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-福建省莆田市2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份-福建省莆田市2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了已知x＜1，则化简的结果是，若y＝等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省莆田市八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
2．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞1
3．下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知x＜1，则化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB，E为垂足，交BC于点D，BD＝，则AC的长为（ ）
A． B．8 C．16 D．
6．某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如图所示：根据图判断正确的是（ ）
A．甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分
B．甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数
C．甲成绩的众数高于乙成绩的众数
D．甲成绩的方差低于乙成绩的方差
7．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（ ）
A．6 B．8 C．14 D．28
8．若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2
9．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝3，PF＝9，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．54
10．两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共5小题，满分共24分）
11．在Rt△ABC中，斜边AB＝4，则AB2+AC2+BC2＝ ．
12．如果一组数据﹣3，x，0，1，x，6，9，5的平均数为5，则x＝ ．
13．若成立，则x满足 ．
14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是 ．
15．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF，若AD＝4cm，则CF的长为 cm．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
16．（2﹣）2017×（2+）2016﹣2﹣（﹣）0．
17．已知：每个小方格是边长为1的正方形，求△ABC的周长和面积．
18．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
（1）写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式并画出图象；
（2）6小时后池中还有多少水？
（3）几小时后，池中还有200立方米的水？
19．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．
20．炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
男生15名学生测试成绩统计如下：
68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80
女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
组别
频数
65.5～70.5
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
男生
2
2
4
5
1
1
女生
1
1
5
6
2
0
【分析数据】
（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
男生
80
x
80
45.9
女生
80
82
y
24.3
在表中：x＝ ．y＝ ；
（2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有 人；
（3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由．
21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）
22．观察下列各式：
＝1+＝1+（1），
＝1+＝1+（），
＝1+＝1+（），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+．
23．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：BE＝CD，BE⊥CD．
24．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
2020-2021学年福建省莆田市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、22+32＝13≠42，故A选项构成不是直角三角形；
B、32+42＝25≠62，故B选项构成不是直角三角形；
C、52+122＝169＝132，故C选项构成是直角三角形；
D、42+62＝52≠72，故D选项构成不是直角三角形．
故选：C．
2．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞1
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．
【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥﹣1．
故选：C．
3．下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C不满足条件．
故选：C．
4．已知x＜1，则化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x
【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．
【解答】解：
＝
＝|x﹣1|
∵x＜1，
∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，
故选：D．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB，E为垂足，交BC于点D，BD＝，则AC的长为（ ）
A． B．8 C．16 D．
【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得：AD＝BD＝16，∠B＝∠BAD＝22.5°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°，在Rt△ACD中，由“勾股定理”可求出AC的长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝16，∠B＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°，
在Rt△ACD中，
2AC2＝AD2，AC＝16．
故选：C．
6．某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如图所示：根据图判断正确的是（ ）
A．甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分
B．甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数
C．甲成绩的众数高于乙成绩的众数
D．甲成绩的方差低于乙成绩的方差
【分析】通过计算甲、乙的平均数可对A进行判断；利用中位数的定义对B进行判断；利用众数的定义对C进行判断；根据方差公式计算出甲、乙的方差，则可对D进行判断．
【解答】解：A、甲的平均数＝（7+8+8+9+8）＝8（分），乙的平均数＝（10+7+9+4+10）＝8（分），所以A选项错误；
B、甲的中位数为8（分），乙的中位数为9（分），所以B选项错误；
C、甲的众数为8（分），乙的众数为10，所以C选项错误；
D、甲的方差＝[（7﹣8）2+3（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝；乙的方差＝[2（10﹣8）2+（7﹣8）2+（4﹣8）2+（9﹣8）2]＝，所以D选项正确．
故选：D．
7．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（ ）
A．6 B．8 C．14 D．28
【分析】首先根据题意求出AD的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出AO•BO的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AD＝AB＝6，
∵AC+BD＝16，
∴AO+BO＝8，
∴AO2+BO2+2AO•BO＝64，
∵AO2+BO2＝AB2，
∴AO•BO＝14，
∴菱形的面积＝4×三角形AOD的面积＝4××14＝28，
故选：D．
8．若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2
【分析】由一次函数的定义得关于m的方程，解出方程即可．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，
∴2﹣|m|＝1，m﹣1≠0．
解得：m＝﹣1．
故选：B．
9．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝3，PF＝9，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．54
【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×3×9＝13.5，
∴S阴＝13.5+13.5＝27，
故选：C．
10．两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用一次函数的图象性质依次判断可求解．
【解答】解：A：直线y1过第一、二、三象限，则a＞0，b＜0，直线y2过第一、二、四象限，则b＜0，a＜0，前后矛盾，故A选项错误；
B：直线y1过第一、二、三象限，则a＞0，b＜0，直线y2过第二、三、四象限，则b＜0，a＞0，故B选项正确；
C：直线y1过第一、三、四象限，则a＞0，b＞0，直线y2过第一、二、四象限，则b＜0，a＜0，前后矛盾，故C选项错误；
D：直线y1过第一、三、四象限，则a＞0，b＞0，直线y2过第二、三、四象限，则b＜0，a＞0，前后矛盾，故D选项错误；
故选：B．
二、填空题（本题共5小题，满分共24分）
11．在Rt△ABC中，斜边AB＝4，则AB2+AC2+BC2＝ 32 ．
【分析】根据勾股定理即可求得该代数式的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB＝4，
∴AB2＝BC2+AC2＝16，AB2＝16，
∴AB2+BC2+AC2＝32．
故答案为：32．
12．如果一组数据﹣3，x，0，1，x，6，9，5的平均数为5，则x＝ 11 ．
【分析】根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．
【解答】解：由平均数的计算公式得：（﹣3+x+0+1+x+6+9+5）＝5
解得：x＝11，
故答案为：11．
13．若成立，则x满足 2≤x＜3 ．
【分析】根据二次根式有意义及分式有意义的条件，即可得出x的取值范围．
【解答】解：∵成立，
∴，
解得：2≤x＜3．
故答案为：2≤x＜3．
14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是 y＝x﹣1或y＝﹣x+1 ．
【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，b＝﹣2k，
∴y＝kx﹣2k，
令x＝0，则y＝﹣2k，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，
∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，
解得：k＝±，
则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
15．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF，若AD＝4cm，则CF的长为 （6﹣） cm．
【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．
【解答】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．
根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，
所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，
解得x＝﹣2．
则FC＝4﹣x＝6﹣．
故答案为：（6﹣）．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
16．（2﹣）2017×（2+）2016﹣2﹣（﹣）0．
【分析】先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝[（2﹣）（2+）]2016×（2﹣）﹣2×﹣1
＝（4﹣3）2016×（2﹣）﹣﹣1
＝2﹣﹣﹣1
＝1﹣2．
17．已知：每个小方格是边长为1的正方形，求△ABC的周长和面积．
【分析】利用正方形的小格分别求得△ABC的三边的长，进而求得其周长；利用△ABC的面积＝矩形的面积﹣3个小直角三角形的面积求其面积大小即可．
【解答】解：∵AB＝＝2，BC＝＝5，AC＝＝．
∴△ABC的周长＝+5+2．
S△ABC＝5×6﹣﹣﹣＝13．
18．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
（1）写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式并画出图象；
（2）6小时后池中还有多少水？
（3）几小时后，池中还有200立方米的水？
【分析】（1）根据函数的概念和所给的已知条件即可列出关系式，Q＝800﹣50t，结合实际即可得出时间t的取值范围，再画出图象即可；
（2）根据（1）中的函数关系式，将t＝6代入即可得出池中的水；
（3）把Q＝200，代入函数关系式中即可得出时间t．
【解答】解：（1）由题意得：Q＝800﹣50t（0≤t≤16）．
（2）当t＝6时，Q＝800﹣50t＝800﹣50×6＝500（立方米），
答：6小时后，池中还剩500立方米的水．
（3）当Q＝200时，800﹣50t＝200，解得t＝12．
答：12小时后，池中还有200立方米的水．
19．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，证出∠BAE＝∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出得出AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME＝FN，即可证出四边形MENF是平行四边形．
【解答】（1）证明；∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF，
∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，，
∴△BAE≌△DCF（ASA），
∴BE＝DF；
（2）证明：∵△BAE≌△DCF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
∵点M、N分别为AE、CF的中点，
∴ME∥FN，ME＝FN，
∴四边形FMEN是平行四边形．
20．炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
男生15名学生测试成绩统计如下：
68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80
女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
组别
频数
65.5～70.5
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
男生
2
2
4
5
1
1
女生
1
1
5
6
2
0
【分析数据】
（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
男生
80
x
80
45.9
女生
80
82
y
24.3
在表中：x＝ 85 ．y＝ 81 ；
（2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有 1200 人；
（3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）用总人数乘样本中合格人数所占比例可得；
（3）根据中位数与方差的意义说明即可．
【解答】解：（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，
众数是x＝85，
67，73，76，78，80，80，80，81，82，82，82，82，83，86，88，
中位数是y＝81．
故答案为：85，81；
（2）2400×＝1200（人）．
即估计全校学生中消防安全知识合格的学生有1200人．
故答案为：1200；
（3）女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，
∵平均数相等，男生的中位数＜女生的中位数，男生的方差＞女生的方差，
∴女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好．
21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）
【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；
根据勾股定理可得：
（m）
∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
22．观察下列各式：
＝1+＝1+（1），
＝1+＝1+（），
＝1+＝1+（），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+．
【分析】将各项按照规律写出来，小括号外共有2018个1，所有的小括号内抵消，剩下第一项1和最后一项﹣，即可得出答案．
【解答】解：原式＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+...+1+﹣
＝2018+1﹣
＝2018．
23．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：BE＝CD，BE⊥CD．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD＝2BC，因为G为BD的中点，可得BG＝BC，由∠CGB＝45°，∠ADB＝45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB＝180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；
（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE＝CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE＝∠ACD，由∠ACB＝90°，易得∠CFB＝90°，得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AB＝BC，
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，
∴BD＝＝BC＝2BC，
∵G为BD的中点，
∴BG＝BD＝BC，
∴△CBG为等腰直角三角形，
∴∠CGB＝45°，
∵∠ADB＝45°，
AD∥CG，
∵∠ABD＝45°，∠ABC＝45°
∴∠CBD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBD+∠ACB＝180°，
∴AC∥BD，
∴四边形ACGD为平行四边形；
（2）证明：∵∠EAB＝∠EAC+∠CAB＝90°+45°＝135°，
∠CAD＝∠DAB+∠BAC＝90°+45°＝135°，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△DAC与△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE＝CD；
∵∠EAC＝∠BCA＝90°，EA＝AC＝BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴CE＝AB＝AD，
在△BCE与△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD，
∴∠CBE＝∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CBE+∠BCD＝90°，
∴∠CFB＝90°，
即BE⊥CD．
24．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
【分析】（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解；
（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；
②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，
故点C是点A、B的融合点；
（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），
则t＝3x﹣3，
则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；
②当∠DHT＝90°时，如图1所示，
点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），
由点T是点D，E的融合点得：
t＝，2t﹣1＝，
解得：t＝，即点E（，6）；
当∠TDH＝90°时，如图2所示，
则点T（3，5），
由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；
当∠HTD＝90°时，如图3所示，
过点T作x轴的平行线交过点D与y轴平行的直线于点M，交过点E与y轴的平行线于点N，
则∠MDT＝∠NTE，则tan∠MDT＝tan∠NTE，
D（3，0），点E（t，2t+3），则点T（，）
则MT＝3﹣＝，MD＝，
NE＝﹣2t﹣3＝，NT＝﹣t＝，
由tan∠MDT＝tan∠NTE得：＝﹣，
解得：方程无解，故∠HTD不可能为90°．
故点E（，6）或（6，15）．
2020-2021学年福建省莆田市八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
2．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞1
3．下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知x＜1，则化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB，E为垂足，交BC于点D，BD＝，则AC的长为（ ）
A． B．8 C．16 D．
6．某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如图所示：根据图判断正确的是（ ）
A．甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分
B．甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数
C．甲成绩的众数高于乙成绩的众数
D．甲成绩的方差低于乙成绩的方差
7．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（ ）
A．6 B．8 C．14 D．28
8．若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2
9．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝3，PF＝9，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．54
10．两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共5小题，满分共24分）
11．在Rt△ABC中，斜边AB＝4，则AB2+AC2+BC2＝ ．
12．如果一组数据﹣3，x，0，1，x，6，9，5的平均数为5，则x＝ ．
13．若成立，则x满足 ．
14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是 ．
15．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF，若AD＝4cm，则CF的长为 cm．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
16．（2﹣）2017×（2+）2016﹣2﹣（﹣）0．
17．已知：每个小方格是边长为1的正方形，求△ABC的周长和面积．
18．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
（1）写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式并画出图象；
（2）6小时后池中还有多少水？
（3）几小时后，池中还有200立方米的水？
19．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．
20．炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
男生15名学生测试成绩统计如下：
68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80
女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
组别
频数
65.5～70.5
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
男生
2
2
4
5
1
1
女生
1
1
5
6
2
0
【分析数据】
（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
男生
80
x
80
45.9
女生
80
82
y
24.3
在表中：x＝ ．y＝ ；
（2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有 人；
（3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由．
21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）
22．观察下列各式：
＝1+＝1+（1），
＝1+＝1+（），
＝1+＝1+（），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+．
23．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：BE＝CD，BE⊥CD．
24．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
2020-2021学年福建省莆田市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、22+32＝13≠42，故A选项构成不是直角三角形；
B、32+42＝25≠62，故B选项构成不是直角三角形；
C、52+122＝169＝132，故C选项构成是直角三角形；
D、42+62＝52≠72，故D选项构成不是直角三角形．
故选：C．
2．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞1
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．
【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥﹣1．
故选：C．
3．下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C不满足条件．
故选：C．
4．已知x＜1，则化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x
【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．
【解答】解：
＝
＝|x﹣1|
∵x＜1，
∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，
故选：D．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB，E为垂足，交BC于点D，BD＝，则AC的长为（ ）
A． B．8 C．16 D．
【分析】根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得：AD＝BD＝16，∠B＝∠BAD＝22.5°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°，在Rt△ACD中，由“勾股定理”可求出AC的长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝16，∠B＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°，
在Rt△ACD中，
2AC2＝AD2，AC＝16．
故选：C．
6．某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单手运球”项目进行了5次测试，测试成绩（单位：分）如图所示：根据图判断正确的是（ ）
A．甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分
B．甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数
C．甲成绩的众数高于乙成绩的众数
D．甲成绩的方差低于乙成绩的方差
【分析】通过计算甲、乙的平均数可对A进行判断；利用中位数的定义对B进行判断；利用众数的定义对C进行判断；根据方差公式计算出甲、乙的方差，则可对D进行判断．
【解答】解：A、甲的平均数＝（7+8+8+9+8）＝8（分），乙的平均数＝（10+7+9+4+10）＝8（分），所以A选项错误；
B、甲的中位数为8（分），乙的中位数为9（分），所以B选项错误；
C、甲的众数为8（分），乙的众数为10，所以C选项错误；
D、甲的方差＝[（7﹣8）2+3（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝；乙的方差＝[2（10﹣8）2+（7﹣8）2+（4﹣8）2+（9﹣8）2]＝，所以D选项正确．
故选：D．
7．如图，已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝16，则该菱形的面积等于（ ）
A．6 B．8 C．14 D．28
【分析】首先根据题意求出AD的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出AO•BO的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AD＝AB＝6，
∵AC+BD＝16，
∴AO+BO＝8，
∴AO2+BO2+2AO•BO＝64，
∵AO2+BO2＝AB2，
∴AO•BO＝14，
∴菱形的面积＝4×三角形AOD的面积＝4××14＝28，
故选：D．
8．若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2
【分析】由一次函数的定义得关于m的方程，解出方程即可．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，
∴2﹣|m|＝1，m﹣1≠0．
解得：m＝﹣1．
故选：B．
9．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝3，PF＝9，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．54
【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×3×9＝13.5，
∴S阴＝13.5+13.5＝27，
故选：C．
10．两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用一次函数的图象性质依次判断可求解．
【解答】解：A：直线y1过第一、二、三象限，则a＞0，b＜0，直线y2过第一、二、四象限，则b＜0，a＜0，前后矛盾，故A选项错误；
B：直线y1过第一、二、三象限，则a＞0，b＜0，直线y2过第二、三、四象限，则b＜0，a＞0，故B选项正确；
C：直线y1过第一、三、四象限，则a＞0，b＞0，直线y2过第一、二、四象限，则b＜0，a＜0，前后矛盾，故C选项错误；
D：直线y1过第一、三、四象限，则a＞0，b＞0，直线y2过第二、三、四象限，则b＜0，a＞0，前后矛盾，故D选项错误；
故选：B．
二、填空题（本题共5小题，满分共24分）
11．在Rt△ABC中，斜边AB＝4，则AB2+AC2+BC2＝ 32 ．
【分析】根据勾股定理即可求得该代数式的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边AB＝4，
∴AB2＝BC2+AC2＝16，AB2＝16，
∴AB2+BC2+AC2＝32．
故答案为：32．
12．如果一组数据﹣3，x，0，1，x，6，9，5的平均数为5，则x＝ 11 ．
【分析】根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．
【解答】解：由平均数的计算公式得：（﹣3+x+0+1+x+6+9+5）＝5
解得：x＝11，
故答案为：11．
13．若成立，则x满足 2≤x＜3 ．
【分析】根据二次根式有意义及分式有意义的条件，即可得出x的取值范围．
【解答】解：∵成立，
∴，
解得：2≤x＜3．
故答案为：2≤x＜3．
14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是 y＝x﹣1或y＝﹣x+1 ．
【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，b＝﹣2k，
∴y＝kx﹣2k，
令x＝0，则y＝﹣2k，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，
∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，
解得：k＝±，
则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
15．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF，若AD＝4cm，则CF的长为 （6﹣） cm．
【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可．
【解答】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．
根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝﹣4．
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣4）2+x2，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，
所以（﹣4）2+x2＝（4﹣x）2+22，
解得x＝﹣2．
则FC＝4﹣x＝6﹣．
故答案为：（6﹣）．
三、解答题（本题共9小题，共86分）
16．（2﹣）2017×（2+）2016﹣2﹣（﹣）0．
【分析】先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝[（2﹣）（2+）]2016×（2﹣）﹣2×﹣1
＝（4﹣3）2016×（2﹣）﹣﹣1
＝2﹣﹣﹣1
＝1﹣2．
17．已知：每个小方格是边长为1的正方形，求△ABC的周长和面积．
【分析】利用正方形的小格分别求得△ABC的三边的长，进而求得其周长；利用△ABC的面积＝矩形的面积﹣3个小直角三角形的面积求其面积大小即可．
【解答】解：∵AB＝＝2，BC＝＝5，AC＝＝．
∴△ABC的周长＝+5+2．
S△ABC＝5×6﹣﹣﹣＝13．
18．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
（1）写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式并画出图象；
（2）6小时后池中还有多少水？
（3）几小时后，池中还有200立方米的水？
【分析】（1）根据函数的概念和所给的已知条件即可列出关系式，Q＝800﹣50t，结合实际即可得出时间t的取值范围，再画出图象即可；
（2）根据（1）中的函数关系式，将t＝6代入即可得出池中的水；
（3）把Q＝200，代入函数关系式中即可得出时间t．
【解答】解：（1）由题意得：Q＝800﹣50t（0≤t≤16）．
（2）当t＝6时，Q＝800﹣50t＝800﹣50×6＝500（立方米），
答：6小时后，池中还剩500立方米的水．
（3）当Q＝200时，800﹣50t＝200，解得t＝12．
答：12小时后，池中还有200立方米的水．
19．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，证出∠BAE＝∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出得出AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME＝FN，即可证出四边形MENF是平行四边形．
【解答】（1）证明；∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF，
∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，，
∴△BAE≌△DCF（ASA），
∴BE＝DF；
（2）证明：∵△BAE≌△DCF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
∵点M、N分别为AE、CF的中点，
∴ME∥FN，ME＝FN，
∴四边形FMEN是平行四边形．
20．炎热的夏天来临之际．为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整．
【收集数据】
男生15名学生测试成绩统计如下：
68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，76，85，69，78，80
女生15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
82，88，83，76，73，78，67，81，82，80，80，86，82，80，82
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
组别
频数
65.5～70.5
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
男生
2
2
4
5
1
1
女生
1
1
5
6
2
0
【分析数据】
（1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
男生
80
x
80
45.9
女生
80
82
y
24.3
在表中：x＝ 85 ．y＝ 81 ；
（2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中消防安全知识合格的学生有 1200 人；
（3）通过数据分析得到的结论是女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，请从两个方面说明理由．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）用总人数乘样本中合格人数所占比例可得；
（3）根据中位数与方差的意义说明即可．
【解答】解：（1）68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80，
众数是x＝85，
67，73，76，78，80，80，80，81，82，82，82，82，83，86，88，
中位数是y＝81．
故答案为：85，81；
（2）2400×＝1200（人）．
即估计全校学生中消防安全知识合格的学生有1200人．
故答案为：1200；
（3）女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好，
∵平均数相等，男生的中位数＜女生的中位数，男生的方差＞女生的方差，
∴女生掌握消防安全相关知识的整体水平比男生好．
21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）
【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；
根据勾股定理可得：
（m）
∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
22．观察下列各式：
＝1+＝1+（1），
＝1+＝1+（），
＝1+＝1+（），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+．
【分析】将各项按照规律写出来，小括号外共有2018个1，所有的小括号内抵消，剩下第一项1和最后一项﹣，即可得出答案．
【解答】解：原式＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+...+1+﹣
＝2018+1﹣
＝2018．
23．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：BE＝CD，BE⊥CD．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD＝2BC，因为G为BD的中点，可得BG＝BC，由∠CGB＝45°，∠ADB＝45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB＝180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；
（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE＝CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE＝∠ACD，由∠ACB＝90°，易得∠CFB＝90°，得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AB＝BC，
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，
∴BD＝＝BC＝2BC，
∵G为BD的中点，
∴BG＝BD＝BC，
∴△CBG为等腰直角三角形，
∴∠CGB＝45°，
∵∠ADB＝45°，
AD∥CG，
∵∠ABD＝45°，∠ABC＝45°
∴∠CBD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBD+∠ACB＝180°，
∴AC∥BD，
∴四边形ACGD为平行四边形；
（2）证明：∵∠EAB＝∠EAC+∠CAB＝90°+45°＝135°，
∠CAD＝∠DAB+∠BAC＝90°+45°＝135°，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△DAC与△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE＝CD；
∵∠EAC＝∠BCA＝90°，EA＝AC＝BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴CE＝AB＝AD，
在△BCE与△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD，
∴∠CBE＝∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CBE+∠BCD＝90°，
∴∠CFB＝90°，
即BE⊥CD．
24．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
【分析】（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解；
（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；
②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，
故点C是点A、B的融合点；
（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），
则t＝3x﹣3，
则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；
②当∠DHT＝90°时，如图1所示，
点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），
由点T是点D，E的融合点得：
t＝，2t﹣1＝，
解得：t＝，即点E（，6）；
当∠TDH＝90°时，如图2所示，
则点T（3，5），
由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；
当∠HTD＝90°时，如图3所示，
过点T作x轴的平行线交过点D与y轴平行的直线于点M，交过点E与y轴的平行线于点N，
则∠MDT＝∠NTE，则tan∠MDT＝tan∠NTE，
D（3，0），点E（t，2t+3），则点T（，）
则MT＝3﹣＝，MD＝，
NE＝﹣2t﹣3＝，NT＝﹣t＝，
由tan∠MDT＝tan∠NTE得：＝﹣，
解得：方程无解，故∠HTD不可能为90°．
故点E（，6）或（6，15）．
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