人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用导学案及答案

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1．了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；
2．掌握求函数最值的方法及其应用；
3．体会数形结合、化归转化的数学思想．
重点：求函数最值的方法及其综合应用
难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系
1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：
解方程 f '(x) = 0.当 f '(x0) = 0 时：
如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0 ，那么 f (x0) 为极大值；
如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0 ，那么 f (x0) 为极小值；
2．求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的____；
(2)将函数y＝f (x)的______与____处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．
极值 ；各极值 ；端点 ；最大值 ；最小值
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值． ( )
(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小 值就是最大(小)值． ( )
(4)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点． ( )
新知探究
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f (x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f (x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。
探究1：函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？
探究2：那么f (x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?
探究3：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．
连续不断
问题1：函数的极值与最值的区别是什么？
二、典例解析
例6: 求fx=13x3-4x+4在[0,3]的最大值与最小值.
求函数最值的着眼点
1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.
2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
跟踪训练1. 求下列各函数的最值．
(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；
(2)f (x)＝sin 2x－x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
例7: 给定函数fx=x+1ex.
（1）判断函数fx的单调性，并求出fx的极值；
（2）画出函数fx的大致图像；
（3）求出方程fx= a(a∈R)的解的个数.
函数fx的图像直观地反映了函数fx的性质，通常可以按如下步骤画出函数fx的大致图像
（1）求出函数fx的定义域；
（2）求导数f(x)'及函数f(x)'的零点；
（3）用零点将fx的定义域为若干个区间，列表给出f(x)'在各个区间上的正负，并得出fx单调性与极值；
（4）确定fx图像经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势；
（5）画出fx的大致图像.
例8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分,其r (单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm.
(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?
1．优化问题
生活中经常遇到求 、 、 等问题，这些问题通常称为优化问题．
利润最大；用料最省；效率最高
2．解决优化问题的基本思路
函数；导数
跟踪训练2．请你设计一个帐篷．如图所示，它的正视图和侧视图都是由矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶点的连线构成的图形．
试问：当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？并求出最大体积．
1．函数y＝eq \f(ln x,x)的最大值为( )
A．e－1 B．e C．e2 D．10
2．设函数f (x)＝x3－eq \f(x2,2)－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f (x)＞m，则实数m的取值范围是________．
3．已知a是实数，函数f (x)＝x2(x－a)，求f (x)在区间[0，2]上的最大值．
4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq \f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
参考答案：
知识梳理
1．解析： (1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．
(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．
(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．
(4)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
学习过程
新知探究
探究1： 极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5)；
探究2：最大值：f(a);最小值：f(x3)
探究3： 最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)
问题1： 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
典例解析
例6: 解：因为y'=x2-4 =x+2x-2
令y'=0,解得：x1=-2,x2=2
又因为f(0)=4,f(3)=1
所以,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，
当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值- 43.
跟踪训练1.[解] (1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f ′(x)，f (x)变化状态如下表：
从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，
函数f (x)取得最小值－1.
当x＝－1或x＝2时，函数f (x)取得最大值11.
(2)f ′(x)＝2cs 2x－1，令f ′(x)＝0，得cs 2x＝eq \f(1,2)，
又∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±eq \f(π,3).∴x＝±eq \f(π,6).
∴函数f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的两个极值分别为
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(π,6)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(π,6).
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(π,2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝eq \f(π,2).
比较以上函数值可得f (x)max＝eq \f(π,2)，f (x)min＝－eq \f(π,2).
例7: 解：（1）函数的定义域为x∈R
因为f'x=x+1'ex++x+1(ex)'=ex+x+1ex=x+2ex
令f(x)'=0,解得：x=-2.
f(x)'、fx的变化情况如表所示
所以，fx在区间-∞，-2上单调递减，在区间-2，+∞上单调递增。
当x=-2时，fx有极小值f-2= - 1e2.
（2）令fx=0，解得：x=-1.
当x<-1时， fx<0;当x>-1时， fx>0.
所以fx的图像经过特殊点A(-2,- 1e2),B-1,0,C0,1.
当x→-∞时，与一次函数相比，指数函数y=e-x 呈爆炸性增长，从而y=x+1e-x →0;
当x→+∞时， fx→+∞, f(x)'→+∞
根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示
（3）方程fx=a(a∈R)的解的个数为函数y=fx的图像与直线y=a的交点个数。
由（1）及图可得，当x=-2时，有最小值f-2=- 1e2
所以，方程fx= a的解得个数有如下结论；
当a<- 1e2时，解为0个
当a=- 1e2或a≥0时，解为1个
当- 1e2例8.解：由题意可知，每瓶饮料的利润是
y=fr=0.2×43πr3 -0.8πr2=0.8πr33-r2,0所以f'r=0.8π(r2-2r)
令f'r=0,解得r=2.
当x∈(0,2)时，f'r<0;当x∈(2,6)时，f'r>0.
因此，当半径r>2时，f'r>0,
fr单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r<2时，f'r<0, fr单调递减，即半径越大，利润越低。
（1）半径为6cm时，利润最大
（2）半径2cm时，利润最小，这时f2<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值。
跟踪训练2． 解：依题意，该帐篷的下部的形状是高为1 m的正六棱柱，
上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥，如图所示．
设帐篷的顶点为O，底面中心为O1，OO1为x m，
帐篷的体积为V(x) m3，且1由题设可得正六棱锥的底面边长为eq \r(32－x－12)＝eq \r(8＋2x－x2)(m)，
故底面正六边形的面积为6×eq \f(\r(3),4)(eq \r(8＋2x－x2))2＝eq \f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，
故V(x)＝eq \f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－1＋1))＝eq \f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，则V′(x)＝eq \f(\r(3),2)(12－3x2)．
令V′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．
当10，V(x)为增函数；当2所以当x＝2时，V(x)取得最大值，且最大值为V(2)＝16eq \r(3).
综上可得，当帐篷的顶点到底面中心的距离为2 m时，
帐篷的体积最大，最大体积为16eq \r(3) m3.
达标检测
1．A [令y′＝eq \f(1－ln x,x2)＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝e－1，
因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.]
2．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,2))) [f ′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－eq \f(2,3).f (－1)＝eq \f(11,2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝eq \f(157,27)，f (1)＝eq \f(7,2)，f (2)＝7，∴m＜eq \f(7,2).]
3． [解] f ′(x)＝3x2－2ax.令f ′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq \f(2a,3).
①当eq \f(2a,3)≤0，即a≤0时，f (x)在[0，2]上单调递增，从而f (x)max＝f (2)＝8－4a.
②当eq \f(2a,3)≥2，即a≥3时，f (x)在[0，2]上单调递减，从而f (x)max＝f (0)＝0.
③当0＜eq \f(2a,3)＜2，即0＜a＜3时，f (x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2a,3)))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)，2))上单调递增，
从而f (x)max＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8－4a0＜a≤2，,02＜a＜3.))
综上所述，f (x)max＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8－4aa≤2，,0a＞2.))
4.[解] (1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为
C(x)＝eq \f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝eq \f(40,3x＋5).
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq \f(40,3x＋5)＋6x＝eq \f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－eq \f(2 400,3x＋52)，
令f′(x)＝0，即eq \f(2 400,3x＋52)＝6，
解得x＝5，x＝－eq \f(25,3)(舍去)．
当0≤x<5时，f′(x)<0，
当50，
故x＝5是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋eq \f(800,15＋5)＝70.
所以，当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，2)
2
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
－1
↗
11
↘
－1
↗
11