数；(2)∃x∈R，x2－6x－5＝0；(3)∀x∈R，|x＋1|＞0.6．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)非负数的平方是正数．(2)有的四边形没有外接圆．7．若命题“∃x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，求a的取值范围？答案 小试牛刀1．C    2．B    3．B4.∃∈Z,4 -1不是奇数 自主探究例1 【答案】(1)和(3)为全称量词命题;(2)和(4)为存在量词命题.跟踪训练一【答案】①②③       　④例2　 【答案】真命题：2,4        假命题：1,3跟踪训练二【答案】 B     例3 　【答案】见解析【解析】(1)“有些质数是奇数”是存在量词命题,其否定为“所有质数都不是奇数”,它是假命题.（2）“菱形的对角线互相垂直”是全称量词命题,其否定为“有的菱形的对角线不垂直”,它是假命题.（3）是存在量词命题，其否定为，它是真命题。(4)“不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根”是全称量词命题,其否定为“存在实数m0,使得方程x2+2x-m0=0没有实数根”,它是真命题.跟踪训练三【答案】见解析【解析】(1) p:∃x∈R,x2-x+<0.∵∀x∈R,x2-x+≥0恒成立,∴p是假命题.(2) q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.(3) r:∀x∈R,x2+3x+7>0.∵∀x∈R,x2+3x+7=>0恒成立,∴r是真命题.(4) s:∀x∈R,x3+1≠0.∵当x=-1时,x3+1=0,∴s是假命题.当堂检测 1-3．CDA4．所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝05．(1)(2)6．(1)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数．”因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(2)命题的否定：“所有四边形都有外接圆．”因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题. 7．【答案】见解析【解析】“∃x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，则“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，当a＝0时，－2≤0.符合题意．当a≠0时，要满足∀x∈R，ax2－ax－2≤0，需有即解得－8≤a<0，综上，a的取值范围是[－8,0]．