人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.5 空间中的距离同步测试题

1.2.5 空间中的距离-B提高练

一、选择题

1．（2020安徽安庆高二期中）若点A（2，3，2）关于xoz平面的对称点为A'，点B（﹣2，1，4）

关于y轴对称点为B'，点M为线段A'B'的中点，则|MA|＝（　　）

A． B． C．5 D．

【答案】C

【解析】∵点A（2，3，2）关于xoz平面的对称点为A'，∴A′（2，﹣3，2），

∵点B（﹣2，1，4）关于y轴对称点为B'，∴B′（2，1，﹣4），

∵点M为线段A'B'的中点，∴M（2，﹣1，﹣1），∴|MA|＝＝5．

2．（2020四川广安高二校级月考）已知直线l的方向向量为＝（﹣1，0，1），点A（1，2，﹣1）

在l上，则点P（2，﹣1，2）到l的距离为（　　）

A． B．4 C． D．3

【答案】C

【解析】根据题意，得＝（﹣1，3，﹣3），＝（﹣1，0，1），

∴cos＜，＞＝＝﹣，∴sin＜，＞＝；

又∵||＝，∴点P（2，﹣1，2）到直线l的距离为||sin＜，＞＝×＝．

3．（2020湖南师大附中高二期中）已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则＝(　　)

A．－1                B．－11             C．－1或－11      D．－21

【答案】C

【解析】，而，即，解得或－11.故选：C

4．（2020山东菏泽三中高二期末）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则

点A到平面MBD的距离是（　　）

A．a B．a C．a D．a

【答案】D

【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，A（a，0，0），B（a，a，0），D（0，0，0），M（a，0，），则＝（a，a，0），＝（a，0，），

设平面BDM的法向量为，则，

取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣2），∵＝（0，a，0），

∴点A到平面MBD的距离d＝＝＝．故选：D．

5．（多选题）（2020湖南高新技术产业园区衡阳市一中高二期末）在正方体中，若棱长为，点分别为线段、上的动点，则下列结论正确结论的是（    ）

A．面 B．面面

C．点F到面的距离为定值 D．直线与面所成角的正弦值为定值

【答案】ABC

【解析】以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：

由题意知：，，，，，，，，设，，即，，

设，，即，.

对于，，，，，，，又平面，，平面，正确；对于，平面，为平面的一个法向量，，，，，，

又平面，，平面，平面平面，正确；对于，，点到面的距离，为定值，正确；对于，几何体为正方体，平面，是平面的一个法向量，又，设直线与平面所成角为，则，不是定值，错误.故选：.

6.（多选题）（2020·江苏省如皋中学高二月考）正方体的棱长为1，分别为的中点．则（    ）

A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行

C．平面截正方体所得的截面面积为        D．点和点到平面的距离相等

【答案】BC

【解析】对选项A：（方法一）以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、.从而，，从而，所以与直线不垂直，选项A错误；

（方法二）取的中点，连接，则为直线在平面内的射影，与不垂直，从而与也不垂直，选项A错误；

取的中点为，连接、，则，，易证，从而，选项B正确；

对于选项C，连接，，易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形（如图所示），且，，所以，而，从而选项C正确；

对于选项D：（方法一）由于，而，而，，所以，即，点到平面的距离为点到平面的距离的二倍.从而D错误.

（方法二）假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于点，易知不是的中点，故假设不成立，从而选项D错误.

二、填空题

7．（2020四川南充二中高二期末）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为　　　　　. 

【答案】

【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,),B1(0,1,),C1(0,0,),

∴=(-1,1,-),=(-1,0,-),=(-1,1,0).

设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),

则令z=1得x=-,y=0,∴n=(-,0,1).

∴点B1到平面A1BC的距离d=.

8.（2020福建莆田一中高二月考）如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面A1BD与平面B1CD1间的距离为　　　　　.

【答案】.

【解析】以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),=(0,1,-1),=(-1,0,-1),=(-1,0,0).

设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),

则⇒令z=1,得y=1,x=-1,∴n=(-1,1,1),

∴点D1到平面A1BD的距离d=.

易证平面A1BD∥平面B1CD1,

∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,

∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.

9.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.则点D到平面PEF的距离为　　　　　，直线AC到平面PEF的距离　　　　　.

【答案】.

【解析】建立以D为坐标原点,分别为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.

则P(0,0,1),A(1,0,0), C(0,1,0),E, F,所以,,

设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则

令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离d=,

因此点D到平面PEF的距离为.

因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.

又因为AC⊄平面PEF,EF⊂平面PEF,所以AC∥平面PEF.

因为,所以点A到平面PEF的距离d=.

所以直线AC到平面PEF的距离为.

10．（2020湖南师大附中高二期中）已知三棱锥S﹣ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S﹣ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为　　　.

【答案】

【解析】∵三棱锥S﹣ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，

∴如图，SA，SB，SC是棱长为2的正方体MNPB﹣ADCS上具有公共顶点S的三条棱，

以B为原点，BM、BP、BS分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则B（0，0，0），A（2，0，2），C（0，2，2），S（0，0，2），N（2，2，0），

＝（2，0，2），＝（0，2，2），＝（2，2，0），

设平面ABC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣2），

三棱锥S﹣ABC外接球就是棱长为2的正方体MNPB﹣ADCS的外接球，

∵Q是三棱锥S﹣ABC外接球上一动点，

∴点Q与N重合时，点Q到平面ABC的距离的最大值，

∴点Q到平面ABC的距离的最大值为：d＝＝＝．

三、解答题

11.（2020银川一中高二月考）如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

【解析】取AD的中点O,在△PAD中,∵PA=PD,∴PO⊥AD.

又侧面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,

∴PO⊥平面ABCD.

建立如图所示的空间直角坐标系,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

则=(-1,0,1),=(-1,1,0).

假设存在点Q,使它到平面PCD的距离为,设Q(0,y,0)(-1≤y≤1),则=(-1,y,0).

设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),则

∴ 即x0=y0=z0,取x0=1,

则平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

∴点Q到平面PCD的距离d=,∴y=-或y=(舍去).

此时,则||=,||=.

∴存在点Q满足题意,此时.

12．（2020四川广元二中高二月考）已知Rt△ABC如图（1），∠C＝90°，D．E分别是AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到PDE位置（即A点到P点位置）如图（2）使∠PDC＝60°．

（I）求证：BC⊥PC；

（Ⅱ）若BC＝2CD＝4，求点D到平面PBE的距离．

【解析】（I）证明：∵Rt△ABC如图（1），∠C＝90°，D．E分别是AC，AB的中点，

将△ADE沿DE折起到PDE位置（即A点到P点位置）如图（2）使∠PDC＝60°．

∴DE⊥DC，DE⊥PD，DE∥BC，

∵PD∩DC＝D，∴DE⊥平面PCD，∴BC⊥平面PCD，

∵PC⊂平面PCD，∴BC⊥PC．

（Ⅱ）解：∵D．E分别是AC，AB的中点，∠PDC＝60°，BC＝2CD＝4，

∴CD＝PD＝PC＝2，

取CD中点O，BE中点M，连结PO，MO，则OP，OD，OM两两垂直，

以O为原点，OD为x轴，OM为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

则D（1，0，0），P（0，0，），B（﹣1，4，0），E（1，2，0），

＝（1，0，﹣），＝（﹣1，4，﹣），＝（1，2，﹣），

设平面PBE的法向量＝（x，y，z），

则，取x＝1，得＝（1，1，），

∴点D到平面PBE的距离为：d＝＝＝．