人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.1 空间中的点、直线与空间向量练习

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-B提高练

一、选择题

1. （2020绥德中学高二期末）已知向量 ， ，分别是直线 、 的方向向量，若 ，则（    ）

A． ， B． ， 

C． ， D． ，

【答案】D

【解析】∵∥，∴ ∥ ，∴，∴．选D．

2．（2020驻马店市基础教学研究室高二期末）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是(   )

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．无法确定

【答案】A

【解析】∵空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），

∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），∴=﹣2，

∴直线AB与CD平行．故选：A．

3．（2020台州市书生中学高二期末）在棱长为3的正方体中，为线段中点，为线段上靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图建立空间直角坐标系，则知，，，，

所以，，所以.

4．（2020四川省绵阳南山中学高二月考）如图所示，在正方体中，点E为线段的中点，点F在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在正方体中, 点E为线段的中点，设正方体棱长为2，

则，,

设，，设异面直线与的夹角为，

则,异面直线与所成角最小时，则最大，即时，.故选：C.

5．（多选题）（2020山东菏泽三中高二月考）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为

【答案】AB

【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则

，而

， 所以A正确.

=0,所以B正确.向量,显然 为等边三角形，则.所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确；又，

则，

所以，所以D不正确.故选：AB

6.（多选题）（2020苏州大学附属中学高二月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点.为面对角线上任一点，则下列说法正确的是（    ）

A．平面内存在直线与平行

B．平面截正方体所得截面面积为

C．直线和所成角可能为60°

D．直线和所成角可能为30°

【答案】BC

【解析】对于选项A，在正方体中，，在平面中，直线相交，所以直线与平面相交，故直线与平面相交，则平面不存在直线与平行，所以选项A错误；对于选项B，连接分别为棱的中点，所以，在正方体中，，所以，连，则梯形为所求的截面，，所以等腰梯形的高为

，所以梯形的面积为，选项B正确；对于选项C,D，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，设，

，，

，

令，，

，，而，

直线和所成角可能为60°，但不可能为30°，选项C正确，选项D错误.故选：BC.

二、填空题

7．（2020湖南张家界高二期末）已知直线的一个方向向量，且直线过和两点，则______.

【答案】0

【解析】解：和，， 因为直线的一个方向向量为，故设．，，．解得，．

．

8．（2020武汉外国语学校高二月考）如图，正三棱锥的侧棱长为3，底面边长为2，则与所成角的余弦值为______.

【答案】

【解析】设与的夹角为，则与的夹角也是，

则与所成角的余弦值为.

9.（2020北京市陈经纶中学高二期中）如图，在长方体中，设，，则__________，__________.

【答案】;     

【解析】以为原点建立空间直角坐标系如下图所示，则

.

所以，

所以，.

10.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,且SA=AB=BC=1,则异面直线SB与AC之间的距离为　　　　. 

【答案】

【解析】构造如图所示正方体.

取AB的中点O,连接OD交AC于点E,连接OM交SB于点F,由平面几何知识可知,OF=OM,OE=OD,所以EF∥DM.又因为AC⊥BD,AC⊥BM,

所以AC⊥平面BDM,AC⊥DM,因为EF∥DM,所以AC⊥EF.

同理可证SB⊥DM,所以SB⊥EF.

所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段.所以EF=DM=.

三、解答题

11.（2020全国高二课时练）如图，，原点是的中点，点的坐标为，，，点在平面上，且，．

（1）求向量的坐标．

（2）求与的夹角的余弦值．

【解析】（1）过作于，

则，，

所以的坐标为，

又因为，所以．

（2）依题设有点坐标为，所以，，

则与的夹角的余弦值为．

12. （2020江西崇仁高二期中）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.

（1）求的长；

（2）求cos<>的值；

（3）求证：A1B⊥C1M.

【解析】以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．

（1）依题意得出；

（2）依题意得出

∴﹤﹥=

（3）证明：依题意将