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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.4 二面角课时作业
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1.2.4 二面角(2)-A基础练一、选择题1.(2020山东泰安一中高二期中)如图,在长方体中,,,,分别是,,的中点,记直线与所成的角为,平面与平面所成二面角为,则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】连接,如图,在长方体内知,所以为异面直线与所成的角为,易知为等边三角形,所以,因为平面,平面,所以又,,所以平面,同理可得平面,则,可分别视为平面,平面的一个法向量,又因为在长方体内易知,而,故与的夹角为,所以或,即,故选:B2.(2020四川南充三中高二月考)已知二面角的大小为,为空间中任意一点,则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为( )A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B【解析】设是度数为的二面角的一个平面角,的平分线,当过P的直线与平行时,满足条件,第二条作与在同一平面内且与垂直的直线FC,此时FC与直线FA和直线FB所成角都为65度,将FC向外旋转,所成角递减到与棱重合时是0度,在重合之前必有一条与两面都成25度的直线,第三条:向内旋转得到, 过P的直线与它们分别平行,所以满足条件共有3条.3.(2019·浙江高考真题)设三棱锥的底面是正三角形,侧棱长均相等,是棱上的点(不含端点),记直线与直线所成角为,直线与平面所成角为,二面角的平面角为,则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】方法1:如图为中点,在底面的投影为,则在底面投影在线段上,过作垂直,易得,过作交于,过作,交于,则,则,即,,即,综上所述,答案为B.方法2:由最小角定理,记的平面角为(显然)由最大角定理,故选B.方法3:(特殊位置)取为正四面体,为中点,易得,故选B.4..(2020浙江余姚中学高二期中)如图,三棱柱满足棱长都相等且平面,D是棱的中点,E是棱上的动点.设,随着x增大,平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是( )A.先增大再减小 B.减小 C.增大 D.先减小再增大【答案】D【解析】以中点为坐标原点,分别为轴,并垂直向上作轴建立空间直角坐标系.设所有棱长均为2,则,,,设平面BDE法向量则,令有,故.又平面ABC的法向量,故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值,又,故在上单增, 上单减,即随着x增大先变大后变小,所一以随着x增大先变小后变大.故选:D.5.(多选题)(2002大连高级二十四中高二期中)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的是( )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】ABC【解析】A中由三垂线定理可知是正确的;B中AB,CD平行,所以可得到线面平行;C中设AC,BD相交与O,所以SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角分别为所以两角相等,D中由异面直线所成角的求法可知两角不等,故选ABC.6.(多选题)(2020沙坪坝重庆一中高二期中(理))如图,正方体中,E为AB中点,F在线段上.给出下列判断,其中正确的为( )A.存在点F使得平面;B.在平面内总存在与平面平行的直线;C.平面与平面ABCD所成的二面角(锐角)的大小与点F的位置无关;D.三棱锥的体积与点F的位置无关. 【答案】BD【解析】对于A,假设存在F使得⊥平面,则⊥,又⊥,∩=,∴⊥平面,则⊥,这与⊥矛盾,所以A错误;对于B,因为平面与平面相交,设交线为,则在平面内与平行的直线平行于平面,故B正确;对于C,以点为坐标原点,以所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间坐标系,则平面的法向量为而平面的法向量,随着位置变化,故平面与平面所成的二面角(锐角)的大小与点的位置有关,故C错误;对于D,三棱锥的体积即为三棱锥,因为∥平面,所以,当在线段上移动时,到平面的距离不变,故三棱锥的体积与点的位置无关,即D正确.故选:BD.二、填空题7. (2020银川一中高二期中)三棱锥P-ABC的两侧面PAB,PBC都是边长为的正三角形,,则二面角A-PB-C的大小为 .【答案】60°【解析】取PB中点M,因为PAB,PBC都是边长为的正三角形,所以AM⊥PB,CM⊥PB,因此∠AMC为二面角A-PB-C的平面角,因为,,所以∠AMC=60°.8.(2020南昌市八一中学高二期中(理))在直线坐标系中,设,,沿轴把直角坐标平面折成120°的二面角后,的长为 .【答案】【解析】由题意,如图所示,作垂直轴,垂直轴,,连接,则,,可得,则轴,又由垂直轴,所以为二面角的平面角,所以,在中,由余弦定理可得,在直角中,可得.9.(2020福建莆田一中高二月考)在平面内,已知,过直线,分别作平面,,使锐二面角为,锐二面角为,则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 .【答案】【解析】如图由题意以平面为底面,以平面,为两相邻的侧面构造正四棱锥,设正四棱锥的底面边长为2,以点为坐标原点,以,,过点垂直于平面的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,在正四棱锥中设,为,中点,,则,,∴为二面角的平面角,同理为二面角的平面角,∴,∴在中,,则由题意易得,,,,则,,,设平面的法向量为,则有,令得平面的一个法向量为,同理可得平面的一个法向量为,则平面和平面所成锐二面角的余弦值为.10.(2020山东青岛七中高二月考)如图所示,在正方体中,点是棱上的动点(点可以运动到端点和),设在运动过程中,平面与平面所成的最小角为,则 .【答案】【解析】以点为坐标原点,,,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示:设正方体的棱长为1,,则易得,,,则,,设平面的一个法向量为,则,令,得平面的一个法向量为,易得平面的一个法向量为,由图易得平面与平面所成的二面角为锐角,设其为,则,当即时,取最小值,取最大值,此时取最小值,且三、解答题11.(2020·全国高考真题(理))如图,在长方体中,点分别在棱上,且,.(1)证明:点在平面内;(2)若,,,求二面角的正弦值.【解析】(1)在棱上取点,使得,连接、、、,在长方体中,且,且,,,且,所以,四边形为平行四边形,则且,同理可证四边形为平行四边形,且,且,则四边形为平行四边形,因此,点在平面内;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、,,,,,设平面的法向量为,由,得取,得,则,设平面的法向量为,由,得,取,得,,则,,设二面角的平面角为,则,.因此,二面角的正弦值为.12.(2015·江苏高考真题)如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,,,.(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值;(2)点是线段上的动点,当直线与所成的角最小时,求线段的长.【解析】(1) 因为平面,所以是平面的一个法向量,.因为.设平面的法向量为,则,即,令,解得.所以是平面的一个法向量,从而,所以平面与平面所成二面角的余弦值为.(2) 因为,设,又,则,又,从而,设,则,当且仅当,即时,的最大值为.因为在上是减函数,此时直线与所成角取得最小值.又因为,所以.
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