高中人教B版 (2019)2.6.2 双曲线的几何性质同步练习题

2.6.2　双曲线的几何性质

课后篇巩固提升

基础达标练

1.若双曲线x2-=1的一条渐近线的斜率是-2,则实数k的值为(　　)

A.4 B. C.-4 D.-

解析双曲线x2-=1的一条渐近线的斜率是-2,

可得=2,解得k=4.

答案A

2.双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为50°,则C的离心率为(　　)

A.2sin 40° B.2cos 40°

C. D.

解析双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,由双曲线的一条渐近线的倾斜角为50°,得=tan 50°=,

则=e2-1=,

得e2=1+,∴e=.

答案D

3.已知双曲线C:=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则双曲线C的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析双曲线C的渐近线方程为=0,点P(2,1)在渐近线上,∴=0,即a2=4b2,

又a2+b2=c2=25,解得b2=5,a2=20,故选A.

答案A

4.(多选)已知双曲线C:x2-=1,则下列说法正确的有 (　　)

A.双曲线C的离心率等于半焦距的长

B.双曲线y2-=1与双曲线C有相同的渐近线

C.直线x=被圆x2+y2=1截得的弦长为

D.直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2

解析双曲线C:x2-=1,可得a=1,b=2,c=,

所以双曲线的离心率为e==c,所以A正确;

双曲线C:x2-=1的渐近线方程为y=±2x,双曲线y2-=1的渐近线方程为y=±x,所以B不正确;

直线x=被圆x2+y2=1截得的弦长为2,所以C正确;

直线y=kx+b(k,b∈R),当b=0时,直线与双曲线的交点可能是0个,也可能是2个;当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线的交点是1个.所以直线与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2,所以D正确.

答案ACD

5.我们把方程分别为=1和=1的双曲线称为共轭双曲线,则共轭双曲线有相同的(　　)

A.离心率 B.渐近线

C.焦点 D.顶点

解析共轭双曲线=1和=1的c=,设a>0,b>0,

可得它们的焦点分别为(±c,0),(0,±c),

渐近线方程均为y=±x,离心率分别为,

它们的顶点分别为(±a,0),(0,±b).

答案B

6.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB,则|AB|=　　　　　. 

解析易得双曲线的左焦点F1(-2,0),

∴直线AB的方程为y=(x+2),

与双曲线方程联立,得8x2-4x-13=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=-,

∴|AB|=

==3.

答案3

7.双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2,以坐标原点O为圆心,以c为半径作圆A,圆A与双曲线C的一个交点为P,若三角形F1PF2的面积为a2,则C的离心率为　　　　　. 

解析不妨设P为右支上一点,设|PF1|=m,|PF2|=n,由双曲线的定义可得m-n=2a,

由题意可得△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,可得m2+n2=4c2,且mn=a2,

由(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4a2=4a2,

即为c=a,可得e=.

答案

8.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;

(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.

解(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.

由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,

于是有b2=c2-a2=62-32=27.

由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为=1或=1.

(2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),

即=1(λ≠0),由题意得a=3.

当λ>0时,=9,λ=36,

双曲线方程为=1;

当λ<0时,=9,λ=-81,

双曲线方程为=1.

故所求双曲线的标准方程为=1或=1.

9.过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.

解如图所示,与渐近线平行的直线l的斜率为,

又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y=(x-c).

因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得=1,

化简得y=-b或y=b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-b),

代入直线方程得-b=(2a-c),化简可得离心率e==2+.

能力提升练

1.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)

A.3 B.2 C. D.

解析设椭圆与双曲线的标准方程分别为=1(a>b>0),=1(m>0,n>0),

因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c,

所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1=,e2=,

由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a,所以=2.

答案B

2.(2019全国Ⅲ,理10)双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(　　)

A. B. C.2 D.3

解析由已知可得a=2,b=,

则c=,∴F(,0).

∵|PO|=|PF|,∴xP=.

又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=x上,∴yP=.

∴S△PFO=|OF|·|yP|=.故选A.

答案A

3.(多选)已知双曲线C过点(3,)且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是(　　)

A.C的方程为-y2=1

B.C的离心率为

C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点

D.直线x-y-1=0与C有两个公共点

解析若焦点在x轴上,可设双曲线C的方程为=1,根据条件可知,所以方程可化为=1,将点(3,)代入得b2=1,所以a2=3,所以双曲线C的方程为-y2=1;若焦点在y轴上,可设双曲线C的方程为=1,根据条件可知,所以方程可化为=1,将点(3,)代入得a2=-1(舍去).综上C的方程为-y2=1,故A正确;

离心率e=,故B错误;

双曲线C的焦点为(2,0),(-2,0),将x=2代入得y=e0-1=0,所以C正确;

联立整理得y2-2y+2=0,则Δ=8-8=0,故只有一个公共点,故D错误.

答案AC

4.设双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于M,N.若以MN为直径的圆经过右焦点F2,且|MF2|=|NF2|,则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. D.

解析若以MN为直径的圆经过右焦点F2,

则=0,又|MF2|=|NF2|,

可得△MNF2为等腰直角三角形,

设|MF2|=|NF2|=m,则|MN|=m,

由|MF2|-|MF1|=2a,|NF1|-|NF2|=2a,

两式相加可得|NF1|-|MF1|=|MN|=4a,

即有m=2a.

过F2作MN的垂线交于点H,则|F2H|=2a.

在直角三角形HF1F2中可得

4c2=4a2+(2a+2a-2a)2,

化为c2=3a2,即e=.

答案C

5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为　　　　　　　　. 

解析由题意可得图像如图,CD所在直线是双曲线的一条渐近线y=x,

即bx-ay=0,F(c,0),过右焦点F向直线y=x作垂线交于点E.

则有AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,四边形ACDB是梯形,EF是梯形的中位线,|EF|==3,

又|EF|==b,∴b=3,

双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,可得=2,即=4,解得a=.

∴双曲线的方程为=1.

答案=1

6.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,若=0,则双曲线C的渐近线方程为　　　　　. 

解析如图,

∵=0,∴OA为Rt△F1F2B的中位线,∴OA⊥F1B.

又∵OA所在直线斜率为-,∴F1B所在直线方程为y=(x+c),

联立解得B,

则|OB|2==c2,

整理得b2=3a2,∴,

∴双曲线C的渐近线方程为y=±x.

答案y=±x

7.已知双曲线C的焦点F(,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为.

(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程;

(2)已知点M(0,1),设P是双曲线C上的点,Q是P关于原点的对称点.设λ=,求λ的取值范围.

解(1)∵双曲线C的焦点F(,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为,

可设双曲线的方程为=1,

∴c=,c-a=,∴a=,

∴b2=c2-a2=()2-()2=1,

则双曲线的方程为-y2=1,

令-y2=0,则y=±x,

即渐近线方程为y=±x.

(2)设P的坐标为(x0,y0),

则Q的坐标为(-x0,-y0),

∴λ==(x0,y0-1)·(-x0,-y0-1)=-+1=-+2.

∵|x0|≥,∴λ的取值范围是(-∞,-1].

素养培优练

求适合下列条件的双曲线的离心率:

(1)双曲线的渐近线方程为y=±x;

(2)双曲线=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为c.

解(1)若焦点在x轴上,则,

故e=.

若焦点在y轴上,则,即,

故e=.

综上所述,双曲线的离心率为.

(2)依题意,得直线l:bx+ay-ab=0.由原点到l的距离为c,得c,即ab=c2,

∴16a2b2=3(a2+b2)2,

即3b4-10a2b2+3a4=0,

∴3-10×+3=0.

解得=3.

∵0<a<b,∴=3.∴e==2.