高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线习题

椭圆的离心率取值范围

考向一  根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围

1、若，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．     B．    C．       D．

答案：C

解析：由，得双曲线的离心率为．

故选：C．

2、双曲线的离心率大于的充分必要条件是（   ）

A.        B.              C.       D.

【答案】选C.

3、若双曲线的离心率，则实数的取值范围为

A.   B.   C.   D.

【答案】D

4、将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（    ）

A．对任意的，          B．当时，；当时，

C．对任意的，          D．当时，；当时，

【答案】D

依题，,，

因为，由于，，，

所以当时，，，，，所以；

当时，，，而，所以，所以.

所以当时，；当时，.选D.

考向二  临界关系求离心率的取值范围

1、若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是（　　）

A．      B．        C．      D．

答案：D

解析：因为双曲线与直线无交点，

所以由题意可得，，

所以，

又因为，所以离心率的取值范围是．

2、已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（    ）

A.        B.     C. 2        D.

【答案】B

3、已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________________．

【答案】[2，+∞)

【解析】当渐近线与直线l平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，所以，即，所以．

4、已知双曲线(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是       。

【答案】

【解析】过点F且倾斜角为45°的直线的斜率为1，一条渐近线方程为，由题意可得，即，结合及，解得．故选C

考向三  根据图形几何性质进行范围分析

1、已知分别是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在一点，使与圆相切，则该双曲线的离心率的范围是（　　）

A．       B．      C．    D．

答案：B

解析：设过的直线为，

由与圆相切，可得，

解得，

由双曲线的渐近线方程，可得，

即，化为，

即有，

故选：B．

2、已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．若双曲线上存在点P使得，则该双曲线的离心率的取值范围是_______________．

【答案】

由正弦定理可得，即，由e>1可得点P在双曲线的右支上．

又，则，即，

因为点P不在x轴上，所以，即，即，

结合解得

3、已知双曲线 的右焦点为，其中一条渐近线与圆 交于两点，为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．     B．   C．       D．

答案：D

解析：双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，

圆的圆心，半径为，

由为锐角三角形，

可得，可得，

又，，可得，可得，

由，

可得．

所以双曲线的离心率的取值范围是．

故选：D．

考向四  根据题目条件范围求离心率的取值范围

1、已知双曲线的左右焦点为，点在其右半支上，

若＝0， 若 ，则该双曲线的离心率的取值范围为

A. (1, )　        B.（1, ）        C. （, ）       D. （, ）

【答案】A

2、已知为双曲线上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点，交轴于点，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

A．      B．     C．       D．

答案：D

解析：设

与渐近线平行的直线方程为,

则，．

与渐近线平行的直线方程为,

则，，

，

所以，

要使恒成立，则．

所以双曲线离心率，

故选：D．

3、设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．           B．          C．         D．

【答案】A

解析：由题意，，由双曲线的对称性知在轴上，

设，则由得，

所以，

因为到直线的距离小于，

所以，

所以，所以，

所以双曲线的离心率率的取值范围是．

故选：A．

4、已知双曲线（）的左、右焦点分别是、，为双曲线左支上任意一点，当最大值为时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

由已知，，因为，当时，

，当且仅当时，取最大值，

由，所以；当时，的最大值小于，所以不合题意.

因为，所以，所以，所以

故答案为：

考向五  椭圆与双曲线综合求离心率取值范围

1、已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（　　）

A．且    B．且   C．且   D．且

答案：A

解析：由题意可得，即，

又，则，

由

则．

故选：A．

2、已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，

则根据椭圆及双曲线的定义，

，

设，

则在中由余弦定理得

，

化简，该式变成，

，

，的最大值是，故选D.

3、椭圆与双曲线有相同的焦点，左右焦点分别为、，且在第一象限的交点为P，椭圆与双曲线离心率分别为，，若，，则________.（答案要填区间）

【答案】

【解析】

设公共焦点为，且

由椭圆与双曲线的定义可知，解得

在中，，由余弦定理可知

则，即，整理有

因为，有，即

所以

故答案为：