高中第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆课堂检测

椭圆的离心率

考向一  根据a,b,c的值或关系直接求离心率

1、已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（　　）

A．      B．       C．         D．

答案：C

解析：利用椭圆的焦点坐标，求出，然后求解椭圆的离心率即可．

椭圆的一个焦点为，

可得，解得，

，

所以．

故选：C．

2、已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m＞0)，则此椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：B

解析：由题意得椭圆的标准方程为＋＝1，

所以a2＝，b2＝，

所以c2＝a2－b2＝，e2＝＝，e＝.

3、已知椭圆过点，当取得最小值时，椭圆的离心率为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

由点在椭圆上则： ，

则

当且仅当，即，
由椭圆的离心率，
∴椭圆的离心率，
故选：D．

4、若椭圆的离心率为，则椭圆长轴长为____________.

解析:首先将方程转化为标准方程，进而能够得出，然后求出，从而得出长轴长,椭圆即，当椭圆的焦点在轴上时，，，由，得，，解得，，即长轴长为，当椭圆的焦点在轴上时，，，即长轴长为，综上所述，椭圆长轴长为或.故答案为：或

答案：或

考向二  根据几何性质找a,b,c的关系求离心率

1、设分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆的离心率为（　　）

A．            B．             C.          D．

答案：C

解析：根据椭圆的定义及题意列方程，即可求得，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．

由椭圆的定义可知，由，

得，整理得，解得，

椭圆的离心率，

故选：C．

2、点是椭圆与圆的一个交点，且，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．

【答案】解：如图：因为椭圆的焦点，，，

而圆的半径，因此△为直角三角形，

又，所以，，，，，

由椭圆的定义可知，椭圆的离心率．

故选：．

3、如图,椭圆的右焦点为,过的直线交椭圆于两点,点是点关于原点的对称点,若且,则椭圆的离心率为__________．

【答案】

【解析】

作另一焦点,连接和和,则四边形为平行四边,

所以,且,则三角形为等腰直角三角形,

设 ,则,解得,

,在三角形 中由勾股定理得,

所以,

故答案为:.

4、椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率________

解析：根据角度关系可知且，利用椭圆定义表示出，根据勾股定理建立的齐次方程，解方程求得离心率.由，得：且由椭圆定义知：又，即：整理得：，解得：本题正确结果：本题考查椭圆离心率的求解，涉及到椭圆定义的应用，关键是能够利用勾股定理构造出关于的齐次方程，从而求得离心率.

答案：

5、已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为              。

【答案】 

【解析】设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，

所以＝，所以a＝3c，所以e＝.

6、设F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则椭圆E的离心率为___________；

【答案】

【解析】如图，设直线交x轴于D点，因为是底角为的等腰三角形，则有，因为，所以，，所以，

即，即，即，所以椭圆E的离心率

7、椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(c，0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．

【答案】

【解析】设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.

又O为线段F1F的中点，∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.

在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，可解得|OM|＝，|MF|＝，

故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，

整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝＝.

8、已知椭圆的焦距为，圆与椭圆交于两点，若(为坐标原点)，则椭圆的离心率为________.

解析:圆的方程为，表示以为圆心，以为半径的圆．因为，

所以为圆的直径，且，故点的坐标分别为．由点在椭圆C上，故，所以，整理得，所以，即，解得（舍去负值）．

答案：

10、已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的离心率为______.

解析:根据题意作出图形，设，则，利用椭圆的定义求出的表达式，在中利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理求出的表达式，代入离心率公式求解即可.根据题意，作图如下：

设，则，由椭圆的定义知，，，因为，所以，在中，由余弦定理可得，，在中，由余弦定理可得，，即，解得，所以，所以椭圆离心率.故答案为：

答案: