安徽省合肥市包河区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（word版 含答案）

安徽省合肥市包河区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若是最简二次根式，则的值可能是（    ）

A． B． C． D．

2．下列计算正确的是（     ）

A． B． C．（-）2=2 D．

3．用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（     ）

A．（x+2）2=9 B．（x-2）2=9 C．（x+1）2=6 D．（x-1）2=6

4．方程x（x﹣2）=x﹣2的根是（　　）

A．x=1 B．x1=2，x2=0 C．x1=1，x2=2 D．x=2

5．有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多(   )

A．12步 B．24步． C．36步 D．48步

6．病毒无情，人间有爱，某中学广大教师为防疫积极捐款献爱心，如图所示是该校50名教师的捐款情况统计，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（   ）

A．200元，100元 B．100元，200元 C．200元，150元 D．100元，150元

7．有下列的判断：

①△ABC中，如果a2＋b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形

②△ABC中，如果a2－b2＝c2，那么△ABC是直角三角形

③如果△ABC 是直角三角形，那么a2＋b2＝c2   

以下说法正确的是（      ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②

8．如图，在正方形 ABCD 中，BD=2，∠DCE 是正方形 ABCD 的外角，P 是∠DCE 的角平分线 CF 上任意一点，则△PBD 的面积等于 (      )

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书（周髀算经）中早有记载；如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（     ）

A．20 B．24 C．28 D．无法求出

10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD的中点，射线AE交BC的延长线于点F，P为BC上一点，当∠PAE=∠DAE时，PF的长为（     ）

A．4 B．5 C． D．

二、填空题

11．若有意义，则x 的取值范围是__________．

12．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规则，方程（x+1）*3=0的解为______．

13．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定7名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中李华已经知道自己的成绩，但能否进前四名，他还必须清楚这7名同学成绩的______________（填”平均数”“众数”或“中位数”）

14．如果一元二次方程没有实数根，则一次函数不经过第_________ 象限

15．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____

三、解答题

16．（1）计算：

（2）解方程：（x-2）（x-3）=6．

17．用无刻度的直尺按要求作图，请保留画图痕迹，不需要写作法．

（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．

（2）如图2，在8×6的正方形网格中，请用无刻度直尺画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点在格点上．

18．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0方程有两实根x1和x2．

(1)求实数k的取值范围；

(2)当x1和x2是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求k的值．

19．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

20．某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．

（1）求该商品平均每月的价格增长率；

（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元．

21．某校举行了“文明在我身边”摄影比赛，已知每幅参赛作品成绩记为x分（60≤x≤100）．校方从500幅参賽作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并绘制了如下不完整的统计图表．

“文明在我身边”摄影成绩统计表

根据以上信息解答下列问题：

（1）统计表中a=      ，b=     ；样本成绩的中位数落在分数段       中；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若80分以上（含80分）的作品将被组织展评，试估计全校被展评作品数量有多少？

22．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF

（1）求证：AE＝AF；

（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．

参考答案

1．B

【分析】

直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．

【详解】

解：∵是最简二次根式，
∴a≥0，且a为整数，中不含开的尽方的因数因式，
故选项中-2，，8都不合题意，
∴a的值可能是2．
故选：B．

【点睛】

此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．

2．C

【分析】

根据二次根式的运算法则，对选项逐个判断即可．

【详解】

解：A：和不是同类二次根式，因此不能运算，选项错误，不符合题意；

B：而不是，选项错误，不符合题意；

C：，选项正确，符合题意；

D：而不是，选项错误，不符合题意；

故选C．

【点睛】

此题考查了二次根式的有关计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键．

3．D

【分析】

把常数项- 5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数- 2的一半的平方．

【详解】

移项，得，

配方，得，

即（x-1）2=6

故选D

【点睛】

配方法解方程的一般步骤：( 1 )把常数项移到等号的右边；(2 )把二次项的系数化为1 ；(3 )等式两边同时加上-次项系数一半的平方； (4)方程左右两边同时开平方，得到两个一元一次方程 ； (5 )这两个一元一次方程的解即为原方程的解，掌握以上步骤是解题关键．

4．C

【详解】

原方程可化为：x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，

∴（x﹣1）（x﹣2）=0，

∴x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=1，x2=2．

故选C

5．A

【分析】

设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60-x）步，由矩形的面积=长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入x-（60-x）中，即可求出结论．

【详解】

设矩形田地的长为步，则宽为步，

根据题意得，，

整理得，，

解得或(舍去)，

所以．

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用以及矩形的面积，根据矩形的面积公式，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．

6．B

【分析】

根据众数和中位数的定义求解即可．

【详解】

解：根据统计图，捐款金额为100元的人数最多，所以众数为100元，

由于捐款金额为50元和100元的共有4+16=20人，捐200元的有15人，所以中位数为200元，

故选：B．

【点睛】

本题考查条形统计图、众数、中位数，能从统计图中获取有效信息是解答的关键．

7．D

【分析】

欲判断三角形是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【详解】

①c不一定是斜边，故错误；

②正确；

③若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则a2＋b2≠c2，故错误，

所以正确的只有②，

故选D.

【点睛】

本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.

8．A

【详解】

由于BD∥CF，以BD为底边，以BD边对应的高为边长计算三角形的面积即可．

解：△PBD的面积等于 ×2×1=1．故选A．

“点睛”考查了三角形面积公式以及代入数值求解的能力，注意平行线间三角形同底等高的情况．

9．B

【分析】

将图2阴影部分分割成正方形和长方形，根据直角三角形的三边关系即可求解．

【详解】

解：将图2阴影部分分割成正方形和长方形，如图，

根据勾股定理得：斜边长=10，

∴阴影部分面积为（10﹣8）×10+（10﹣8）×（8﹣6）=24，

故选：B．

【点睛】

本题考查勾股定理、正方形的面积公式、长方形的面积公式，会利用割补法解决问题是解答的关键．

10．D

【分析】

根据矩形的性质结合等角对等边，进而得出CF的长，再利用勾股定理得出AP的长．

【详解】

解：∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠F，

又∵∠PAE＝∠DAE，

∴∠PAE＝∠F，

∴PA＝PF，

在△ADE和△FCE中，，

∴△ADE≌△FCE（AAS）

∴CF＝AD＝4，

设CP＝x，PA＝PF＝x＋4，BP＝4−x，

在直角△ABP中，

22＋（4−x）2＝（x＋4）2，

解得：x＝，

∴AP的长为：．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出FC的长是解题关键．

11．x≥８

【详解】

略

12．x1=2，x2=-4

【分析】

根据新运算规则，将转化为一元二次方程，再根据开平方法求解即可．

【详解】

解：根据新运算规则，可化为

∴

∴或

∴，

故答案为，

【点睛】

此题考查了开平方法求解一元二次方程，涉及到了新运算规则，理解新运算规则并掌握开平方法求解一元二次方程是解题的关键．

13．中位数

【分析】

七名选手的成绩，如果知道中位数是多少，与自己的成绩相比较，就能知道自己是否能进入前四名，因为中位数是七个数据中的第四个数，

【详解】

解：因为七个数据从小到大排列后的第四个数是这七个数的中位数，知道中位数，然后与自己的成绩比较，就知道能否进入前四，即能否参加决赛．

故答案为中位数．

【点睛】

考查中位数、众数、平均数反映一组数据的特征，中位数反映之间位置的数，说明比它大的占一半，比它小的占一半；众数是出现次数最多的数，平均数反映一组数据的平均水平和集中趋势，理解意义是正确判断的前提．

14．四

【详解】

∵关于x的一元二次方程没有实数根，

∴△=b2−4ac<0，

即：4-4k<0，

解得：k>1，

∴一次函数的图象不经过第四象限，

故答案为四．

点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：△>0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△<0，方程没有实数根.也考查了一次函数图象与系数的关系.

15．3或．

【分析】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．

【详解】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．

16．（1）；（2）x1=0，x2=5

【分析】

（1）根据二次根式的混合运算法则和二次根式的性质化简计算即可；

（2）先变形方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可．

【详解】

解：（1）

=

=；

（2）原方程可化为： x2﹣5x=0，

∴x（x﹣5）=0，

解得：x1=0，x2=5．

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算、整式的乘法、解一元二次方程，熟练掌握运算法则和相关计算是解答的关键．

17．（1）详见解析；（2）详见解析

【分析】

（1）连接AB，EF，交点设为P，射线AP即为所求；

（2）根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式可得，平行四边形的BC的对边到BC的距离等于A到BC的距离的一半，然后根据平行四边形的对边相等解答．

【详解】

解：（1）连接AB，EF，交点设为P，射线AP即为所求；

（2）如图所示，平行四边形MBCN即为所求．

【点睛】

本题考查了矩形的性质和平行四边形的判定，熟练掌握性质定理和网格特点是解题关键．

18．（1）；（2）

【详解】

试题分析：（1）求出△的值，根据已知得出不等式，求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=3，x1•x2=k，根据已知得出x12+x22=（）2，变形后代入求出即可．

试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个实根x1和x2，
∴△=（-3）2-4k≥0，
解得：k≤，
即实数k的取值范围为k≤；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=3，x1•x2=k，
∵x1和x2是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，
∴x12+x22=（）2，
（x1+x2）2-2x1•x2=5，
∴9-2k=5，
解得：k=2．

19．（1）见详解；（2）四边形ADCF是矩形；证明见详解．

【分析】

（1）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论；

（2）若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．

【详解】

（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS）．
∴AF=BD．
∵AF=DC，
∴BD=DC．
即：D是BC的中点．
（2）解：四边形ADCF是矩形；
证明：∵AF=DC，AF∥DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF是矩形．

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．

20．（1）20%;（2）60元

【分析】

（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【详解】

解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，

依题意，得：50（1+m）2＝72，

解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该商品平均每月的价格增长率为20%．

（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，

整理，得：x2﹣300x+14400＝0，

解得：x1＝60，x2＝240（不合题意，舍去）．

答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

21．（1）12，3；70≤x＜80；（2）补全频数分布直方图见解析；（3）估计全校被展评作品数量有150副．

【分析】

（1）根据60≤x＜70的频数和频率可以求得选取的作品数量，再根据频率求得a，b；再根据中位数的求法，求得中位数落在分数段；

（2）根据（1）所求的结果表示在频数分布直方图即可；

（3）求出80分以上（含80分）的作品的频率，从而求得500幅参賽作品中，被展评作品的数量．

【详解】

解：（1）根据60≤x＜70的频数和频率求得选取的作品数量为

则80≤x＜90的频数为

90≤x≤100的频数为

选取的作品数量为50，∵

故样本成绩的中位数落在分数段70≤x＜80中；

（2）如下图：

（3）根据统计数据求得80分以上（含80分）的作品的频率为

全校共有500幅参賽作品，

∴全校被展评作品数量有

答：估计全校被展评作品数量有150副．

【点睛】

此题考查了数据的统计分析，涉及到了中位数、频率、频数、由样本估计总体、频数分布直方图等，熟练掌握统计量的求法以及意义是解题的关键．

22．（1）证明见解析；（2），，理由见解析．

【分析】

（1）根据正方形的性质证明，即可得到结果；

（2），，过点作交于点，根据等腰直角三角形的性质证明，即可得到结果；

【详解】

（1）证明：∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴；

（2），，理由如下：

由（1）知，

∴，

∴，

即，

∴是等腰直角三角形，

过点作交于点，

∴，，

∵四边形是正方形，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

又∵是等腰直角三角形，

∴，．

【点睛】

本题主要考查了正方形的综合应用，结合三角形全等进行计算是解题的关键．