人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件导学案

第一章　集合与常用逻辑用语

1.4充分条件与必要条件

1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；

2.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．

3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；

2.掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；

一、充分与必要条件的基本概念

1．充分条件与必要条件的概念

一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即         ,那么p叫做q的     条件, p叫做q 的       条件.   

2．一般地，如果既有，又有，就记作：         , 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的            条件，简称      条件。其中叫做等价符号。。

探究一、充分条件与必要条件的含义

1.思考:下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？

（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

（3）若                          

（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。

2、归纳新知

（1）充分条件、必要条件的含义

一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即      ,那么p叫做q的      条件, p叫做q 的       条件.    

P足以导致q,也就是说条件p充分了；q是p成立所必须具备的前提.

（2） 

3.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？

（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

（3）若                          

（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。

4、思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？

结论：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。

5、思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？

【结论】一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。

探究二、   充要条件的含义

1.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？

（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

（3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则。                                                

（4）若是空集，则A与B均是空集。

2.定义：一般地，如果既有，又有，就记作：        , 这时p既是q    条件，又是q的      条件，则p是q的       条件，简称       条件。其中叫做等价符号。。

例3  下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；

（2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；

（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;

(4) p:x=1是一元二次方程的一个根，q:。

3.探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？

例4  已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d。求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件。

点评：在处理充分和必要条件问题时，首先应分清条件和结论，然后才能进行推理和判断。

2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空：

（1）x＝y是x2＝y2的_____________ 条件；

（2）ab = 0是a = 0 的________________条件；

（3）x2>1是x<1的__________________条件；

（4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____条件。

3.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0。

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参考答案：

1.    充分   必要  

2.     充分必要     充要    

探究一   1. （1）真   (2)假   (3) 假  （4）真

3、（1）、（4）中，p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）、（3）中， p不是q的充分条件，q不是p的必要条件

【解析】（1）这是一条平行四边形的判定定理，，              所以p是q的充分条件；

(2)这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件；

（3）这是一条菱形的性质定理，,所以p是q的充分条件;

（4）由于, 所以p不是q的充分条件。

（5）由等式的性质知，，所以p是q的充分条件。

（6）为无理数，但为有理数，，所以p不是q的充分条件。

4、四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其充分条件。

例2、解：（1）这是一条平行四边形的性质定理，，所以q是p的必要条件；

（2）这是一条相似三角形的性质定理，，所以q是p的必要条件；

（3）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，所以q不是p的必要条件；

（4）显然， 所以q不是p的必要条件。

（5）由于 所以q不是p的必要条件；

（6）为无理数，但1，不全是无理数，，所以q不是p的必要条件。

5、四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其必要条件。

探究二   1、命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。

例3、解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以，所以p不是q的充要条件。

（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即，所以P是q的充要条件。

（3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以 ，所以p不是q的充要条件。

（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即，            

   所以P是q的充要条件。

3.四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行都是它的充要条件。

例4 解析见教材P22

达标检测

1.B   2、（1）充分不必要  （2）必要不充分  （3）既不充分也不必要  （4）充要

3.证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”．
∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即a+b+c=0．
（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”．
把x=1代入方程的左边，得a12+b1+c=a+b+c．
∵a+b+c=0，
∴x=1是方程的根．
综合（1）（2）知命题成立．